2.1.5定积分的概念与性质

新编经济应用数学（微分学积分学）第五版PAGEPAGE12.1.5定积分的概念与性质课题2.1.5定积分的概念与性质（2学时）时间年月日教学目的要求理解定积分的定义。理解和掌握定积分的几何意义。掌握定积分的基本性质。重点定积分的定义。难点定积分的几何意义。教学方法手段对比讲解、数形结合主要内容时间分配一、定积分的定义。（45分钟）二、定积分的几何意义。（10分钟）三、掌握定积分的基本性质。（35分钟）作业备注新编经济应用数学PAGEPAGE72.1.5定积分的概念与性质§2.1.5定积分的概念与性质不定积分是微分法逆运算的一个侧面,本章要介绍的定积分则是它的另一个侧面。定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。17世纪中叶,牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念,并发现了积分与微分之间的内在联系,给出了计算定积分的一般方法,从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具,并使各自独立的微分学与积分学联系在一起,构成完整的理论体系——微积分学。本章先从几何问题与力学问题引入定积分的定义,然后讨论定积分的性质、计算方法。今天我们来学习定积分的概念与性质。一、两个实例1.曲边梯形的面积在直角坐标系下，由闭区间上的连续曲线（，直线（即轴）所围成的平面图形叫作曲边梯形。下面讨论曲边梯形面积的计算问题。按如下步骤计算曲边梯形的面积。（1）分割：任取分点把区间分成n个小区间。小区间段的长度。过每个分点作轴的垂线，把曲边梯形AabB分成n个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积记为。（2）近似代替：在每个小区间内任取一点，以为高，为底作小矩形，用此小矩形的面积来近似代替小曲边梯形的面积，即。（3）求和：把这n个小矩形的面积加起来，就得到曲边梯形的面积S的近似值，即记为（4）取极限：若用表示所有小区间长度的最大者，当时，和式的极限就是曲边梯形的面积，即2.变速直线运动的路程设一物体作直线运动，已知速度是时间的连续函数，求在时间间隔上物体所经过的路程。（1）分割：任取分点把区间分成n个小时间段。第个小区间段的长度。物体在该时间段内经过的路程记。（2）近似代替：在每个小时间段上任取一时刻，并以时刻的速度代替时间段上的各时刻的速度，得到在时间内经过的路程的近似值，即（3）求和：把这n个小时间段经过的路程相加，就得到变速直线运动路程的近似值，即记为.（4）取极限：若用表示所有小区间长度的最大者，当时，和式的极限就是曲边梯形的面积，即二、定积分定义定义设函数为区间上的有界函数，任意取分点将区间分成n个小区间，其长度记为，。在每个小区间上，任取一点，得相应的函数值，作乘积，把所有这些乘积加起来，得和式,记，当时，如果上述和式的极限存在，则称函数在区间上可积，并将此极限值称为函数在上的定积分。记作，即。其中称为被积函数，称为被积表达式，叫做积分变量，为积分区间，为积分下限，为积分上限。符号读作函数从到的定积分。关于定积分的定义，作以下几点说明：（1）所谓和式极限存在（即函数可积）是指不论对区间怎样的分法和怎样的取法，极限都存在且相等。（2）如果在上连续或有有限个第一类间断点，那么定义中的和式极限一定存在。（3）因为和式极限是由函数及区间所确定的，所以定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的符号无关，即。（4）该定义是在的情况下给出的，但不管还是，总有特别地，当时，规定三、定积分的几何意义1.当时，定积分在几何上表示曲线与直线及轴所围成的曲边梯形的面积。2.当时，定积分在几何上表示曲线与直线及轴所围成的曲边梯形的面积的负值。3.若函数在上有正有负时，定积分在几何上表示曲线与直线及轴所围成的各种图形面积的代数和，在轴上方的图形面积取正值，在轴下方的图形面积取负值。四、定积分的基本性质设函数，在所讨论的区间上可积，则定积分有如下性质：性质1两个函数和的定积分等于定积分的和，即性质2被积表达时中的常数因子可以提到积分号外面来，即性质3对任意的，有这一性质叫做定积分对区间的可加性，即不论还是均成立。性质4如果在上，，那么性质5若在上有，则这个性质说明，若比较两定积分的大小，只要比较被积函数的大小即可。特别地，有性质6（估值定理）如果函数在上的最大值为M，最小值为m，那么性质7（定积分中值定理）如果在区间内连续，那么在内至少存在一点，使得补充：几何解释是；一条连续曲线在上曲边梯形面积等于以区间长度为底，中一点的函数值为高的矩形面积，如图所示。【例1】比较下列各对积分值的大小。(1)与（2）与（3）与解：(1)在区间上，，所以。（2）在区间