4.2 指数函数（精讲）（原卷版）-人教版高中数学精讲精练必修一

4.2指数函数（精讲）一．指数函数的概念1.定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.2.具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.二．指数函数的图象和性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1当x＞0时，0＜y＜1当x＜0时，0＜y＜1当x＜0时，y＞1单调性在R上是增函数在R上是减函数对称性y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称三．底数与指数函数图象的关系1.由指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．2.由指数函数y＝ax的图象与直线x＝－1相交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a)))可知，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.四．单调性的应用3.解指数型不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.4.与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性.一．函数图象1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).3.利用函数的性质：奇偶性与单调性.4.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.二.y＝af(x)型函数的定义域、值域的求法(1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.(2)形如y＝af(x)的函数的值域，先求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论.2.y＝f(ax)型函数的定义域、值域的求法三．比较指数幂大小的常用方法1.底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断2.底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断或者按幂函数性质判断3.底数不同，指数不同：通过中间量来比较考点一指数函数的概念【例1-1】（2023秋·高一课时练习）下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（

）A． B．C． D．【例1-2】（2023秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B． C． D．【一隅三反】1．（2023·全国·高一课堂例题）下列函数为指数函数的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高一课时练习）（多选）下列函数是指数函数的是（

）A．B．C．D．（且）3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是指数函数的是（

）A． B．C． D．考点二指数函数的解析式与函数值【例2】（2023春·新疆）指数函数且图像经过点，则（

）A．3 B．6 C．9 D．12【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）函数，且的图象经过点，则（

）A． B． C． D．92．（2023秋·高一课时练习）若指数函数的图象经过点，则．3．（2023春·贵州黔东南·高一校考期末）已知指数函数的图像经过点，则．考点三定义域与值域【例3-1】（2023秋·高一课前预习）求下列函数的定义域：（1）；（2）.【例3-2】（2023秋·江西）求下列函数的值域；(1)；(2)；(3).【例3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数的定义域是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·高一课时练习）函数的定义域为.3．（2023秋·高一课时练习）函数的值域是．4．（2023秋·高一单元测试）函数的值域为．5．（2023·上海）已知，则的值域是；6．（2023黑龙江）已知函数的值域为R，则a的取值范围是考点四指数函数的图像【例4-1】（2022春·北京）已知对不同的值，函数的图象恒过定点，则点的坐标是.【例4-2】（2023秋·高一单元测试）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数（，且）的图象可能是（）A．

B．

C．

D．

2．（2023·西藏林芝）的图像大致是（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于函数且），，在同一直角坐标系下的图象可能为（）A．

B．

C．

D．

4．（2023秋·宁夏石嘴山）函数，无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为.5．（2023·全国·高一课堂例题）利用函数的图象，作出下列各函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．考点五指数函数型的单调性及应用【例5-1】（2023秋·高一课时练习）函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．【例5-2】（2023春·山东菏泽）设函数在区间单调递增，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【例5-3】（1）（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则（

）.A． B． C． D．（2）（2022秋·浙江宁波·高一校联考期中）下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【例5-4】（2023·广东）已知函数，则不等式的解集为．【一隅三反】1．（2023秋·广东湛江）已知函数，则的增区间为（

）A． B． C． D．2．（2023春·宁夏石嘴山）设函数在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2022秋·青海海东·高一校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．4．（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．5（2023·河北）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．考点六指数函数性质的综合运用【例6-1】（2023春·河北石家庄·高一校考期末）已知函数为奇函数．(1)求实数的值；(2)求不等式的解集．【例6-2】（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）已知函数奇函数．(1)求a的值；(2)判断在上的单调性并用定义证明；(3)设，求在上的最小值．【一隅三反】1．（