专题08函数(方程)与实际应用的常考问题(原卷版+解析)

专题8：函数（方程）与实际应用的常考问题目录一、热点题型归纳【题型一】一次方程（函数）与不等式的实际应用常考题型（最值）【题型二】一次方程（函数）与不等式的实际应用常考题型（方案）【题型三】二元一次方程（组）与不等式的实际应用常考题型（最值）【题型四】二元一次方程（组）与不等式的实际应用常考题型（方案）【题型五】分式方程的实际应用常考题型【题型六】二次方程（函数）的实际应用常考题型【题型七】方程（函数）几何问题二、最新模考题组练【题型一】一次方程（函数）与不等式的实际应用常考题型（最值）【典例分析】1.某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：类别价格A种B种进货价(元/盒)2530销售价(元/盒)3240(1)若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒；(2)若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？2.某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元．(1)求、两种笔记本的进价；(2)文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值．【提分秘籍】一次函数的最值问题，关键是要根据题意列出函数关系式，其中求自变量取值范围是关键；一般答题思路：①根据题意列方程；②根据题意求自变量的取值范围；③根据一次函数的增减性和自变量取值范围，求出最值问题即可。【变式演练】1.为深人学习党的二十大精神，某校举办了“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，学校计划购买两种奖品共计30份分别发放给获得一等奖、二等奖的同学，获奖同学各发一份奖品，同一等级奖品相同．设一等奖奖品的单价为x元，购买两种奖品的总费用为y元．(1)若购买一等奖、二等奖奖品的单价分别为40元、20元，则学校共需花费800元，求获得一等奖、二等奖的人数分别是多少？(2)在（1）的结果下，若一等奖、二等奖奖品的单价的和为60元，一等奖奖品的单价不超过二等奖奖品单价的倍，求总费用y的最小值．2.紫袍玉带石是一种独产于贵州梵净山一带的玉石材资源，具有约10﹣14亿年的成矿历史，因由紫色的深色条带与灰绿色的浅色条带相互间夹构成，形似古代官宦朝服中的玉带，故俗称“紫袍玉带石”．小李在某网店选中A，B两款紫袍玉带石，决定从该网店进货并销售，两款玉带石的进货价和销售价如表：类别价格A款玉带石B款玉带石进货价（元/个）4030销售价（元/个）5645(1)第一次小李用1100元购进了A，B两款玉带石共30个，求两款玉带石各购进多少个．(2)第二次小李进货时，网店规定A款玉带石进货数量不得超过B款玉带石进货数量的一半，小李计划购进两款玉带石共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玉带石全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？【题型二】一次方程（函数）与不等式的实际应用常考题型（方案）【典例分析】1.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．(1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？【提分秘籍】根据题意列方程和不等式，根据未知数的取值范围列出几种方案。一般答题思路：①根据题意列方程；②用含未知数的式子分别表示出几个未知的量；③根据题意求自变量的取值范围；④根据题意列出符合题意的方案；⑤选择最优方案。【变式演练】1.接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途经，保障人民群众的身体健康．据某市3月份统计，甲接种点完成一批加强针的接种任务用了m天，乙接种点完成相同数量的加强针接种任务多用2天，且乙接种点平均每天接种加强针的人数比甲接种点少20%．(1)求整数m的值．(2)接种工作包含登记、接种、留观，需要组队完成．某中学现有2160人符合接种加强针条件，甲接种点需要组建A和B两种团队到校接种，A种团队每小时可完成100人的接种，B种团队每小时可完成60人的接种．若AB两种团队共10个，其中A种团队不超过5个，要求上午9点同时开始工作，中午12点前（包含12点）完成．问甲接种点有几种派遣方案前往该中学可以在12点前（包含12点）完成该校加强针的接种．2.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和张家口市联合举行，北京是唯一一个既举办冬季奥运会又举办夏季奥运会的城市.为了迎接2022年北京冬季奥运会，某校准备举行冬季长跑比赛，为奖励长跑优胜者，学校需要购买一些冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融中性笔和徽章．了解到某商店中性笔的单价比徽章的单价多11元，若买2支中性笔和3个徽章共需67元．(1)中性笔和徽章的单价各是多少元？(2)该商店推出两种优惠方案，方案一：消费金额超过200元的部分打八折；方案二：全店商品打九折.若学校需要购买10支中性笔和30个徽章，选择哪种方案更优惠？【题型三】二元一次方程（组）与不等式的实际应用常考题型（最值）【典例分析】1.“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共套进行销售，它们的进价和售价如下表：进价售价乒乓球拍（元／套）羽毛球拍（元／套）已知购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元．(1)求出，的值；(2)该体育用品商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的，若这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？【提分秘籍】一般答题思路：①根据题意分别设两未知数为x和y并列方程；②解二元一次方程组。③根据题意，如与一次函数综合，则参考题型一答题即可。【变式演练】1.“五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进，两种纪念品，购进种纪念品件，种纪念品件，共需元；购进种纪念品件，种纪念品件，共需元．(1)求购进，两种纪念品每件各需多少元？(2)若购买两种纪念品共件，并且购买种纪念品的数量不大于种纪念品数量的倍．种纪念品每件获利元，种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进，两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？2.为迎接“国家创卫”检查，我市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱需340元；购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元．(1)求每A个型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？(2)该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱20个，其中购买A型垃圾箱不超过16个．求购买垃圾箱的总花费（元）与A型垃圾箱m（个）之间的函数关系式；(3)在（2）中，当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最小，最小费用是多少？3.为了提高同学们学习数学的兴趣，某中学开展主题为“感受数学魅力，享受数学乐趣”的数学活动．并计划购买A、B两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生，已知购买1件A种奖品和2件B种奖品共需元，购买2件A种奖品和1件B种奖品共需元．(1)每件A、B奖品的价格各是多少元？(2)根据需要，该学校准备购买A、B两种奖品共件，设购买a件A种奖品，所需总费用为w元，求w与a的函数关系式，并直接写出a的取值范围；(3)在（2）的条件下，若要求购买的A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍，求所需总费用的最小值．【题型四】二元一次方程（组）与不等式的实际应用常考题型（方案）【典例分析】1.某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？(2)已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．【提分秘籍】一般答题思路：①根据题意分别设两未知数为x和y并列方程；②解二元一次方程组。③根据题意，如与一次函数综合，则参考题型一答题即可；如与方案性问题综合，则参考题型二答题即可。【变式演练】1.党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，东营市政府欲购进一批风景树进行绿化，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．(1)问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？(2)东营市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？2.“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元.(1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？(3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.【题型五】分式方程的实际应用常考题型【典例分析】1.某店有、两种口罩出售，其中种口罩的单价要比种口罩的单价多元，用元购进种口罩数量是用元购进种口罩数量的倍．(1)求、两种口罩的单价；(2)某单位从该店购进、两种口罩共个，总费用为元，求购进种口罩多少个．【提分秘籍】列分式方程解应用题的基本步骤：

(1)审——仔细审题，找出等量关系；

(2)设——合理设未知数；

(3)列——根据等量关系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)验——检验增根；

(6)答——答题．分式方程中常见的数量关系：速度差=V甲-V乙=甲路程甲时间-时间差=T甲-T乙=甲路程甲速度-数量差=甲数量-乙数量=甲总价甲单价-单价差=甲单价-乙单价=甲总价甲单价-总工程量（1）=甲工效×甲时间+乙工效×乙时间【变式演练】1.某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：甲水笔乙水笔每支进价（元）a每支利润（元）23已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．2.奥体中心体育场是我市重要的城市名片和地标建筑，见证了重庆体育的灿烂发展，其重要性不言而喻．经过前期周密的准备，重庆市奧体中心体育场顶棚维修改造工程近期开工．现安排甲、乙两个工程队完成，已知由乙队单独施工所需时间为由甲队单独施工所需时间的倍．若甲队先施工天，再由乙队施工天可刚好完成维修工作．(1)求若由甲队单独施工需要多少天；(2)已知甲施工队每天的修建费用为万元，乙施工队每天的修建费用为万元，乙队先施工若干天，后由甲、乙两队共同施工完成，此项目所需总费用不超过万，求甲队最多维修了多少天．3.在“妇女节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价2元促销，降价后300元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.2倍．(1)求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？(2)根据销售情况，店主用不多于2000元的资金再次购进两种鲜花共300枝，康乃馨进价为8元/枝，玫瑰进价为6元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？【题型六】二次方程（函数）的实际应用常考题型【典例分析】1.如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图．(1)求表示该抛物线的函数表达式：(2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．【提分秘籍】二次函数（方程）实际应用的一般答题思路：①根据题意列方程；②根据题意求出自变量的取值范围；③化为顶点式，根据二次项系数“a”的正负性和对称轴判定最值。【变式演练】1.某商场销售一种成本为元的商品，市场调研反映：在某个月的第天（）的销售价格为（）元，日销售量（）与的函数关系如图所示．(1)求与的函数解析式；(2)销售该商品第几天时，日销售利润最大？(3)结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于元？2.如图1，有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的水面宽20米，拱顶到水面的距离为6米，到桥面的距离为4米，相邻两支柱间的距离均为5米，建立直角坐标系如图2．(1)求抛物线的函数表达式．(2)求支柱的长度．(3)随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．一艘货船在水面上的部分的横截面是边长为5米的正方形，当水位上升0.75米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你的理由．3.科技创新是发展的第一动力．某科研公司向市场推出了一款创新产品，该产品的成本价格是40元/件，销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间满足一次函数关系，部分数据如下表：x（件）101520…（元/件）585756…(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求销售利润w(元)关于销售量x(件)的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？(3)为了保证销售利润不低于420元，求该产品的销售价格的取值范围．【题型七】方程（函数）几何问题【典例分析】1.如图，在长方形中放入八个相同的小长方形，尺寸如图所示．已知小长方形的长是宽的3倍多，求小长方形的长和宽．2.综合与实践如图所示，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为．(1)直接写出：____________；（用含t的式子表示）(2)当t为何值时，四边形为平行四边形？【提分秘籍】普通几何问题一般答题思路：①根据未知量，正确的设未知数；②通过图形获得定量和变量的等量关系；②根据题意列方程求值即可；动点几何问题一般答题思路：①用含未知数x的式子表示出已移动的量和关联的量；②根据面积、周长或移动距离等关系列方程（构建函数模型）；③根据点的位置进行分类讨论。【变式演练】1.如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低cm，求每块墙砖的截面面积．2.已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积等于？(2)在（1）中，的面积能否等于？请说明理由．1．（2023·陕西西安·统考模拟预测）袁隆平，“共和国勋章”获得者，中国科学院院士，“中国杂交水稻之父”，一生致力于对水稻的研究，现有A、B两块试验田各30亩，A块试验田种植普通水稻，B块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的2倍，两块试验田单次共收获水稻43200千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克？2．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）为了缓解城市“停车难”问题，我市通过打造“智慧停车平台”，为市民提供便捷的停车服务．某停车场收费标准如下：（不足1小时，按1小时计）停车时长费用（元/小时）不超过30分钟0超过30分钟不超过1小时超过1小时的部分(1)若张先生某次在该停车场停车小时分钟，共交费元，则___________；(2)若停车时长为小时（取整数且），求该停车场停车费（元）关于停车计时（小时）的函数解析式；若李先生也在该停车场停车，并支付了元停车费，则该停车场是按几个小时计时收费的？3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考二模）子弟小学的嘉嘉和熹熹去文化用品商店购买学习用品.嘉嘉用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；熹熹用31元买了同款的钢笔2支和同款的笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)嘉嘉和熹熹组织“伴学互助”小组的同学，捐款购买同款的钢笔和同款的笔记本共48件，准备送给生活有困难的同学，已知全组同学捐款不少于200元，求最多可以买多少钢笔？4．（2023·校联考一模）如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，若矩形绿地的面积为，求矩形垂直于墙的一边，即的长．5．（2023·安徽黄山·统考一模）数字化阅读凭借其独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径．近年来，我国数字阅读用户规模持续增长，据统计年我国数字阅读用户规模达亿人，年约为亿人．(1)求年到年我国数字阅读用户规模的年平均增长率；(2)按照这个增长率，预计年我国数字阅读用户规模能否达到亿人．6．（2023·广东深圳·校考模拟预测）某商场试销一款玩具，进价为20元/件，商场与供货商约定，试销期间利润不高于，且同一周内售价不变．从试销记录看到，当售价为22元时，一周销售了80件该玩具；当售价为24元时，一周销售了60件该玩具．每周销量（件）与售价（元）符合一次函数关系．(1)求每周销量（件）与售价（元）之间的关系式；(2)若商场一周内销售该玩具获得的利润为210元，则该玩具的售价为多少元(3)商场将该玩具的售价定为多少时，一周内销售该玩具获得利润最大最大利润为多少元7．（2023·广东深圳·统考二模）铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍．(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？两次共购进多少苹果？(2)如果超市将该品种苹果按每千克10元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的500千克按定价的六折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？8．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考一模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒，求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？9．（2023·陕西宝鸡·统考一模）随着“一带一路”的进一步推进，我国瓷器更被一带一路沿线人们所推崇，某商户看准这一商机，准备经销瓷器茶具，计划购进青瓷茶具和白瓷茶具共60套．已知青瓷茶具每套250元，白瓷茶具每套200元，设购进x套青瓷茶具，购进青瓷茶具和白瓷茶具的总费用为y元！(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)该商户想要用不多于13500元的资金购进这两种茶具，则青瓷茶具最多能购进多少套？10．（2023·广东广州·模拟预测）某IT产业园响应垃圾分类政策，准备在其园内增设垃圾分类温馨告示栏和分类垃圾箱，若购买3个温馨告示栏和6个垃圾箱共需900元，且垃圾箱的单价比温馨告示栏单价的2倍多5元．(1)求温馨告示栏和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该园内至少需要安放30个分类垃圾箱，如果购买温馨告示栏和垃圾箱共40个，且费用不超过4300元，请列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需费用最少？最少是多少元？11．（2023·湖北恩施·统考一模）在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1棵杉树共需380元．（1）求柏树和杉树的单价；（2）若本次美化乡村道路臀购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树的棵数不少于树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？12．（2023·四川成都·统考二模）直播作为一种新的营销方式，已经被越来越多的人所接受．近年以来，许多特色农产品随着直播漫步“云端”，被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为10元/的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为W（元）．(1)求W与x之间的函数关系式；(2)若销售单价不低于15元/，且每天至少销售时，求W的最大值．13．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为五岳之一，位于陕西省渭南市，自古以来就有“奇险天下第一山”的说法．某气象研究小组为了解华山的海拔高度（km）与相应高度处气温（）的关系，测得的数据如下表：海拔高度（）01234……气温（）20151050……(1)由表格中的规律发现气温t是关于海拔高度h的一次函数，请写出气温t与海拔高度h的关系式；(2)南峰海拔约，是华山最高主峰．请问南峰顶部气温是多少度？14．（2023·山东菏泽·统考一模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品件和乙商品件共需元，购进甲商品件和乙商品件共需元．(1)求甲、乙两种商品每件的逬价分别是多少元？(2)商场决定甲商品每件元出售，乙商品每件元出售，为了满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的倍，请求出获得利润最大的进货方案．15．（2023·山东青岛·统考一模）为响应国家提出由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款机器人，每个生产成本为16元，投放市场进行了销售．经过调查，售价为30元/个时，每月可售出40万个，销售单价每涨价5元，每月就少售出10万个．(1)确定月销售量y（万个）与售价x（元/个）之间的函数关系式；(2)设商场每月销售这种机器人所获得的利润为w（万元），请确定所获利润w（万元）与售价x（元/个）之间的函数关系式．16．（2023·北京门头沟·统考一模）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系．比赛中，甲同学连续进行了两次发球．(1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如下：水平距离x/m0123456竖直高度y/m12.43.444.243.4根据以上数据，回答下列问题：①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是______m；②在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球______（填“是”或“否”）可以过网；③求出满足的函数关系；(2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则______0（填“”“”或“”）17．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第70中校考一模）某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间满足一次函数的关系（如图所示）．（1）求与之间的函数关系式；（2）若该商店每天可获利225元，求该商品的售价；（3）已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？18．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，在中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．(1)①斜边上的高为______②当时，的长为______(2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？(3)当点Q在边上运动时，直接写出所有能使成为等腰三角形的t的值．19．（2023·安徽滁州·校考一模）在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：(1)当时，、两点之间的距离是多少？(2)若的面积为，求关于的函数关系式．(3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？专题8：函数（方程）与实际应用的常考问题目录一、热点题型归纳【题型一】一次方程（函数）与不等式的实际应用常考题型（最值）【题型二】一次方程（函数）与不等式的实际应用常考题型（方案）【题型三】二元一次方程（组）与不等式的实际应用常考题型（最值）【题型四】二元一次方程（组）与不等式的实际应用常考题型（方案）【题型五】分式方程的实际应用常考题型【题型六】二次方程（函数）的实际应用常考题型【题型七】方程（函数）几何问题二、最新模考题组练【题型一】一次方程（函数）与不等式的实际应用常考题型（最值）【典例分析】1.某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：类别价格A种B种进货价(元/盒)2530销售价(元/盒)3240(1)若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒；(2)若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？【答案】(1)则购进B种粽子20盒，A种粽子36盒(2)购进A种“粽子”40盒，购进B种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元【分析】(1)设未知数，根据A种的数量是B种数量的2倍少4盒，列方程求解；(2)设购进B种“粽子”m盒，销售利润为W元，根据A种“粽子”进货数量不少于B种“粽子”进货数量的2倍，可得，而，由一次函数性质可得购进A种“粽子”40盒，购进B种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元．【详解】（1）设购进B种粽子x盒，，解得，，则购进B种粽子20盒，A种粽子36盒．（2）设购进B种“粽子”m盒，销售利润为W元，则购进A种“粽子”盒，∵根据A种“粽子”进货数量不少于B种“粽子”进货数量的2倍，∴，解得，根据题意得，∵，∴W随m的增大而增大，∴时，W取最大值，最大值为(元)，此时，答：购进A种“粽子”40盒，购进B种“粽子”20盒，获得最大利润，最大利润是480元．【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．2.某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元．(1)求、两种笔记本的进价；(2)文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值．【答案】(1)种笔记本每本12元，种笔记本每本15元(2)20【分析】（1）设种笔记本每本元，则种笔记本每本元，由题意得，，计算可得的值，进而可得的值；（2）设第二次购进种笔记本本，则购进种笔记本本，由题意得，，可得，设获得的利润为元，由题意得，，由一次函数的性质可知，当时，的值最大，最大值为，令，求解满足要求的解即可．【详解】（1）解：设种笔记本每本元，则种笔记本每本元，由题意得，，解得，，∴，∴种笔记本每本12元，种笔记本每本15元；（2）解：设第二次购进种笔记本本，则购进种笔记本本，由题意得，，解得，，∴，设获得的利润为元，由题意得，，，随的增大而减小，当时，的值最大，最大值为，由题意得，解得，，为正整数，的最小值为20．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．【提分秘籍】一次函数的最值问题，关键是要根据题意列出函数关系式，其中求自变量取值范围是关键；一般答题思路：①根据题意列方程；②根据题意求自变量的取值范围；③根据一次函数的增减性和自变量取值范围，求出最值问题即可。【变式演练】1.为深人学习党的二十大精神，某校举办了“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，学校计划购买两种奖品共计30份分别发放给获得一等奖、二等奖的同学，获奖同学各发一份奖品，同一等级奖品相同．设一等奖奖品的单价为x元，购买两种奖品的总费用为y元．(1)若购买一等奖、二等奖奖品的单价分别为40元、20元，则学校共需花费800元，求获得一等奖、二等奖的人数分别是多少？(2)在（1）的结果下，若一等奖、二等奖奖品的单价的和为60元，一等奖奖品的单价不超过二等奖奖品单价的倍，求总费用y的最小值．【答案】(1)获一等奖的人数为人，则获二等奖的人数为人．(2)费用最小值为元．【分析】（1）设获一等奖的人数为人，则获二等奖的人数为人，可得，再解方程可得答案；（2）设获一等奖奖品的单价为元，则获二等奖奖品的单价为元，则总费用，再列不等式可得的范围，结合一次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：设获一等奖的人数为人，则获二等奖的人数为人，∴，解得：，∴，答：获一等奖的人数为人，则获二等奖的人数为人．（2）设获一等奖奖品的单价为元，则获二等奖奖品的单价为元，∴总费用，∵，解得：，∵，∴随的增大而减小，∴当时，费用最小值为（元）．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，确定相等关系与不等关系列方程与不等式或函数关系式是解本题的关键．2.紫袍玉带石是一种独产于贵州梵净山一带的玉石材资源，具有约10﹣14亿年的成矿历史，因由紫色的深色条带与灰绿色的浅色条带相互间夹构成，形似古代官宦朝服中的玉带，故俗称“紫袍玉带石”．小李在某网店选中A，B两款紫袍玉带石，决定从该网店进货并销售，两款玉带石的进货价和销售价如表：类别价格A款玉带石B款玉带石进货价（元/个）4030销售价（元/个）5645(1)第一次小李用1100元购进了A，B两款玉带石共30个，求两款玉带石各购进多少个．(2)第二次小李进货时，网店规定A款玉带石进货数量不得超过B款玉带石进货数量的一半，小李计划购进两款玉带石共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玉带石全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？【答案】(1)A款玉带石购进20个，B款玉带石购进10个；(2)A款玉带石购进10个、B款玉带石购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；(3)对于小李来说第二次的进货方案更合算．【分析】（1）设A款玉带石购进x个，B款玉带石购进个，由用1100元购进了A，B两款玉带石建立方程求出其解即可；（2）设A款玉带石购进a个，B款玉带石购进个，获利y元，根据题意可以得到利润与A款玉带石数量的函数关系，然后根据A款玉带石进货数量不得超过B款玉带石进货数量的一半，可以求得A款玉带石数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润；（3）分别求出两次进货的利润率，比较即可得出结论．【详解】（1）解：设A款玉带石购进x个，B款玉带石购进个，由题意，得，解得：．（个）．答：A款玉带石购进20个，B款玉带石购进10个；（2）解：设A款玉带石购进a个，B款玉带石购进个，获利y元，∵A款玉带石进货数量不得超过B款玉带石进货数量的一半，∴，解得，由题意，得，∵，∴y随a的增大而增大，∴时，元，∴B款玉带石为：（个）．答：A款玉带石购进10个、B款玉带石购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；（3）解：第一次的利润率，第二次的利润率，∵，∴对于小李来说第二次的进货方案更合算．【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．【题型二】一次方程（函数）与不等式的实际应用常考题型（方案）【典例分析】1.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．(1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售利润最多，你选择哪一种进货方案？【答案】(1)购甲种电视机25台，乙种电视机25台；或购甲种电视机35台，丙种电视机15台(2)购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多【分析】（1）根据题意分3种情况，分别列出一元一次方程求解即可；（2）根据（1）所得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案．【详解】（1）解：分三种情况计算：①设购甲种电视机台，乙种电视机台．列方程得，解得，，∴购甲种电视机25台，乙种电视机25台；②设购甲种电视机y台，丙种电视机台．则，解得：，∴购甲种电视机35台，丙种电视机15台；③设购乙种电视机z台，丙种电视机台．则解得：，（不合题意，舍去）；综上所述，进货方案有两种：购甲种电视机25台，乙种电视机25台；或购甲种电视机35台，丙种电视机15台；（2）方案一：．方案二：元．∵，∴购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．【提分秘籍】根据题意列方程和不等式，根据未知数的取值范围列出几种方案。一般答题思路：①根据题意列方程；②用含未知数的式子分别表示出几个未知的量；③根据题意求自变量的取值范围；④根据题意列出符合题意的方案；⑤选择最优方案。【变式演练】1.接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途经，保障人民群众的身体健康．据某市3月份统计，甲接种点完成一批加强针的接种任务用了m天，乙接种点完成相同数量的加强针接种任务多用2天，且乙接种点平均每天接种加强针的人数比甲接种点少20%．(1)求整数m的值．(2)接种工作包含登记、接种、留观，需要组队完成．某中学现有2160人符合接种加强针条件，甲接种点需要组建A和B两种团队到校接种，A种团队每小时可完成100人的接种，B种团队每小时可完成60人的接种．若AB两种团队共10个，其中A种团队不超过5个，要求上午9点同时开始工作，中午12点前（包含12点）完成．问甲接种点有几种派遣方案前往该中学可以在12点前（包含12点）完成该校加强针的接种．【答案】(1)8(2)有3种派遣方案【分析】（1）根据题意列方程求解即可；（2）根据题意，列不等式，解不等式即可；（1）解：根据题意得，解得：所以m的值为8．（2）设有A种团队x个，B种团队（10-x）个；，解得：x的解集为：，当x=3时，10-x=7；当x=4时，10-x=6；当x=5时，10-x=5；所以有3种派遣方案．2.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和张家口市联合举行，北京是唯一一个既举办冬季奥运会又举办夏季奥运会的城市.为了迎接2022年北京冬季奥运会，某校准备举行冬季长跑比赛，为奖励长跑优胜者，学校需要购买一些冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融中性笔和徽章．了解到某商店中性笔的单价比徽章的单价多11元，若买2支中性笔和3个徽章共需67元．(1)中性笔和徽章的单价各是多少元？(2)该商店推出两种优惠方案，方案一：消费金额超过200元的部分打八折；方案二：全店商品打九折.若学校需要购买10支中性笔和30个徽章，选择哪种方案更优惠？【答案】(1)中性笔和徽章的单价分别是20元和9元(2)选择方案一更优惠【分析】（1）设中性笔的单价是元，则徽章的单价是元，根据买2支中性笔和3个徽章共需67元，即可列出一元一次方程，解出即可；（2）根据方案一与方案二进行计算，比较结果即可得出那个方案更优惠．【详解】（1）（1）设中性笔的单价是元，则徽章的单价是元，根据题意，得：，解得，．答：中性笔和徽章的单价分别是20元和9元．（2）（2）方案一：；，，方案二：．因为所以选择方案一更优惠．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题目条件正确的列出一元一次方程是解决问题的关键．【题型三】二元一次方程（组）与不等式的实际应用常考题型（最值）【典例分析】1.“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共套进行销售，它们的进价和售价如下表：进价售价乒乓球拍（元／套）羽毛球拍（元／套）已知购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元．(1)求出，的值；(2)该体育用品商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的，若这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？【答案】(1)、的值分别是元、元(2)购进乒乓球拍套，羽毛球拍套，获利最大，最大利润为元【分析】（1）根据购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，列出方程组，解方程组即可；（2）根据总利润＝乒乓球拍的利润＋羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值即可．【详解】（1）解：根据题意得：，解得：，答：、的值分别是元、元．（2）设购进乒乓球拍套，羽毛球拍套．总利润为元，由题意得：，解得：，∵，∵，∴随的增大而减小，∴当时，最大，且最大值为：（元），此时，答：购进乒乓球拍套，羽毛球拍套，获利最大，最大利润为元．【点睛】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组．【提分秘籍】一般答题思路：①根据题意分别设两未知数为x和y并列方程；②解二元一次方程组。③根据题意，如与一次函数综合，则参考题型一答题即可。【变式演练】1.“五一”劳动节马上来了，为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进，两种纪念品，购进种纪念品件，种纪念品件，共需元；购进种纪念品件，种纪念品件，共需元．(1)求购进，两种纪念品每件各需多少元？(2)若购买两种纪念品共件，并且购买种纪念品的数量不大于种纪念品数量的倍．种纪念品每件获利元，种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进，两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)种纪念品每件需元，种纪念品每件需元(2)当购进种纪念品件，种纪念品件时，获得的总利润最大，最大总利润为元【分析】（1）设购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元，由题意得：，计算求解即可；（2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意得：，解得：．设购进的件纪念品全部售出后获得的总利润为元，则，整理得，，然后根据一次函数的图象与性质求解即可．【详解】（1）解：设购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元，由题意得：，解得：．答：购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元；（2）解：设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意得：，解得：．设购进的件纪念品全部售出后获得的总利润为元，则，整理得，，，随的增大而减小，当时，取得最大值，最大值，∴．当购进种纪念品件，种纪念品件时，获得的总利润最大，最大总利润为元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．2.为迎接“国家创卫”检查，我市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱需340元；购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元．(1)求每A个型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？(2)该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱20个，其中购买A型垃圾箱不超过16个．求购买垃圾箱的总花费（元）与A型垃圾箱m（个）之间的函数关系式；(3)在（2）中，当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最小，最小费用是多少？【答案】(1)每个型垃圾箱100元，每个型垃圾箱120元(2)，且为整数）(3)购买型垃圾箱个数为16时总费用最小，最小费用是2080元【分析】（1）根据购买1个型垃圾箱和2个型垃圾箱需340元；购买3个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需540元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；（2）根据题意和题目中的数据，可以写出购买垃圾箱的总花费（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式；（3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质、的取值范围，可以求得总费用的最小值．【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，由题意可得：，解得，答：每个型垃圾箱100元，每个型垃圾箱120元；（2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，由题意可得：，即，且为整数）；（3）由（2）知，，随的增大而减小．，且为整数，当，取得最小值，此时，即当购买型垃圾箱个数为16时总费用最小，最小费用是2080元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．3.为了提高同学们学习数学的兴趣，某中学开展主题为“感受数学魅力，享受数学乐趣”的数学活动．并计划购买A、B两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生，已知购买1件A种奖品和2件B种奖品共需元，购买2件A种奖品和1件B种奖品共需元．(1)每件A、B奖品的价格各是多少元？(2)根据需要，该学校准备购买A、B两种奖品共件，设购买a件A种奖品，所需总费用为w元，求w与a的函数关系式，并直接写出a的取值范围；(3)在（2）的条件下，若要求购买的A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍，求所需总费用的最小值．【答案】(1)A奖品的价格为，B奖品的价格为；(2)（，且是整数）；(3)元；【分析】（1）设A奖品的价格为x，B奖品的价格为y，根据买1件A种奖品和2件B种奖品共需元，购买2件A种奖品和1件B种奖品共需元列方程组求解即可得到答案；（2）根据金额单价数量即可得到答案；（3）根据A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍，求出a的取值范围，结合函数性质求解即可得到答案；【详解】（1）解：设A奖品的价格为x元，B奖品的价格为y元，由题意可得，，解得：，答：A奖品的价格为，B奖品的价格为；（2）解：由题意可得，∵购买A、B两种奖品共件，购买a件A种奖品，∴B种奖品件，∴（，且是整数）；（3）解：∵A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍，∴，解得：，∴，且是整数，∵，∵，∴随的增大而减小，∴当时，最小，∴（元）；【点睛】本题考查二元一次方程组解应用题及一次函数择优方案问题，解题的关键是找到等量关系式．【题型四】二元一次方程（组）与不等式的实际应用常考题型（方案）【典例分析】1.某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？(2)已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．【答案】(1)购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元(2)当购买羽毛球拍的数量少于副时，选择方案更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选择方案更实惠【分析】（1）设购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球拍需元，根据“购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买（且为整数）副羽毛球拍，则选择方案所需总费用为元，选项方案所需总费用为元，分，及三种情况，即可求出的取值范围或的值，此题得解．【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元，依题意得：，解得：，答：购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元．．（2）设购买（且为整数）副羽毛球拍，则：选择方案所需总费用为：（元），选项方案所需总费用为：（元），当时，解得：，∵，∴；当时，解得：；当时，解得：，∵，∴．答：当购买羽毛球拍的数量少于副时，选择方案更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选择方案更实惠．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选项各方案所需总费用．【提分秘籍】一般答题思路：①根据题意分别设两未知数为x和y并列方程；②解二元一次方程组。③根据题意，如与一次函数综合，则参考题型一答题即可；如与方案性问题综合，则参考题型二答题即可。【变式演练】1.党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，东营市政府欲购进一批风景树进行绿化，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．(1)问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？(2)东营市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？【答案】(1)A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元(2)5种【分析】（1）设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，根据购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．列出方程组，解方程组即可；（2）设购进A风景树m万棵，B风景树万棵，根据A风景树的数量不多于58万棵和购买A，B风景树的总费用不超过5460万元列出不等式组，解不等式组求出m的取值范围即可．【详解】（1）解：设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，根据题意得：，解得，答：A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元；（2）设购进A风景树m万棵，B风景树万棵，则，解得，∵m为整数，∴m为54，55，56，57，58，∴共有5种购买方案．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．2.“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元.(1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？(3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.【答案】(1)购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；(2)最多可购进乙型头盔120个；(3)能，①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个【分析】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可；（2）设乙型头盔m个，根据所需费用数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔m的最大值；（3）根据利润单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔m的取值范围，结合（2）中答案确定m的取值范围，即可得出可选方案．【详解】（1）解：（1）设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元.根据题意，得，解得，；答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；（2）（2）设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个，根据题意，得：，解得：，的最大值为120；答：最多可购进乙型头盔120个；（3）（3）能根据题意，得：；解得：；；为整数，可取118，119或120，对应的的值分别为82，81或80；因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案：①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．【点睛】本题考查二元一次方程组和不等式的综合应用题，解题的关键是根据题意列方程组并求解，同时注意在确定方案时所设未知数应取整数．【题型五】分式方程的实际应用常考题型【典例分析】1.某店有、两种口罩出售，其中种口罩的单价要比种口罩的单价多元，用元购进种口罩数量是用元购进种口罩数量的倍．(1)求、两种口罩的单价；(2)某单位从该店购进、两种口罩共个，总费用为元，求购进种口罩多少个．【答案】(1)种口罩的单价元，种口罩的单价为元(2)个【分析】（1）设种口罩的单价为元，则种口罩的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；（2）设购进种口罩个，则购进种口罩个，根据题意列出一元一次不等式，解方程即可求解．【详解】（1）解：设种口罩的单价为元，则种口罩的单价为元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：种口罩的单价元，种口罩的单价为元；（2）解：设购进种口罩个，则购进种口罩个，由题意得：，解得：，答：购进种口罩个．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．【提分秘籍】列分式方程解应用题的基本步骤：

(1)审——仔细审题，找出等量关系；

(2)设——合理设未知数；

(3)列——根据等量关系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)验——检验增根；

(6)答——答题．分式方程中常见的数量关系：速度差=V甲-V乙=甲路程甲时间-时间差=T甲-T乙=甲路程甲速度-数量差=甲数量-乙数量=甲总价甲单价-单价差=甲单价-乙单价=甲总价甲单价-总工程量（1）=甲工效×甲时间+乙工效×乙时间【变式演练】1.某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：甲水笔乙水笔每支进价（元）a每支利润（元）23已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．【答案】(1)甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元(2)该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元【分析】（1）根据花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等，可以列出相应的分式方程即可求出答案．（2）根据题意，可以列出利润与购进甲种水笔数量的函数关系式，然后根据购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，可以求出购进甲种水笔数量的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出结果．【详解】（1）解：由题意可得：，解得，经检验，是原分式方程的解，，答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元．（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，，，∴y随x的增大而增大，购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，，解得，，∵x为整数，∴当时，w取得最大值，最大值为733，此时，，答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元．【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质是解题的关键．2.奥体中心体育场是我市重要的城市名片和地标建筑，见证了重庆体育的灿烂发展，其重要性不言而喻．经过前期周密的准备，重庆市奧体中心体育场顶棚维修改造工程近期开工．现安排甲、乙两个工程队完成，已知由乙队单独施工所需时间为由甲队单独施工所需时间的倍．若甲队先施工天，再由乙队施工天可刚好完成维修工作．(1)求若由甲队单独施工需要多少天；(2)已知甲施工队每天的修建费用为万元，乙施工队每天的修建费用为万元，乙队先施工若干天，后由甲、乙两队共同施工完成，此项目所需总费用不超过万，求甲队最多维修了多少天．【答案】(1)天(2)天【分析】（1）设若由甲队单独施工需要x天，总工作量为“1”，根据题意列出分式方程，解方程并检验即可求解；（2）设甲队维修了y天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．【详解】（1）解：设若由甲队单独施工需要x天，总工作量为“1”，，解得．经检验，是原方程的解，且符合题意，答：若由甲队单独施工需要60天．（2）解：设甲队维修了y天，，解得．∴取最大整数为答：甲队最多维修了天．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键．3.在“妇女节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价2元促销，降价后300元可购买玫瑰的数量是原来购买玫瑰数量的1.2倍．(1)求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？(2)根据销售情况，店主用不多于2000元的资金再次购进两种鲜花共300枝，康乃馨进价为8元/枝，玫瑰进价为6元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？【答案】(1)降价后每枝玫瑰的售价是元(2)至少购进玫瑰枝【分析】（1）可设降价后每枝玫瑰的售价是元，根据等量关系：降价后元可购买玫瑰的数量原来购买玫瑰数量的倍，列出方程求解即可；（2）可设购进玫瑰枝，根据不等关系：购进康乃馨的钱数+购进玫瑰的钱数小于等于元，列出不等式求解即可．【详解】（1）设降价后每枝玫瑰的售价是元，依题意有：，解得：，经检验，是原方程的解，答：降价后每枝玫瑰的售价是元；（2）设购进玫瑰枝，则购进康乃馨枝，依题意有：，解得：，∴至少购进玫瑰枝【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．【题型六】二次方程（函数）的实际应用常考题型【典例分析】1.如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图．(1)求表示该抛物线的函数表达式：(2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．【答案】(1)抛物线函数表达式为或(2)m【分析】（1）根据顶点坐标，设该抛物线的函数表达式为,由题意得，该抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解．（2）当时，代入解析式，解得．【详解】（1）解：由于点为抛物线的顶点，因此可设该抛物线的函数表达式为，由题意得，该抛物线经过点，可得，解得，∴该抛物线函数表达式为或．（2）当时，，解得．答：柱形喷水装置的高度为m．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键．【提分秘籍】二次函数（方程）实际应用的一般答题思路：①根据题意列方程；②根据题意求出自变量的取值范围；③化为顶点式，根据二次项系数“a”的正负性和对称轴判定最值。【变式演练】1.某商场销售一种成本为元的商品，市场调研反映：在某个月的第天（）的销售价格为（）元，日销售量（）与的函数关系如图所示．(1)求与的函数解析式；(2)销售该商品第几天时，日销售利润最大？(3)结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于元？【答案】(1)与的函数解析式为；(2)销售该商品第天时，日销售利润最大(3)当月有天的日销售利润大于元【分析】（1）待定系数求一次函数解析式即可求解；（2）设日销售利润为，根据题意得，，根据二次函数的性质即可求解；（3）根据题意，解不等式，根据二次函数图象的性质求得的取值范围，即可求解．【详解】（1）解：设与的函数解析式为，将点代入解析式，得，，解得：，∴与的函数解析式为；（2）解：设日销售利润为，根据题意得，∵，当时，取得最大值，即销售该商品第天时，日销售利润最大；（3）解：当时，，解得：，∵，抛物线开口向上，∴当时，或，∵，∴，答：当月有天的日销售利润大于元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2.如图1，有一座抛物线形拱桥，某正常水位时，桥下的水面宽20米，拱顶到水面的距离为6米，到桥面的距离为4米，相邻两支柱间的距离均为5米，建立直角坐标系如图2．(1)求抛物线的函数表达式．(2)求支柱的长度．(3)随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．一艘货船在水面上的部分的横截面是边长为5米的正方形，当水位上升0.75米时，这艘货船能否顺利通过拱桥？请说说你的理由．【答案】(1)(2)5.5米(3)不能，理由见解析【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，把代入求得a的值，即可得出函数关系式；（2）将代入函数关系式求得y的值，可求出支柱的长度；（3）将代入函数关系式求得y的值，再与进行比较即可．【详解】（1）设抛物线的函数表达式为．

把代入得：，解得．

抛物线的函数表达式为．·（2）当x=5时，．，∴（米）．（3）不能，理由如下：当时，．∴这艘货船不能顺利通过拱桥．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．3.科技创新是发展的第一动力．某科研公司向市场推出了一款创新产品，该产品的成本价格是40元/件，销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间满足一次函数关系，部分数据如下表：x（件）101520…（元/件）585756…(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求销售利润w(元)关于销售量x(件)的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？(3)为了保证销售利润不低于420元，求该产品的销售价格的取值范围．【答案】(1)(2)当销售量为50件时，销售利润最大，最大值是500元(3)【分析】（1）设，用待定系数法可得与之间的函数关系式为；（2）根据题意，由二次函数的性质可得答案；（3）当时，，解得或，结合（1）可得当销售利润不低于420元，该产品的销售价格的取值范围是．【详解】（1）设，把，代入得：，解得，与之间的函数关系式为；（2）根据题意得：，，当时，取最大值，最大值为500，当销售量为50件时，销售利润最大，最大值是500元；（3）当时，，解得或，当时，；当时，；当销售利润不低于420元，该产品的销售价格的取值范围是．【点睛】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．【题型七】方程（函数）几何问题【典例分析】1.如图，在长方形中放入八个相同的小长方形，尺寸如图所示．已知小长方形的长是宽的3倍多，求小长方形的长和宽．【答案】小长方形的宽为，小长方形的长的长度为．【分析】设小长方形宽为，则长为，根据长方形的长列方程，解方程得到x的值，即可求出小长方形的长和宽．【详解】解：设小长方形宽为，则长为，根据题意得：，解得，则，答：小长方形的宽为，小长方形的长的长度为．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．2.综合与实践如图所示，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为．(1)直接写出：____________；（用含t的式子表示）(2)当t为何值时，四边形为平行四边形？【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据的值和点Q的速度是，点P的速度是，直接用t表示出的值；（2）四边形是平行四边形，则需，可得方程，再解方程即可；【详解】（1）解：由题意得，∵，∴，故答案为：，；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，解得．【点睛】本题主要考查了列代数式，平行四边形的性质，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．【提分秘籍】普通几何问题一般答题思路：①根据未知量，正确的设未知数；②通过图形获得定量和变量的等量关系；②根据题意列方程求值即可；动点几何问题一般答题思路：①用含未知数x的式子表示出已移动的量和关联的量；②根据面积、周长或移动距离等关系列方程（构建函数模型）；③根据点的位置进行分类讨论。【变式演练】1.如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低cm，求每块墙砖的截面面积．【答案】每块墙砖的截面面积是．【分析】设每块墙砖的长为，宽为y cm，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低”列方程组求解可得．【详解】解：设每块墙砖截面的长为，宽为ycm．根据题意，得，解得，每块墙砖的截面面积是．答：每块墙砖的截面积是．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列方程组是解题的关键．2.已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积等于？(2)在（1）中，的面积能否等于？请说明理由．【答案】(1)1秒后的面积等于(2)的面积不能等于，理由见解析【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于6cm2，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．（2）通过根的判别式即可判定能否达到．【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为，则

，整理得：，解得：，∵当时，，∴不合题意，答：1秒后的面积等于；（2）解：的面积不能等于，理由如下∶设经过t秒以后△PBQ面积为，则，整理得：，，所以此方程无解，故的面积不能等于．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积等于”得出等量关系是解决问题的关键．1．（2023·陕西西安·统考模拟预测）袁隆平，“共和国勋章”获得者，中国科学院院士，“中国杂交水稻之父”，一生致力于对水稻的研究，现有A、B两块试验田各30亩，A块试验田种植普通水稻，B块试验田种植杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的2倍，两块试验田单次共收获水稻43200千克，求杂交水稻的亩产量是多少千克？【答案】杂交水稻的亩产量为960千克【分析】设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克，根据共收获水稻43200千克，列出方程并解出即可．【详解】解：设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克．根据题意得，解得．杂交水稻亩产量为千克答：杂交水稻的亩产量为960千克