安徽省阜阳市临泉县第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析）

临泉一中2024—2025学年高二年级开学考一、单选题（本大题共8题，每小题5分，共计40分）1.已知复数满足，则（）A.32 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据模长公式求解.【详解】由可得，所以，故选：C2.已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合之间的包含关系求解即可.【详解】，∵，∴，当时，有，解得，当时，有，解得，当时，有，方程组无解，当时，有，方程组无解，综上所述，实数的取值集合为.故选：C.3.若两个向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用数量积公式求出，然后由数量积定义可得夹角；【详解】因为，，，设与的夹角为，则，又，所以.故选：B.4.已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意求得对称轴，再由开口方向求解.【详解】解：因为二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，所以其对称轴方程：，又，所以二次函数的单调递减区间为，故选：A5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，再由对数函数性质和根式与指数式的互化分别得出和即可得解.【详解】由题，又由是增函数可知，，∴，故选：B.6.已知直线a，b与平面，，，下面能使成立的条件是（）A.， B.，，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，A错误；对于B，若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直，因此相交，不一定垂直，B错误；对于C，若，则可能平行，也可能相交，相交也不一定垂直，C错误；对于D，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则，又，于是，因此，D正确.故选：D7.已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（）A.中位数不变B.若，则数据的第75百分位数为7.5C.平均数不变D.方差变小【答案】B【解析】【分析】利用中位数、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可.【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A正确；当时，数据按从小到大顺序排列：.因为，所以该组数据的第75百分位数是第8个数8，故B错误；由于，故,,,,,原来的平均数为，去掉后的平均数为，平均数不变，故C正确；原来的方差为，去掉后的方差为，方差变小，故D正确.故选：B.8.已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（）A.B.当时，C.若，，则D.平行六面体的体积【答案】C【解析】【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断.【详解】对于A，，而，故，正确；对于B，，当时，有意义，则，正确；对于C，因为，，所以，，所以，错误；对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确．故选：C二、多选题（本大题共3题，每小题5分，共计15分）9.下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（）A.B.复数的共轭复数的虚部为2C.若复数满足，则的最大值为2D.若是关于的方程的一个根，则【答案】BC【解析】【分析】A选项，，故；B选项，根据共轭复数的定义得到B正确；C选项，求出的轨迹为圆，圆上的点到原点的距离最大值为2，C正确；D选项，得到为方程的另一个根，根据韦达定理得到D错误.【详解】A选项，，而，A错误；B选项，复数的共轭复数为，故虚部为2，B正确；C选项，若复数满足，则的轨迹为复平面内，以0,1为圆心，1为半径的圆，此圆上的点到原点的距离，最大值为2，即0,2到原点距离，故的最大值为2，C正确；D选项，若是关于的方程的一个根，为方程另一个根，故，D不正确.故选：BC10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于直线对称C.函数是偶函数D.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象【答案】ABD【解析】【分析】结合函数图象依次求出,再根据选项，分别运用代入检验对称性，利用奇偶性定义判断函数奇偶性，利用伸缩变换得到新函数逐一判断即得.【详解】由图可得，，，解得，故A正确；又函数图象经过点，则，即，因，故，解得，故.对于B，当时，，此时函数取得最小值，故B正确；对于C，，是奇函数，故C错误；对于D，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，将得到函数的图象，故D正确.故选：ABD.11.如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（）A.当点为中点时，平面B.当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为C.当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值D.点到直线距离的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D.【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，对于A，，，，，，即，而平面，因此平面，A正确；对于B，，，B错误；对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积，因此三棱锥的体积23是定值，C正确；对于D，，则点到直线的距离，当且仅当时取等号，D正确.故选：ACD三、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分）12.在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是______【答案】##【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，则，则，设与异面直线和都垂直的向量为，则，令，则，又，故异面直线和间的距离是，故答案为：13.已知，，则最大值为________.【答案】【解析】【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值.【详解】由题意可得：，当时，则，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以；当时，；综上所述：的最大值为，故答案为：.14.已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则下列命题正确的有______．①直线与所成角的正切值为②三棱柱外接球的半径为③平面截正方体所得截面为等腰梯形④点到平面的距离为【答案】①②④【解析】【分析】借助等角定理可得直线与所成角与直线与所成角相等，计算出可判断①；由三棱柱外接球与正方体外接球相同，故计算正方体体对角线的一半可判断②；借助平行线的性质可作出该截面，计算边长可判断③：借助等体积法计算可判断④.【详解】对于①：由，故直线与所成角与直线与所成角相等，连接，可得，又，平面，平面，所以，故，故①正确；对于②：三棱柱外接球与正方体外接球相同，故其外接球半径为，故②正确；对于③：如图：取中点，连接，过点作，交于点，则，所以平面截正方体所得截面为梯形，由，所以，所以，，所以，所以梯形不是等腰梯形，故③错误；对于④：如图：设点到平面的距离为，则，而，，所以，故④正确.故答案为：①②④.四、解答题15.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求外接圆的面积.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.（2）由（1）求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆半径即得.【小问1详解】依题意，，所以函数的最小正周期；由，得，所以函数的单调递增区间是.【小问2详解】由（1）知，，而，则，由，得，解得，由余弦定理得，则外接圆的半径，所以外接圆的面积为.16.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数，单位：分）的频率分布直方图如图所示．（1）求这次测试数学成绩众数；（2）求这次测试数学成绩的中位数．（3）延伸探究：若本例的条件不变，求数学成绩的平均分．（4）若本例条件不变，求80分以下的学生人数．【答案】（1）75分（2）73.3分（3）72分（4）56【解析】【分析】（1）根据众数的知识求得正确答案.（2）根据中位数的知识求得正确答案.（3）根据平均数的知识求得正确答案.（4）根据频率分布直方图来求得正确答案.【小问1详解】由题图知，众数为分.【小问2详解】设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，，因此中位数位于第四个矩形内，则，解得分．故这次测试数学成绩的中位数约为分．【小问3详解】数学成绩的平均分为分.【小问4详解】因为分的频率为，所以分以下的学生人数为．17.在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，结合面面垂直可得平面，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）先求解点到平面的距离，再求解的面积，利用锥体的体积公式即可求解.【小问1详解】解：∵，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.【小问2详解】取的中点，连接，∵，∴，∵平面平面，∴平面，∵，平面，平面，∴平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即点到平面的距离为的长.∵，，∴，∴，从而，∵四边形为平行四边形，，∴，，∴，∴.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）证明：；（2）记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．【答案】（1）证明见解析；（2）直角三角形.【解析】【分析】（1）利用正弦定理计算即可；（2）利用正弦定理及（1）结论证明即可.小问1详解】因为，由正弦定理得，，整理可得，，又，于是，即，因为，所以，所以或（舍去），所以；【小问2详解】根据等面积法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.（1）求证：平面；（2）求二面角正弦值；（3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.【答案】（1）证明见解析（2）.（3）.【解析】【分析】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面；（2）建立空间直角坐标系，求平面，平面