广东中考数学总结－代数部分

广东中考数学总结一代数部分

第一章实数

考点一、实数的概念及分类

1、实数的分类

「正有理数

/有理数，零,有限小数和无限循环小数

实数1I负有理数

正无理数］

I无理数J1无限不循环小数

I负无理数J

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

(1)开方开不尽的数，如V7,吮等；

(2)有特定意义的数，如圆周率小或化简后含有兀的数，如:+8等；

(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；

(4)某些三角函数，如sin60。等

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零

的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对

称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。

2、绝对值(1)一个数a的绝对值有以下三种情况：

1

a,〃A0

H=<0,a=0

一a,〃Y0

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|K）。零的绝对值时

它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a,则a>0；若|a|=-a,则a<0o正数

大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1

和-1。零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方

根。

正数a的平方根记做“土布”。

2、算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“后

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a（a>0）

3、立方根

如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方

根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是

2

零。

注意：归=-%，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数

1、科学记数法：设N>0,则2aXio"(其中IWaVlO,n为整数)。

2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位

为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：(1)

精确到那一位；(2)保留几个有效数字。

考点五、实数大小的比较

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述

规定的三要素缺一不可)。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，

并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较：设a、b是实数，

a-b>Ooa>b,

a-b=bQa=b,

a-b<0a<b

(3)求商比较法：设a、b是两正实数，—>1<^a>/?;—=l<^a=b\—<l<^a<b;

bbb

(4)绝对值比较法：设a、b是两负实数,则同>性|=""

(5)平方法：设a、b是两负实数，则标>〃0”3

考点六、实数的运算(做题的基础，分值相当大)

1、加法：

3

(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；

(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去

较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。

2、减法：

减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法：

(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

(2)n个实数相乘，有一个因数为0,积就为0；若n个非0的实数相乘,

积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数

为奇数个时，积为负。

(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

4、除法:

(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。

(3)0除以任何数都等于0,0不能做被除数。

5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，力口、

减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不

同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运

算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。

1、加法交换律a+b=b+a

2、加法结合律(〃+Z?)+c=〃+(Z?+c)

3、乘法交换律ab=ba

4

4、乘法结合律(ab)c=a(bc)

5、乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac

6、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就

先算括号里面的。

第二章代数式

1、代数式

1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数

式。单独一个数或者一个字母也是代数式。

2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代

数式的值。

3、代数式的分类:

’单项式

整式＜

有理式多项式

代数式

分式

、无理式

考点一、整式的有关概念

1、概念：单项式和多项式统称整式。

(1)单项式：像X、7、2/y,这种数与字母的积叫做单项式。单独一个

数或字母也是单项式。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次

数。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。

(2)多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含

5

有几项，就叫几项式。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的

次数。不含字母的项叫常数项。

（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做

同类项。几个常数项也是同类项。

（4）用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果,

叫做代数式的值。

注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值

代入。

（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”

代入。

2、运算

（1）整式的运算法则

整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母

的指数不变。

去括号法则：去括号法则

（括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不

变号。

（括号前是“-把括号和它前面的“-”号一起去掉，括号里各项都变

号。

添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前

面是“-”号，括到括号里的各项都变号。

（2）整式的乘法：同底数幕相乘：优、屋=优』（加，〃都是正整数）

6

塞的乘方：=a'n\m,〃都是正整数)

积的乘方：3切'=。呀(”都是正整数)

平方差公式：(〃+-Z?)=a2—b2;

完全平方公式：(a+b)2=a2+2aZ?+Z?2,(〃——2〃/7+Z?2

单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用

它们的指数的和作为这个字母的指数;对于只在一个单项式里含有的字母,

则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的

积相加。

多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每

一项，再把所得的积相加。

整式的除法：同底数塞相除：〃"+优=产"(私〃都是正整数"0)

单项除单项式：把系数，同底数塞分别相除，作为商的因式，对于只在被

除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得

的商相加。

注意：(1)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

(2)单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的

项数相同。

(3)计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时

还要注意单项式的符号。

(4)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

(5)公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

7

(6)a°=1(。w0);a"=，(aw0,°为正整数)

ap

(7)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把

所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

考点三、因式分解

1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)

(2)运用公式法：

平方差公式：a2-b2-(a+>)(〃-/7);完全平方公式：a1±2ab+b2=(a±b)2

(3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(X+〃)(1+/?)

(4)分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分

解。

3、因式分解的一般步骤：

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法;

(3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公

式法。

(4)最后考虑用分组分解法。

注：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

考点四、分式

1、分式定义：形如［的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。

(1)分式无意义：B=0时，分式无意义；BW0时，分式有意义。

(2)分式的值为0：A=0,BW0时，分式的值等于0。

8

（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式

的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分

式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。

（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母

分式的过程，叫做分式的通分。

（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次基的积。

（7）有理式：整式和分式统称有理式。

2、分式的基本性质：

（1）小蒜（〃是的整式）；⑵『寂.是'。的整式）

（3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变

其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算：

（1）力口、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分

母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。

（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分

子，分母乘以分母。

（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。

考点五、二次根式

1、二次根式

式子小（a»0）叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“4”；被

开方数a必须是非负数。

9

2、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含

能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算数平方根的

性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

(2)如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开

得尽方的因数或因式开出来。

3、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根

式叫做同类二次根式。

分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。

4、二次根式的性质

(1)(V^)2=a(a>0)

(2)=同=

(3)4ab=yl'a•4b(4Z>0,Z?>0)

(4)…

5、(1)运算:

(1)二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同

类二次根式。

(2)二次根式的乘法：4a-4b=4ab(a20,b20)。

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(3)二次根式的除法：冷病NO,20)

二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。

(2)二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加

减，有括号的先算括号里的(或先去括号)。

例题：

一、因式分解：

1、提公因式法：例1、24a2(x一y)+6b2(y-x)

2、十字相乘法：例2、(1)x4-5x2-36;(2)(x+y)2—4(x+y)-12

二、式的运算

巧用公式例5、计算：-(1+))2

a-ba-b

2、化简求值：

例6、先化简，再求值:5代—(3-+5无2)+(4y2+7孙)，其中x=-1y=1-V2

3、分式的计算：例7、化简，+(弋”-3)

4、根式计算例8、已知最简二次根式HI和n是同类二次根式,

求b的值。

分析：根据同类二次根式定义可得：2b+l=7-b。

第三章方程(组)

一、方程有关概念

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,

含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

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3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

二、等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是

竺才

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果

仍是等式。

考点一、一元一次方程的概念

1、一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次

方程，其中方程ox+b=0（x为未知数，awO）叫做一元一次方程的标准形式，a

是未知数x的系数，b是常数项。

（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是

已知数，aWO）

（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已

知数，aWO）

（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同

类项和系数化为1。

（4）一元一次方程有唯一的一个解。

考点二、一元二次方程

1、一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方

程。

2、一元二次方程的一般形式

at+bx+c-0（〃w0）9它的特征是：等式左边是一个关于未知数X的二次多

12

项式，等式右边是零，其中♦叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一

次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

考点三、一元二次方程的解法

如果方程加+bx+c-0(户0)的两个实数根是孙X9那么X]+x=，XX=­o

22ax2a

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的

一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以

二次项系数所得的商。

1、直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方

法。直接开平方法适用于解形如(x+a)2=〃的一元二次方程。根据平方根的

定义可知，x+a是b的平方根，当2o时，x+a=±y/~b，x=-ci±4b,当b<0

时，方程没有实数根。

2、配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而

且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公

式a2+2ab+b2=(a+b)2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替，则有

222

x±2bx+b=(x±b)o

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的

一般方法。

一元二次方程ax1+bx+c=0("0)的求根公式：

%J±〃2一4ac

2a

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简

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单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不

用配方法。

考点四、一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根的判别式：、=白-4ac

当A>0时。方程有两个不相等的实数根；

当A=0时。方程有两个相等的实数根；

当A<0时。方程没有实数根，无解；

当ANo时=方程有两个实数根

考点五、一元二次方程根与系数的关系

若%,%2一元二次方程af+H+C=Q的两个根，那么：西+/=-纥

a

c

x-x=—

x2a

以两个数和々为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：

2

%一（玉+x2）x+x1x2=0

考点六、分式方程

（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解

法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母

（2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该

舍去；若不等于零，就是原方程的根。

14

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分

母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，

增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

补、分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方

程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

考点七、二元一次方程组

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方

程

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程

的一个解。

3、二元一次方程组

一般形式：恰+竽=仿（%,如仇也2c不全为0）

a2x+b2y=c2

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程

组。

4方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。

5、解法：代入消远法和加减消元法

解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。

6、三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫

做三元一次方程组。

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例题:

一、一元二次方程的解法

例1、解下列方程：

(1)1(x+3)2=2;(2)2%2+3%=1;(3)4(x+3)2=25(x—2>

例2、解下列方程：

(1)必-q(3x-2a+b)=0(x为未知数)；(2)x2+2«x-8«2=0

二、分式方程的解法：

例3、解下列方程：

(2)3=，T；(2)"+4=5

1—xx+1xx+2

三、根的判别式及根与系数的关系

例4、已知关于X的方程：(p-l)x2+2px+p+3=0有两个相等的实数根，求p

的值。

例5、已知a、b是方程1-五%-1=0的两个根，求下列各式的值：

(1)/+/；(2)3

ab

例6、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程/7.5=0的两个

根小3

三、方程组

例7、解下列方程组：

fx+y-2z=1

(1)5+3产3；(2)2-=5

…=5x+y+32=4

列方程(组)解应用题

知识点：

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一、列方程(组)解应用题的一般步骤

1、审题：

2、设未知数；

3、找出相等关系，列方程(组)；

4、解方程(组)；

5、检验，作答；注：分式方程一定要写验证

二、列方程(组)解应用题常见类型题及其等量关系；

1、工程问题

(1)基本工作量的关系：工作量=工作效率X工作时间

(2)常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作

总量

(3)注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程

问题

2、行程问题

(1)基本量之间的关系：路程二速度X时间

(2)常见等量关系：

相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及问题(设甲速度快)：

同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程-乙走的路程=原来甲、

乙相距路程

同地不同时：甲的时间二乙的时间-时间差；甲的路程二乙的路程

3、水中航行问题：

顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；

17

逆流速度=船在静水中的速度-水流速度

4、增长率问题：

常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的

量X（1+增长率）；

5、数字问题：

基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数X10+百位上的

数X100

三、列方程解应用题的常用方法

1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成

代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。

2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后

根据线段长度的内在联系，找出等量关系。

3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种

量之间的关系。

4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的

关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。

例题：

例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另

有任务，由乙组再单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲

组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？

例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A地，1小时45分后,

因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28千

米，恰好在全程的g处追上甲连。求乙连的行进速度及追上甲连的时间

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例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪，由于

改进了操作技术；每天生产的台数比原计划多50%,结果提前2天完成任

务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？

例4、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经

营不善，销售额下降10%,以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月

份销售额增加到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？

例5、一年期定期储蓄年利率为2.25%,所得利息要交纳20%的利息税,

例如存入一年期100元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：

税后利息=1OOx2.25%-100x2.25%x20%=100x2.25%（1-20%）

已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450元，

问该储户存入了多少本金？

例6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40

元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本

措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2

件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

第四章不等式（组）

考点一、不等式的概念

1、不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式（组）的解、解集、解不等式

1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）

的一个解。

不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

19

不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。

2.求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。

3、用数轴表示不等式的方法

考点二、不等式基本性质

1、（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变,

如a>b,c为实数=>a+c>b+c

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如

a>b,c>0=>ac>bco

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如

a>b,cVOnacVbc.

注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的

习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否

改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。

2、任意两个实数a,b的大小关系（三种）：

（1）a-b>Ooa>b

（2）a-b=O=a=b

（3）a-bVOoaVb

3、（1）a>b>00右

考点三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1,且不等式的两

边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或

20

除以）一个负数时，不等号方向要改变。

3、解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化

为1

考点四、一元一次不等式组

1、一元一次不等式组：

（1）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式

组，叫做一元一次不等式组。

2、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解

为空集。

注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

方法1：利用不等式的基本性质1、判断正误：1）若a>b,c为实数,

则ac2>be2;错

（2）若则a>b对

方法2：特殊值法例2、若a<b<0,那么下列各式成立的是（）

A、B、ab<0C、-<1D、->1

abbb

方法3：逆向思考法

例5、已知关于X的不等式（a—2）x>10-a的解集是X>3,求a的值。

列不等式（组）解应用题

知识点：

一、列不等式（组）解应用题的一般步骤

21

1、审题：

2、设未知数；

3、找出不等关系，列不等式（组）；

4、解不等式（组）；

5、检验，作答；

注：方案类题

第六章一次函数与反比例函数

考点一、平面直角坐标系

1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标

系；

2、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（a力）

一一对应；其中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；

考点二、不同位置的点的坐标的特征

3、x轴上的点，纵坐标等于0;y轴上的点，横坐标等于0；bP（a,b）

坐标轴上的点丕属壬任何象限；1

4、四个象限的点的坐标具有如下特征：-3-2-101ax

-1

象限横坐标X纵坐标y

第一象限正正

第二象限负正

第三象限负负

第四象限正负

小结：（1）点P（羽姿-所在的象限横、纵坐标x、y的取值的正负

22

(2)点P(x,y)所在的数轴横、纵坐标X、斗省必有一数为零;

5、在平面直角坐标系中，已知点P(a,6),则

(1)点P至b轴的距离为即(2)点P到

(3)点P到原点O的距离为PO=

平行直线上的点的坐标特征:

a)在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等;

点A、B的纵坐标都等于加;

b)在与y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等;

点C、D的横坐标都等于“

6、对称点的坐标特征：

a)点P(w)关于x轴的对称点为),即横坐标不变，纵坐标互为

相反数；

b)点P(w)关于y轴的对称点为，即纵坐标不变，横坐标互为

相反数；

c)点关于原点的对称点为月即横、纵坐标都互为相反数;

关于X轴对称关于y轴对称关于原点对称

7、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：

a)若点P(狐〃)在第一、三象限的角平分线上，则根=人即横、纵坐

标相等；

b)若点P(i)在第二、四象限的角平分线上，贝！=f,即横、纵

坐标互为相反数；

在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上

考点三、函数及其相关概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程

中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于

x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x

称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

注:这是课本对于函数的定义，在理解与实际运用中我们要注意以下几点:

1、函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的；如:

y=xz中有三个变量，就不是函数；y=0中只有一个变量，也不是函数;

而y=0(x>0)却是函数，因为括号中标明了自变量的取值范围；

2、当自变量去每一个确定的值时因变量只能取唯一确定的值相对应,反之,

当因变量取每一个确定的值时自变量可以去若干个值相对应;因为这两

24

个变量有先变与后变的问题，让后变的先取一个值，先变的就不一定只

取一个值；

3、我们只能说函数值是自变量的函数，或用自变量来表示函数值，如：a

是b的函数就说明a是函数值，b是自变量；用y表示x就说明y是自

变量，x是函数值；任何函数都要标明谁是谁的函数，不能随便说一个

解析式是不是函数，如：

Y=x2,只能说y是x的函数，就不能说x是y的函数；

4、函数解析式的表示：只有函数值写在等号左边，含有自变量的式子写在

等号右边；注意不能写成2y=3x-3或y2=3x-3的形式；

5、任何函数都包含自变量的取值范围，如果没指明说明自变量的取值范围

是任意实数。自变量的取值范围从以下几个方面把握：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

3、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为

点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的

图象.

4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做

解析式。

5、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函

25

数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标

由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

6、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易

看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数

之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

考点四、正比例函数和一次函数（3~10分）

7、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx（k是常数，片0）的函数叫做正比例函数，其中k叫

做比例系数.

注：正比例函数一般形式y=kx（k不为零）①k不为零②x指数为1③

b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大

y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x

增大y反而减小.

（1）解析式:y=kx（k是常数,后0）

⑵必过点：（0,0）、（1,k）

（3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限

（4）增减性：k>0,y随x的增大而增大；k<0,y随x增大而减小

⑸倾斜度：阳越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

26

一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k^O）,那么y叫做x的一次函数.

当b=0时，y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函

数.

注：一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）①k不为零②x指数为

1③b取任意实数

一次函数丫=1^+6的图象是经过（0,b）和（-30）两点的一条直线,

k

我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.

（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b（k>b是常数，kwO）

（2）必过点：（0,b）和（2，0）

k

（3）走向：k>0,图象经过第一、三象限；k<0,图象经过第二、四象限

b>0,图象经过第一、二象限；b<0,图象经过第三、四象限

/>°o直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限

b>0也<0

直线经过第一、二、四象限[<0=直线经过第二、三、四象限

b>0b<Q

27

（4）增减性：k>0,y随x的增大而增大；k<0,y随x增大而减小.

（5）倾斜度：阳越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

9、一次函数丫=1^+1）的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两

点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直

线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0,b）,（-?,0）.

即横坐标或纵坐标为0的点.

10、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|

个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

11、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a,b为常数，a#0）的形式,

所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为。时，求相应的

自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的

横坐标的值.

12、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a,b为常

数，a彳0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）

于。时，求自变量的取值范围.

13、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函

数+：的图象相同.

bb

28

（2）二元一次方程组忖的解可以看作是两个一次函数

a2x+b2y=c2

y=--%+々和y=——x+台的图象交点.

仇4。2。2

【考点指要】

一次函数常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起,

以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，解决这类问题常用到

分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法；为方便大家计算以及

分析题目，现介绍一些解题过程中可以运用的公式与性质，希望大家能反

复揣摩、理解、运用以期熟练地掌握，这样可以化繁为简！这里要强调的

是以下这些公式。

1、一次函数解析式的几种类型

[一般式]y=kx+b[（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）

2.求函数图像的k值：匕二红（（"％）与（%,%）为直线上的两点）

必—>2-

3.求任意线段长f）2+（%-为）2（（”％）与（％%）为直角坐标系任

意两点）

4、求任意两点所连线段的中点坐标：（―，心）

5、若两条直线了=抬％+仇与尸左2*+。2互相平行，那么瓦=1<2,b#b2

6、若两条直线y=抬％+。|与尸人2%+九互相垂直，那么k[X]<2=—1

7、将y=kx+b向上平移n个单位后变成y=kx+b+n；向下平移n个单位变

成y=kx+b-n

8、将y=kx+b向左平移n个单位后变成y=k（x+n）+b；将丫=1<*+1）向右

平移n个单位后变成y=k（x-n）+b（任何图像的平移都遵循上加下减,

左加右减的规则）

29

9、y=k1x+b1与y=k？x+b2关于x轴对称，那么瓦+1<2=0、b^b^O

10、若丫=&*+1）1与y=k？x+b2关于y轴对称，那么&+卜2=0、bj=b2

11、同理，y=Kx与y=k?x关于平行、垂直、平移、对称也满足以上性质

12、y=kx+b与坐标轴围成的三角形面积为二

2Ik|

13、y=kx（k是常数，k#0）必过点：（0,0）、（1,k）

14>y=kx+b必过点：（0,b）和0）

k

考点五、反比例函数（3〜10分）

知识点1反比例函数的定义

一般地，形如y=V（k为常数，k，0）的函数称为反比例函数，它可

X

以从以下几个方面来理解：

⑴X是自变量，y是X的反比例函数；

⑵自变量x的取值范围是x丰0的一切实数，函数值的取值范围是y/0;

⑶比例系数k工。是反比例函数定义的一个重要组成部分；

⑷反比例函数有三种表达式：

①y=&（kH0）,②y=kxT（kH0）,③x.y=k（定值）（kwO）;

X

⑸函数y=K（k/0）与x=K（kwo）是等价的，所以当y是x的反比

xy

30

例函数时，X也是y的反比例函数。

(k为常数，k#0)是反比例函数的一部分，当k=0时，y」，就不

X

是反比例函数了，由于反比例函数y=±(kwo)中，只有一个待定系数，

X

因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达

式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数y=&(k/O)中，只有一个待定系数，因此，只要一

X

组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第

一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自

变量函数中自变量XN0,函数值y/0,所以它的图像与X轴、y轴都没有

交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图

像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲

线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减

情况，如下表:

31

反比例函

y=-1k/0)

X

数

k的

k>0k<0

符号

力，

图像JL

①X的取值范围是xwO,y的①X的取值范围是

取值范围是yw0XHO,y的取值范围是

②当k〉0时，函数图像的两yw0

个分支分别在第一、第三象②当k<0时，函数图像

性质

限，在每个象限内，y随x的两个分支分别在第

的增大而减小。二、第四象限，在每个

象限内，y随x的增大

而增大。

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼

统地说，当k〉。时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数ky

的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和/

函数的增减性，也可以推断出k的符号。如丫=上在第一、第三象L、

限，则可知k〉o。'/

32

☆反比例函数y=；(h0)中比例系数k的绝对值|k|的几何意义。

如图所示，过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线，E、F

分别为垂足，

则网=附=H'H=PF•PE=S矩形.EPF

☆反比例函数y=&(h0)中，闪越大，双曲线y=K越远离坐标原点；|k|

XX

越小，双曲线y=K越靠近坐标原点。

X

☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形,

对称轴是直线y=x和直线y=-Xo

函数正比例函数反比例函数

解析式y=kx(krO)y=—(A#0)

X

图像直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点

自变量取值范围全体实数的一切实数

图像的位置当「＞0时，在一、三象限;当A＞0时，在一、三象限；

当人＜0时，在二、四象限。当A＜0时，在二、四象限。

性质当友＞0时,y随X增大而增大；当上＞0时，夕随工增大而减小；

当儿＜0时，y随工的增大而减小。当人＜0时，y随％增大而增大。

第七章二次函数

考点一、二次函数的概念和图像

自变量的

解析式图像(抛物线)

函数取值范围

\J%y

(1)一般式:yua^+bx+c

(a#0)

全体£

(2)顶点式:y=a(x-mA+n

二次

教

顶点为(m,n)实

函数7T

(3)两根式：2a

y=a(x-x】)(x-X2)与

X轴两交点：(X],O)(X2,O)a>0a<0

-y>0__-<o

2aa

33

1.定义：一"般地，如果y=a尤2+6尤+c（a,瓦c是常数，”0）,那么y叫做x的—.

次函数.

2.二次函数k“2的性质

（1）抛物线y=小的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

（2）函数y="2的图像与。的符号关系.

①当空。时o抛物线开口向上=顶点为其最低点；

②当。＜0时=抛物线开口向下一顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y=a/（"0）.

3.二次函数y=ax+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

4.二次函数y=ax+bx+c用配方法可化成：y=a（x-4+左的形式，其中

7b74ac-Z72

h=---，k--------•

2a4。

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①尸尔；②股/+左；

③y=a（尤-力）2；@y=«（x-li）2+k;⑤y=ax2+b尤+c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当。〉0时，开口向上；当。＜0时，开

口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作了=〃.特别地，y轴记作直线30.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，

那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：

y=ax+bx+c=x+[+牝金，・•・顶点是（-2,当上），对称轴是直线

\2a）4a2a4〃

34

x---b•

2a

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为丁=《犬-4+人的

形式，得到顶点为（心左），对称轴是直线X=〃.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，

所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物

线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万

无一失.

9.抛物线y=ax1+bx+c9a,b,c的作用

（l）。决定开口方向及开口大小，这与产尔中的a完全一样.

（2）6和〃共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对