河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期1月模拟数学（文）试题

2023届高三年级1月模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，则（）A． B． C． D．2．设，其中为实数，则（）A． B． C． D．3．已知向量，则（）A．2 B．3 C．4 D．54．设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则（）A．2 B． C．3 D．5．已知等比数列的前3项和为，则（）A．14 B．12 C．6 D．36．在正方体中，分别为的中点，则（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面7．函数在区间的图象大致为（）A． B． C． D．8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．9．当时，函数取得最大值，则（）A． B． C． D．110．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（）A． B． C． D．11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．记为等差数列的前项和．若，则公差_________．14．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．15．设点在直线上，点和均在上，则的方程为_________．16．记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为_________．三、解答题：17．（10分）记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．18．（12分）记为数列的前项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值．19．（12分）如图，四面体中，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．20．（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，分别是的中点．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．21．（12分）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）若，求；（2）求的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求的取值范围．

数学（文科）—答案一、选择题1．A【详解】，所以．2．A【详解】因为，所以，解得：．3．D【详解】因为，所以．4．B【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以．5．D【详解】设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以．6．A【详解】解：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；7．A【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C．8．C【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为．9．B【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有10．C【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以．11．C【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又的图象如下所示：则，解得，即．12．C【详解】球的体积为，所以球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为，则，所以所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，时，，所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是．二、填空题13．2【详解】由可得，化简得，即，解得．14．【详解】双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．15．【详解】点在直线上，设点为，又因为点和均在上，点到两点的距离相等且为半径，，解得，的方程为．16．3【详解】解：因为所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；三、解答题：17．证明：（1）因为，所以，所以，即，所以；（2）因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为．18．解：（1）因为，即①，当时，②，①-②得，，即，即，所以且，所以是以1为公差的等差数列．（2）由（1）可得，又成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，．19．解：（1）由于是的中点，所以．由于，所以，所以，故，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面．（2）依题意，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以．，所以，由于平面，所以平面．由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小值．过作，垂足为，在Rt中，，解得，所以，所以．过作，垂足为，则，所以平面，且，所以，所以．20．解：（1）连结．因为分别为的中点，所以，且．又因为为的中点，所以．由题设知，可得，故，因此四边形为平行四边形，．又平面，所以平面．（2）过作的垂线，垂足为．由已知可得，所以平面，故．从而平面，故的长即为到平面的距离，由已知可得，所以，故．从而点到平面的距离为．21．解（1）由题意知，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，则，解得，则，解得；（2），则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：01-0+0-0+则的值域为，故的取值范围为．22．解（1）当时，，则，当时，单调递增；当时，单调递减；所以；（2），则，当时，，所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，单调递增；在上，单调递减；又，当趋近正