河南省新乡市封丘县第一中学2024-2025学年高二上学期开学检测考试数学试题（解析版）

封丘一中高二上期开学检测考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求解两个集合，再结合两集合交集定义求解答案；【详解】因为，所以．故选：B.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用复数的除法运算法则进行求解即可.【详解】∵，∴，故选：C3.已知是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用投影向量定义及数量积的几何意义进行求解即可．【详解】因为．故选：B．4.若直线的倾斜角为，则直线的一个法向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求直线斜率，得到方向向量，再取到法向量.【详解】直线的倾斜角为，直线的斜率，直线的一个方向向量为，则直线的一个法向量为．故选：B.5.下列四个函数中,以为最小正周期,且在区间上为减函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数图像分析周期性和单调性选出答案即可.【详解】解:由题知关于选项A,最小正周期为,所以选项A错误;关于选项B,画函数图像如下:根据图像可知选项B正确;关于选项C,画函数图像如下:根据图像可知周期为,选项C错误;关于选项D,画函数图像如下:根据图像可知函数在区间上为增函数,选项D错误.故选:B6.幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（）A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断【答案】A【解析】【分析】先根据幂函数的定义和函数单调性求出m的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可判断．【详解】幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，∴，解得m＝2，∴，∴在R上为奇函数，由，得，∵在R上为单调增函数，∴，∴恒成立．故选：A．7.一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形的面积.【详解】设轴与交点为D，因轴，轴，则，又轴，则四边形为平行四边形，故.又，结合A′B′⊥x′轴，则，故.则四边形面积为，因四边形面积是四边形的面积的倍，则四边形OABC的面积为.故选：B8.已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.【详解】连接，则.又，所以四边形为正方形，，于是点在以点为圆心，为半径的圆上.又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切，所以点到直线的距离，解得.故选：D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ABC【解析】【分析】由题意得只需即可，然后逐个分析判断.【详解】若，则需，即，对于A，，所以A正确，对于B，，所以B正确，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D错误.故选：ABC10.锐角三角形中，角，，所对应的边分别是，，，下列结论一定成立的有（）.A. B.C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】由为锐角三角形，正弦定理及余弦定理即可判断A；由诱导公式即可判断B；由为锐角三角形及三角函数的单调性即可判断C；由为锐角三角形及列出不等式组求解即可判断D．【详解】对于A，因为为锐角三角形，所以，由余弦定理得，，即，由正弦定理得，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为为锐角三角形，且，所以，又因为在上单调递增，所以，故C正确；对于D，由得，，由为锐角三角形得，，即，解得，故D正确；故选：BCD．11.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法中正确的是（）A.与是互斥事件 B.与是对立事件C. D.与是相互独立事件【答案】CD【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法判断即可.【详解】由事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，可知两事件互不影响，即M与N相互独立，易得，，所以,且，综上，选项C和选项D正确.故选：CD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取______名志愿者．【答案】15【解析】【分析】根据分层抽样的特征可知，抽取人数等于样本容量乘以抽样比，即可求出．【详解】高三年级抽取的人数为．故答案为：15．【点睛】本题主要考查分层抽样的特征的理解和运用，属于容易题．13.从、、、任取两个不同的数字，分别记为、，则为整数的概率是______【答案】【解析】【分析】由利用列举法先求出基本事件总数，再判断为整数满足的基本事件个数，由此能求出为整数的概率．【详解】从、、、中任取两个数记为，作为对数的底数与真数：，共12个不同的基本事件，其中为整数的只有两个基本事件，所以其概率．故答案为：.14.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，平面平面ABCD，中BC边上的高，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】【分析】先补全多面体ABCDEF，得到三棱柱，然后求出三棱锥的体积，从而求解．【详解】在多面体中，由，平面，平面，得平面，延长FE到G，使得，连接DG、AG，如图：显然，，几何体为三棱柱，由平面平面，平面平面，平面，得平面，则三棱柱为直三棱柱，于是三棱锥的体积为：，所以原几何体的体积为：.故答案为：四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知，，．（1）求与的夹角；（2）求与．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量数量积的运算律展开已知条件，将，代入求解可得；（2）利用向量平方等于模的平方，转化为数量积求解即可.【小问1详解】由，得，即，求得，再由，可得．【小问2详解】；．16.2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：（1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；（2）现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；（2）首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：；【小问2详解】样本中年龄在区间的频率为，年龄在区间的频率为，则年龄区间抽取人，分别记作、、、，年龄在区间抽取人，分别记作、，从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、、、、、、、、、共个，其中满足抽取2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个，所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.17.甲､乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．（1）求甲､乙各射击一次，至少击中目标一次的概率；（2）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.（2）根据“第次击中，后两次未击中”求得乙恰好射击4次后被终止射击的概率．【小问1详解】甲､乙各射击一次，至少击中目标一次的概率为：.【小问2详解】乙恰好射击4次后被终止射击，则“第次击中，后两次未击中”，故所求概率为：.18.在以下三个条件中任选一个，补充到下面问题中并作答.①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分）问题：在中，角，，的对边分别为，，，且

.（1）求角；（2）若，求面积的最大值；（3）在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）3（3）【解析】【分析】（1）选①：由正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简得到求解；选②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；选③利用三角形面积公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解.（2）利用余弦定理和基本不等式即可解题；（3）由正弦定理得到，从而有求解.【小问1详解】若选①：由正弦定理得，则，，，．若选②：，切化弦，得到，则由正弦定理得，，即，，，若选③：，则，由正弦定理得，，.【小问2详解】由余弦定理得，，则，当且仅当“”时，取“＝”号，即．，则，当且仅当“”时取得最大值．【小问3详解】由正弦定理得，则，，由于为锐角三角形，则，..19.如图，在矩形中，，，是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段BC上．（1）当点M与点重合时，①证明：平面；②求二面角的余弦值；（2）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值．【答案】（1）①证明见解析；②（2）【解析】【分析】（1）①由题意可得，，，则平面，从而有，再由线面垂直的判定定理可证得结论；②过E作EO⊥BD于点O，连接，可证得为二面角的平面角，然后在中求解即可；（2）过点做交于，所以直线与平面所成的角,即为直线与平面所成的角，过E作EO⊥BM于点O，连接，连接，是直线与平面所成的角，是二面角平面角，设，然后表示出化简后利用二次函数的性质可求得其最大值.【小问1详解】①当点M与端点D重合时，由可知，由题意知平面，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以因为，平面，平面，所以平面；②过E作EO⊥BD于点O，连接.因为平面，平面，所以，因为EO⊥BD，，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角,且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线.因为所以，所以，所以，所以，所以，所以在中，，即二面角的余弦值为.【小问2详解】过点做交于，所以直线与平面所成的角,即为直线与平面所成的