湖北省随州市广水市第二高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（含答案）

湖北省广水市第二高级中学高2024--2025学年上学期九月月考高二数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。★祝考试顺利★考试范围：高二数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何注意事项：1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、考试结束后，请将答题卡上交。一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知圆锥的表面积等于12πcm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为()A.1cmB.2cmC.3cmD.322、如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC3、如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列命题正确的是()A.MN∥APB.MN∥BD1CMN∥平面BDPD..MN∥平面BB1D1D4、设α,β为两个不同的平面,直线l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、若{a,b,c}是空间的一个基底,且向量m=a+b,n=a-b,则可以与m,n构成空间的一个基底的另一个基向量是()A.aB.bC.cD.2a6、已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12x-2a,则x等于(A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)7、已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=-12,则直线l与平面α所成的角为(A.150° B.60°C.120° D.30°8、空间中有三点P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),则点P到直线MN的距离为()A.22 B.23C.3 D.25二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9、(多选题)下列说法中不正确的是()A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台B.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥D.棱台的各侧棱延长后必交于一点10、(多选题)用一个平面α截正方体,把正方体分为体积相等的两部分,则下列结论正确的是()A.这两部分的表面积一定不相等B.截面不会是三角形C.截面不会是五边形D.截面可以是正六边形11、(多选题)在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,直线A1C与平面AB1D1的交点为M,O为线段B1D1的中点,则下列结论正确的是(ABD)A.A,M,O三点共线 B.M,O,A1,A四点共面C.B,B1,O,M四点共面 D.A,O,C,M四点共面三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12、设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是。13、在三棱锥P⁃ABC中,点P在平面ABC内的射影为点O。(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的心。

(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的心。

14、已知在正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22,E为CC1的中点,则直线AC1到平面BED的距离为。

四、解答题：本题共5小题，共75分15、（本小题满分12分）如图所示,在四棱锥P⁃ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面交BD于点H。求证:PA∥GH。16、（本小题满分17分）在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥P⁃BCDE。(1)若平面PDE⊥平面BCDE,求四棱锥P⁃BCDE的体积;(2)若PB=PC,求证:平面PDE⊥平面BCDE。17、（本小题满分17分）如图,正方形ABCD的边长为22,四边形BDEF是平行四边形,BD与AC交于点G,O为GC的中点,FO=3,且FO⊥平面ABCD。(1)求证:AE∥平面BCF;(2)求证:CF⊥平面AEF。18、（本小题满分17分）如图,四棱锥P⁃ABCD中,△ABD是等边三角形,PA=PB=PD,BC=CD。(1)证明:BD⊥PC;(2)若BD=23,CD=AP=7,求点A到平面PCD的距离。19、（本小题满分12分）在直棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1到平面ABE的距离。参考答案1、B2、C3、D4、A5、C6、B7、D8、A9、ABC10、BCD11、ABD12、α内有两条相交直线与β平行13、(1)外心、(2)垂心。14、115、证明如图所示,连接AC交BD于点O,连接OM,因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,又M是PC的中点,所以PA∥OM,又OM⊂平面BMD,PA⊄平面BMD,所以PA∥平面BMD,又平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA∥GH。在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,一定注意定理成立的条件,通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交,这时才有直线与交线平行。16、解(1)如图所示,取DE的中点M,连接PM,由题意知,PD=PE,所以PM⊥DE,又平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,PM⊂平面PDE,所以PM⊥平面BCDE,即PM为四棱锥P⁃BCDE的高。在等腰直角三角形PDE中,PE=PD=AD=2,所以PM=12DE=2,而直角梯形BCDE的面积S=12(BE+CD)·BC=12×(2+4)×2=6,所以四棱锥P⁃BCDE的体积V=1(2)证明:如图,取BC的中点N,连接PN,MN,则BC⊥MN,因为PB=PC,所以BC⊥PN,又MN∩PN=N,MN,PN⊂平面PMN,所以BC⊥平面PMN,因为PM⊂平面PMN,所以BC⊥PM,由(1)知,PM⊥DE,又BC,DE⊂平面BCDE,且BC与DE是相交的,所以PM⊥平面BCDE,因为PM⊂平面PDE,所以平面PDE⊥平面BCDE。17、证明如图,取BC的中点H,连接OH,则OH∥BD,又四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,所以OH⊥AC,故以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(3,0,0),C(-1,0,0),D(1,-2,0),F(0,0,3),B(1,2,0)。BC=(-2,-2,0),CF=(1,0,3),BF=(-1,-2,3)。(1)设平面BCF的法向量为n=(x,y,z)。则n·BC=0,n·CF=0,即-2x-2y=0,x+3z=0,取z=1,得n=(-3,3,1)是平面BCF的一个法向量。又四边形BDEF为平行四边形,所以DE=BF=(-1,-2,3),所以AE=AD+DE=BC+(2)因为AF=(-3,0,3),CF·AF=-3+3=0,CF·AE=-3+3=0,所以CF⊥AF,CF⊥AE,即CF⊥AF,CF⊥AE。又AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,所以CF18、解①(1)证明:如图①,连接AC,交BD于点O,连接PO。由AD=AB,CD=BC,AC=AC,可得△ABC≌△ADC,所以∠BAC=∠DAC,又AO=AO,所以△AOB≌△AOD,所以BO=OD,即O为BD的中点。在等腰△PBD中,可得BD⊥OP,在等腰△BCD中,可得BD⊥OC,又OP∩OC=O,OP,OC⊂平面POC,所以BD⊥平面POC,又PC⊂平面POC,所以BD⊥PC。(2)由(1)可得,AC⊥BD,又CD=7,OD=12BD=3,所以CO=CD2-OD2=2,AO=3OD=3。由于P⁃ABD为正三棱锥,所以点P在底面ABD上的射影一定在AO上,设该射影为M,连接PM,如图②所示。根据正三棱锥的性质可得AM=23AO=2,PM=AP2-A得A(3,0,0),C(-2,0,0),D(0,-3,0),P(1,0,3),PC=(-3,0,-3),DC=(-2,3,0),AC=(-5,0,0)。设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·PC=0,n·DC=0,即-3x-3z=0,-2x+3y=0,令x=3,可得n=(②19、解如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,3,1),C(0,3