重要几何模型12-5全等三角形之手拉手模型【原卷版+解析】

第十二章重要几何模型5全等三角形之手拉手模型1手拉手模型特点手拉手模型特：两个等腰三角形；共顶点；顶角相等。因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。该模型可从“旋转”的角度进行思考，常见的模型如下图旋转后对应边间的夹角相等.2常见的解题技巧遇60°旋遇90°旋遇等腰旋顶角，造旋转全等④遇中点旋1800【题型1】基本模型【典题1】如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，AE与DC的交点设为H,证明：(1)△ABE≌△DBC；(2)AE=DC；(3)AE与DC的夹角为60°；【典题2】如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．【巩固练习】1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连结DE，若BC＝4，则ED＝.2.如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．(1)求证：EB＝DC；(2)若∠ADC＝125°，求∠BED的度数．3.如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H，问：(1)△ADG≌△CDE；(2)AG=CE；(3)求AG与CE之间的夹角；(4)HD平分∠AHE4.(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．(2)拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，求∠AEB的度数，并说明理由．【题型2】模型变式综合练习【典题1】如图，∠BAD=∠CAE=90∘，AB＝AD，AE＝AC(1)求证：△ABC≌△ADE；(图1)(2)求∠FAE的度数；(图1)(3)如图2，延长CF到G点，使BF＝GF，连接AG．求证：CD＝CG；并猜想CD与2BF+DE的关系．【典题2】如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．(1)求证：BE＝AD，并用含α的式子表示∠AMB的度数；(2)当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．(3)若连接CM，如图1，则∠AMC与∠EMC相等吗，若相等请加以证明．【巩固练习】1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．(1)求∠ADB的度数；(2)线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．2.如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．​(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由．(2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，记AC与DE的交点为O，AC与BD的交点为F，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．(3)如图3，若将(2)中的△ABE与△DCE都换成等边三角形，其他条件不变，试判断BD与AC的数量关系以及BD与AC所夹的锐角的度数，并说明理由．3.如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF．(1)当点D与点B重合时，如图2，求证：CE+CF＝CD；(2)当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由；(3)只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为(不必证明)．1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是()A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°2.如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有()A．6个 B．5个 C．4个 D．3个3.如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数．4.在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．(1)如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：．(2)如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．(3)在(2)的条件下，∠APE的大小是否随着∠ACB的大小的变化而发生变化，若变化，写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．5.(1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边三角形DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．(2)类比猜想：如图②，当动点D运动到等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出新的结论，不需证明．(3)深入探究：①如图③，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF'，连接AF，BF'．探究AF，BF'与AB有何数量关系？直接写出你的结论，不需证明．②如图④，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，①中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出新的结论，不需证明．

第十二章重要几何模型5全等三角形之手拉手模型1手拉手模型特点手拉手模型特：两个等腰三角形；共顶点；顶角相等。因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。该模型可从“旋转”的角度进行思考，常见的模型如下图旋转后对应边间的夹角相等.2常见的解题技巧遇60°旋遇90°旋遇等腰旋顶角，造旋转全等④遇中点旋1800【题型1】基本模型【典题1】如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，AE与DC的交点设为H,证明：(1)△ABE≌△DBC；(2)AE=DC；(3)AE与DC的夹角为60°；解析（1）∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴BD=BA，BE=BC，∠DBA=∠CBE=60°，∵∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC.（2）∵△ABE≌△DBC，∴AE=DC.(3)设BC与HE交于G，∵△ABE≌△DBC，∴∠BCH=∠BEH，又∵∠HGC=∠BGE，∴∠CHE=∠CBE=60°,即AE与DC的夹角为60°.【典题2】如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．解析连接AC，延长DE到F，使EF＝BC，连接AF，∵BC+DE＝CD，EF+DE＝DF，∴CD＝FD，∵∠ABC+∠AED＝180°，∠AEF+∠AED＝180°，∴∠ABC＝∠AEF，在△ABC和△AEF中&AB∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴AC＝AF，在△ACD和△AFD中&AC∴△ACD≌△AFD(SSS)∴∠ADC＝∠ADF，即AD平分∠CDE．【巩固练习】1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连结DE，若BC＝4，则ED＝.答案4解析∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC，∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC，即∠EAD＝∠BAC，∴△ADE≌△ABC(SAS)，∴ED＝BC＝4.2.如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．(1)求证：EB＝DC；(2)若∠ADC＝125°，求∠BED的度数．答案(1)略(2)60°解析(1)证明：∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合，∴AD＝AE，∠DAE＝50°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠CAD＝∠BAE，在△ACD和△ABE中&AC∴△ACD≌△ABE(SAS)，∴BE＝CD；(2)由△ACD≌△ABE得：∠ADC＝∠AEB，∵∠ADC＝125°，∴∠AEB＝125°，∵AD＝AE，∠DAE＝50°，∴∠AED＝65°，∴∠BED＝60°．3.如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H，问：(1)△ADG≌△CDE；(2)AG=CE；(3)求AG与CE之间的夹角；(4)HD平分∠AHE解析（1）∵四边形ABCD和DEFG是正方形，∴AD=CD，DE=DG，∠CDA=∠GDE=90°，∴∠GDA=∠CDE，∴△ADG≌△CDE；（2）∵△ADG≌△CDE,∴AG=CE；（3）设DG与CE交于T，∵△ADG≌△CDE,∴∠DEC=∠AGD，又∵∠HTG=∠DTE，∴∠GHE=∠GDE=90°,即AG与CE的夹角为90°（4）过点D作DM⊥AG交AG于M,作DN⊥CE交CE于N,∵△ADG≌△CDE,∴DM=DN，∴HD平分∠AHE4.(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．(2)拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，求∠AEB的度数，并说明理由．答案(1)60°，AD＝BE(2)90°解析(1)①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB＝AB，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△CDA和△CEB中，CA=CB∠ACD=∠BCE∴△CDA≌△CEB(SAS)，∴∠CEB＝∠ADC，∵∠CDE＝60°，∴∠ADC＝120°＝∠CEB，∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；②∵△CDA≌△CEB，∴AD＝BE，故答案为：60°，AD＝BE；(2)∠AEB＝90°，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△CDA和△CEB中，CA=CB∠ACD=∠BCE∴△CDA≌△CEB(SAS)，∴∠CEB＝∠ADC＝135°，∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°．【题型2】模型变式综合练习【典题1】如图，∠BAD=∠CAE=90∘，AB＝AD，AE＝AC(1)求证：△ABC≌△ADE；(图1)(2)求∠FAE的度数；(图1)(3)如图2，延长CF到G点，使BF＝GF，连接AG．求证：CD＝CG；并猜想CD与2BF+DE的关系．解析(1)证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAE∴△BAC≌△DAE(SAS)；(2)解：∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由(1)知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；(3)证明：∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，BF=GF∠AFB=∠AFG∴△AFB≌△AFG(SAS)，∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，在△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDA∴△CGA≌△CDA，∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．【典题2】如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．(1)求证：BE＝AD，并用含α的式子表示∠AMB的度数；(2)当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．(3)若连接CM，如图1，则∠AMC与∠EMC相等吗，若相等请加以证明．解析(1)如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE＝AD；如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣(180°﹣α)＝α；(2)△CPQ为等腰直角三角形．证明：如图2，由(1)可得，BE＝AD，∵AD，BE的中点分别为点P、Q，∴AP＝BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP＝∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，CA=CB∠CAP=∠CBQ∴△ACP≌△BCQ(SAS)，∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB＝90°，∴∠BCQ+∠PCB＝90°，∴∠PCQ＝90°，∴△CPQ为等腰直角三角形．(3)∠AMC与∠EMC相等．过C点作AM与ME的垂线段，∵△ACD≌△BCE，∴S△ACD=S△BCE=∴CF＝CG，∴∠AMC＝∠EMC．【巩固练习】1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．(1)求∠ADB的度数；(2)线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．答案(1)120°(2)DE＝AD+CD解析(1)∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝12∵DB＝DC，∠DCB＝30°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，在△ABD和△ACD中&AB∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；(2)DE＝AD+CD，理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，∵∠ADE＝60°，DM＝AD，∴△ADM是等边三角形，∴∠ADB＝∠AME＝120°．∵AE＝AB，∴∠ABD＝∠E，在△ABD和△AEM中&∠ABD∴△ABD≌△AEM(AAS)，∴BD＝ME，∵BD＝CD，∴CD＝ME．∵DE＝DM+ME，∴DE＝AD+CD．2.如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．​(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由．(2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，记AC与DE的交点为O，AC与BD的交点为F，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．(3)如图3，若将(2)中的△ABE与△DCE都换成等边三角形，其他条件不变，试判断BD与AC的数量关系以及BD与AC所夹的锐角的度数，并说明理由．答案(1)BD＝AC，BD⊥AC，(2)BD与AC的位置关系和数量关系不发生变化，(3)BD＝AC，BD与AC所夹的锐角的度数为60°解析(1)BD＝AC，BD⊥AC，理由：延长BD交AC于F，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△BED和△AEC中&BE∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∵∠BED＝90°，∴∠EBD+∠BDE＝90°，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF+∠CAE＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；(2)BD与AC的位置关系和数量关系不发生变化，理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中&BE∴△BED≌△AEC(SAS)，∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；(3)BD＝AC，BD与AC所夹的锐角的度数为60°，理由如下：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中&BE∴△BED≌△AEC(SAS)，∴∠BDE＝∠ACE，BD＝AC．∴∠=180即BD与AC所成的角的度数为60°．3.如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF．(1)当点D与点B重合时，如图2，求证：CE+CF＝CD；(2)当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由；(3)只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为(不必证明)．答案(1)略，(2)CE＝CF+CD，(3)CF＝CE+CD解析(1)证明：如图2：∵△ABC与△BEF都为等边三角形，∴∠ABC＝∠EBF＝60°，AB＝BC＝CD，EB＝BF，∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，即∠ABE＝∠CBF，在△ABE和△CBF中，AB=BC∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF(SAS)，∴AE＝CF，则CD＝AC＝AE+EC＝FC+EC；(2)CE＝CF+CD，理由为：证明：过D作DG∥AB，交AC于点G，连接CF，∵DG∥AB，∴∠CGD＝∠CDG＝60°，△CDG为等边三角形，∵△DEF为等边三角形，∴∠EDF＝∠GDC＝60°，ED＝FD，GD＝CD，∴∠EDF﹣∠GDF＝∠GDC﹣∠GDF，即∠EDG＝∠FDC，在△EDG和△FDC中，ED=FD∠EDG=∠FDC∴△EDG≌△FDC(SAS)，∴EG＝FC，则CE＝CG+EG＝CG+CF＝CF+CD；(3)CF＝CE+CD，理由为：证明：过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，即△GCD为等边三角形，∵△EDF为等边三角形，∴∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠CDF，在△EGD和△FCD中，ED=DF∠EDG=∠FDC∴△EGD≌△FCD(SAS)，∴EG＝FC，则FC＝EC+CG＝EC+CD．故答案为：(3)CF＝CE+CD．1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是()A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°答案D解析由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中&AC∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠A＝∠CBE，AD＝BE，∵AD＝BF，∴BE＝BF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∴∠CBE＝45°，∴∠BEF＝67.5°，故选：D．2.如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有()A．6个 B．5个 C．4个 D．3个答案C解析连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N．∵△ABD，△BCE都是等边三角形，∴∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BE，BE＝BC，∴∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中&BA∴△ABE≌△DBC(SAS)，∴AE＝CD，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∵∠AGB＝∠DGH，∴∠AHD＝∠ABG＝60°，故②正确；在△AGB和△DFB中&∠BAG∴△AGB≌△DFB(ASA)，故③正确；∵△AGB≌△DFB，∴BG＝BF，∵∠GBF＝60°，∴△BGF是等边三角形，∴∠FGB＝∠ABD＝60°，∴FG∥AC，故⑤正确；∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD，∴BM＝BN，∴BH平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故④错误；无法判断DH＝CH，故⑥错误．故选：C．3.如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数．答案(1)略；(2)60°解析证明：(1)∵△ACB和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，又∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE；(2)在等边△ECD中，∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC＝∠ADC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°．4.在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．(1)如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：．(2)如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．(3)在(2)的条件下，∠APE的大小是否随着∠ACB的大小的变化而发生变化，若变化，写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．答案(1)AD＝BE；(2)BE＝AD(3)60°解析(1)∵△ACE、△CBD均为等边三角形，∴AC＝EC，CD＝CB，∠ACE＝∠BCD＝60°，∴∠ACD＝∠ECB；在△ACD与△ECB中，AC=EC∠ACD=∠ECB∴△ACD≌△ECB(SAS)，∴AD＝BE，故答案为AD＝BE．(2)AD＝BE成立．证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形，∴EC＝AC，BC＝DC，∠ACE＝∠BCD＝60°，∴∠ACE+∠ACB＝∠BCD+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD；在△ECB和△ACD中，EC=AC∠ECB=∠ACD∴△ECB≌△ACD(SAS)，∴BE＝AD．(3))∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是6