3.3 幂函数（精练）（解析版）-人教版高中数学精讲精练必修一

3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，因为的图象经过点，所以，即，解得，则，因为，所以为偶函数，排除B、D，因为的定义域为，排除A．因为在内单调递增，结合偶函数可得在内单调递减，故C满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，，化简，因为幂函数在上单调递增，而，所以.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，，，因为在上是增函数，，所以.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A选项，因为在上单调递增，所以，故A错误，对于B选项，因为在上单调递减，所以，故B错误，对于C选项，为奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，因为，又，所以，故C正确，对于D选项，在上是递增函数，又，所以，所以，故D错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中），，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，在上单调递增，而，根据单调递增的性质，得，又，所以.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，又在上单调递减，，所以，所以.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对选项A，在为增函数，故A错误.对选项B，在为增函数，故B错误.对选项C，在为减函数，设，定义域为，，所以为偶函数，故C错误.对选项D，在为减函数，设，定义域为，，所以为奇函数，故D正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数在上是减函数，则实数值为（

）A．2 B． C．2或 D．1【答案】A【解析】幂函数，，解得，或；又时为减函数，当时，，幂函数为，满足题意；当时，，幂函数为，不满足题意；综上，，故选：A．9．（2022·高一单元测试）幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【答案】A【解析】幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，∴，解得m＝2，∴，∴在R上为奇函数，由，得，∵在R上为单调增函数，∴，∴恒成立．故选：A．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数是常数），结论正确的是（

）A．幂函数的图象都经过原点B．幂函数图象都经过点C．幂函数图象有可能关于轴对称D．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A：幂函数不经过原点，A错误对于B：对于幂函数是常数），当时，，经过点，B正确；对于C：幂函数的图像关于轴对称，C正确；对于D：幂函数图象不可能经过第四象限，D正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（

）A．的定义域为 B．的值域为C．是偶函数 D．的单调增区间为【答案】ABD【解析】设，则，可得，则，对于A选项，对于函数，有，则函数的定义域为，A对；对于B选项，，则函数的值域为，B对；对于C选项，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以，函数为非奇非偶函数，C错；对于D选项，的单调增区间为，D对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（

）A． B．函数是偶函数C． D．函数的值域为【答案】ABD【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又因为，故，A正确；则，定义域为，满足，故是偶函数，B正确；为偶函数，在上单调递减，故，C错误；函数的值域为，D正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数为幂函数，则（

）A．函数为奇函数 B．函数在区间上单调递增C．函数为偶函数 D．函数在区间上单调递减【答案】BC【解析】因为为幕函数，所以，即，所以．函数的定义域为，，所以函数为偶函数，又函数在为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数的图像经过点，则（

）A． B．C．函数的定义域为 D．函数的值域为【答案】BD【解析】因为是幂函数,所以,解得,故B正确;所以,又因的图像经过点,所以,所以,解得,故A错误;因为,则其定义域,值域均为,故C错误,D正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数的图象过点，则（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上为减函数 D．在上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得，解得；又因为图象过点，所以可得，即；易知函数的定义域为，且满足，所以是偶函数，故A正确，B错误；由幂函数性质可得，当时，为单调递减，再根据偶函数性质可得在上为增函数；故C错误，D正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数，下列结论正确的是（

）A．的定义域是 B．的值域是C．的图象只在第一象限 D．在上递减【答案】BCD【解析】对幂函数，的定义域是，因此A不正确的值域是，B正确的图象只在第一象限，C正确在上递减，D正确故选:．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数的图像经过点，则（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．当时， D．当时，【答案】AC【解析】设幂函数，则，解得，所以，所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，当时，，故C正确，当时，因为在上单调递增，所以，即，故D错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（

）A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为.当时，，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A选项错误；当时，，定义域为，此函数为偶函数，当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；当时，无论取何值，都有，图像必过点，C选项正确；当时，图像经过一三象限，D选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点的幂函数，一定不关于y轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，，不关于原点对称，也不关于轴对称，所以①错误.②④，由解得或或，即幂函数与有个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点，所以图像不经过点的幂函数，一定不关于y轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数为偶函数.(1)求幂函数的解析式；(2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增.【答案】(1)；(2)见解析.【解析】（1）因为是幂函数，所以,解得或.当时，为偶函数，满足题意；当时，为奇函数，不满足题意.故.（2）由（1）得，故.设,则，因为，所以，，所以,所以，即，故在区间上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数的图象经过点，函数为奇函数.(1)求幂函数的解析式及实数的值；(2)判断函数在区间上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)；(2)在上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知，所以，即，所以，因为是奇函数，所以，即，满足是奇函数，所以成立；（2）函数在区间上单调递增，证明如下，由（1）可知，在区间上任意取值，且，，因为，所以，，所以，即，所以函数在区间上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数的图象经过点.(1)求实数的值，并用定义法证明在区间内是减函数.(2)函数是定义在R上的偶函数，当时，，求满足时实数的取值范围.【答案】(1)，证明见解析；(2)【解析】(1)由幂函数的图象经过点，解得证明：任取，且，，，即所以在区间内是减函数.(2)当时，，在区间内是减函数，所以在区间内是减函数，在区间内是增函数，又，所以等价于函数是定义在R上的偶函数，则，解得：或所以实数的取值范围是23．（2023福建）已知幂函数为偶函数.（1）求的解析式；（2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由为幂函数知，得或为偶函数∴当时，，符合题意；当时，，不合题意，舍去所以（2），令在上的最小值为①当，即时，，所以又，所以a不存在；②当，即时，所以.又，所以③当，即时，所以.又所以.综上可知，a的取值范围为1．（2023广西）（多选）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（

）A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是减函数E．m，n是奇数时，幂函数的定义域为【答案】ACE【解析】，当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数对任意且，都满足，若，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】因为为幂函数，所以，解得或，因为对任意且，都满足，所以函数在上递增，所以当时，，不合题意，当时，，所以因为，所以为奇函数，所以由，得，因为在上为增函数，所以，所以，所以A错误，B正确，对于CD，因为，所以，所以，所以C错误，D正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，在上单调递增.因为,所以，即，，所以．故A正确；令，则，故B错误；令，则由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，即，于是有，故C正确；令，则，所以因为，故D错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为______．【答案】【解析】由在上单调递减得，，故，又，故或2，当时，，满足条件；当时，，图像不关于直线对称，故.因为函数在为减函数，故由不等式得，或或.解得或，综上：.故答案为：5．（2023·山西太原）已知函数．若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】因为，所以是上的奇函数，因为均是上的增函数，所以是上的增函数，因为，所以，即所以，由知，故，令，设，由，得，，则，即，所以在上单调递增，当时，取得最大值6，故．故答案为：．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数在上单调递增．(1)求m的值及函数的解析式；(2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值．【答案】(1)，；(2).【解析】（1）幂函数在上单调递增，故，解得，故；（2）由（1）知：，所以，所以函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线；由于在上的最大值为3，①当时，在上单调递增，故，解得；②当时，在上单调递减，故，解得；③当时，在上单调递增，在上单调递减，故，解得（舍去）或（舍去）．综上所述，．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数是其定义域上的增函数．(1)求函数的解析式；(2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在(3)【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或当时，，在为减函数，当时，，在为增函数，所以.（2），令，因为，所以，则令，，对称轴为．①当，即时，函数在为增函数，，解得．②当，即时，，解得，不符合题意，舍去．当，即时，函数在为减函数，，解得．不符合题意，舍去．综上所述：存在使得的最小值为.（3），则在定义域范围内为减函数，若存在实数，使函数在上的值域为，则，②-①得：，所以，即③．将③代入②得：．令，因为，，所以．所以，在区间单调递减，所以故存在实数，使函数在上的值域为，实数的取值范围且为．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数为偶函数，．(1)若，求；(2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）对于幂函数，得，解得或，又当时，不为偶函数，，，，，解得；（2）关于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，即，先证明在上单调递增：任取，则，，，，又，，，即，故在上单调递增，，，又，解得.9．（20