专题06正多边形与圆(原卷版+解析)

专题06正多边形与圆知识梳理：一.、正多边形的概念及性质1.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．2.正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．补充说明：正多边形的性质：（1）正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形；（2）正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；（3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．二.、正多边形与圆的关系1.把一个圆等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆叫这个正边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形．2.定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆．三.、正多边形有关的计算1.正边形的每个内角都等于；2.正边形的每一个外角与中心角相等，等于；题型一：正多边形的相关概念【例1】下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为的六边形是正六边形；⑤边数相同的正边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________．【例2】以下说法正确的是()A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B．正n边形的对称轴不一定有n条．C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．【例3】以下说法错误的是（）A．多边形的内角大于任何一个外角 B．任意多边形的外角和是C．正六边形是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补【例4】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有()①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【例5】正十边形的中心角是（）A．18° B．36° C．72° D．144°【例6】下列关于正多边形的叙述，正确的是（）A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为C．任何正多边形都有一个外接圆D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【例7】若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7题型二：正多边形与圆的有关计算【例1】如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8 B．10 C．12 D．15【例2】如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判断正确的是（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【例3】如图，正五边形ABCDE内接于，点P为DE上一点（点P与点D，E不重合），连接PC，PD，，垂足为G，则等于__________度.【例4】如图，A、B、C是上顺次三点，若分别是内接正三角形、正方形的一边，则__________．【例5】如图，正六边形中，，连接，则的长为______【例6】如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____.【例7】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（）A．45° B．60° C．72° D．90°【例8】如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°题型三：正多边形的画法【例1】作图与证明:如图，已知☉O和☉O上的一点A,请完成下列任务:(1)作☉O的内接正六边形ABCDEF;(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状,并加以证明.【例2】已知⊙O和⊙O上的一点A（如图）.（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；（2）在（1）题的作图中，如果点E在上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的边.【例3】已如：⊙O与⊙O上的一点A求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．【例4】如图正六边形的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．在图1中，画出一条长度为0.5的线段（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．【例5】如图，A是⊙O上一点．（1）作⊙O的内接等边△ABC（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为3，求△ABC的边长．【例6】已知⊙O，如图所示．（1）求作⊙O的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为____．题型四：内接圆外接圆综合【例1】半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（B）A．1：：B．：：1C．3：2：1D．1：2：3在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，周长为12，那么△ABC内切圆半径为（）A．3B．2.5C．2D．1【例3】若⊙O是△ABC的外接圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=______．若⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=_____．【例4】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，点M是⊙O上一点，∠EMF=55°，则∠A=______°．【例5】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【例6】若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为______．【例7】若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为．3．【例8】已知正五边形的外接圆直径为6，那么该正五边形外接圆的半径为．【例9】如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2cm，则该圆的内接正三角形ACE的边长为cm．．题型四：解答题题型【例1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM．（1）求证：；（2）求的度数．【例2】如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB＝1，求BF．【例3】如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．【例4】如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DP，C．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．【例5】如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．课后练习1、半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（）A．2 B．1 C． D．2、如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则∠AFO的度数为．3、若一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的内角和是度．4、半径为5的正六边形的周长为．5、如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为．6、如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．（1）求∠FAB的度数；（2）求证：OG＝OH．7、如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需个五边形完成这一圆环．8．半径为R的圆内接正多边形中，下列图形边心距最大的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形9．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝mm．10．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A．10 B．8 C．6 D．511．已知⊙O过正方形ABCD顶点A、B，且与CD相切，若正方形边长为2，则圆的半径为．12．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点F，求证：AC＝AB+BF．专题06正多边形与圆知识梳理：一.、正多边形的概念及性质1.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．2.正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．补充说明：正多边形的性质：（1）正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形；（2）正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；（3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．二.、正多边形与圆的关系1.把一个圆等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆叫这个正边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形．2.定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆．三.、正多边形有关的计算1.正边形的每个内角都等于；2.正边形的每一个外角与中心角相等，等于；题型一：正多边形的相关概念【例1】下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为的六边形是正六边形；⑤边数相同的正边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________．【答案】=2\*GB3②=5\*GB3⑤【解析】①错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；②正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；③错误，正奇数边形不是中心对称图形；④错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为，但不是正六边形；⑤正确，相似的性质；⑥错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可．【例2】以下说法正确的是()A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B．正n边形的对称轴不一定有n条．C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．【答案】C【解析】解：A选项不正确；因为每个角都是120°

的六边形可以是空间六边形；B选项不正确；正n边形的对称轴一定由n条；C选项正确；因为正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数；D选项不正确；因为当正n边形的边数为偶数时才既是轴对称图形又是中心对称图形；【例3】以下说法错误的是（）A．多边形的内角大于任何一个外角 B．任意多边形的外角和是C．正六边形是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补【答案】A【解析】解：对于A选项，多边形的内角不一定大于任何一个外角，如正方形，故错误，符合题意；对于B选项，任意多边形的外角和是360°，正确，故不符合题意；对于C选项，正六边形是中心对称图形，正确，故不符合题意；对于D选项，圆内接四边形的对角互补，正确，故不符合题意；故选A．【例4】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有()①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【解析】因为轴对称图形是指一个图形沿某一条直线对折，其中的一部分与另一部分完全重合，中心对称图形是指一个图形绕某一个点旋转180°后与原来的图形完全重合，所以是轴对称图形而不是中心对称图形有：正三角形，正五边形；是中心对称图形而不是轴对称图形有：平行四边形；是轴对称图形又是中心对称图形有：正方形，正六边形，线段，圆，菱形；【例5】正十边形的中心角是（）A．18° B．36° C．72° D．144°【答案】B【解析】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°，故选：B【例6】下列关于正多边形的叙述，正确的是（）A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形B．存在一个正多边形，它的外角和为C．任何正多边形都有一个外接圆D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形【答案】C【解析】A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，B.任意多边形的外角和都等于360°，故该选项错误，C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，D.∵正三角形的每个外角为120°，对应的每个内角为60°，∴存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，【例7】若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，∴这个多边形的中心角＝60°，∴＝60°，∴n＝6，题型二：正多边形与圆的有关计算【例1】如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8 B．10 C．12 D．15【答案】C【解析】解：连接OA、OD、OF，如图，∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOD＝＝90°，∠AOF＝＝120°，∴∠DOF＝∠AOF﹣∠AOD＝30°，∴n＝＝12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．【例2】如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判断正确的是（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【解析】解：①∴BC∥AD，故本选项正确；②∵BC=CD=DE，∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，∴∠BAE=3∠CAD，故本选项正确；③在△BAC和△EAD中，BA=AE，BC=DE，∠B=∠E，∴△BAC≌△EAD(SAS)，故本选项正确；④∵AB+BC>AC，∴2CD>AC，故本选项错误．故答案为①②③．【例3】如图，正五边形ABCDE内接于，点P为DE上一点（点P与点D，E不重合），连接PC，PD，，垂足为G，则等于__________度.【答案】54【解析】解析：如答图，连接OC，OD.五边形ABCDE是正五边形，，.，，.【例4】如图，A、B、C是上顺次三点，若分别是内接正三角形、正方形的一边，则__________．【答案】15°【解析】解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC=120°，∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°，∴∠BAC=15°，【例5】如图，正六边形中，，连接，则的长为______【答案】2【解析】如图，连接AC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC=∠BCD=120°，∠ADC=60°，AB=BC=CD，∴∠BCA=∠BAC=30°，∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=90°，∴∠CAD=30°，∵AB=CD=1，∴AD=2CD=2，故答案为：2【例6】如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____.【答案】15【解析】连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°，∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°，∴∠AOB=60°-36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为15.【例7】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（）A．45° B．60° C．72° D．90°【答案】C【解析】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角＜AOB的度数为＝72°，∴劣弧AB的度数是72°，故选：C．【例8】如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】B【解析】解：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，∴∠BAE＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∵AB＝AE，∴∠BEA＝×（180°﹣150°）＝15°，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠AED＝＝30°，∴∠BED＝15°+30°＝45°．故选：B．题型三：正多边形的画法【例1】作图与证明:如图，已知☉O和☉O上的一点A,请完成下列任务:(1)作☉O的内接正六边形ABCDEF;(2)连接BF,CE,判断四边形BCEF的形状,并加以证明.【答案】见解析【解析】解:(1)如图①,首先作直径AD,然后分别以A,D为圆心,OA长为半径画弧,分别交☉O于点B,F和C,E,连接AB,BC,CD,DE,EF,AF,则正六边形ABCDEF即为所求.(2)如图,连接BF,CE,四边形BCEF是矩形.证明:如图②,连接OE.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AB=AF=DE=DC=FE=BC,∴AB=AF=DE=DC,∴BF=CE,∴BF=CE,∴四边形BCEF是平行四边形.∵∠EOD=360°6=60°,OE=OD,∴△EOD是等边三角形,∴∠OED=∠∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°.∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=30°,∴∠CEF=∠FED-∠DEC=90°,∴四边形BCEF是矩形.【例2】已知⊙O和⊙O上的一点A（如图）.（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；（2）在（1）题的作图中，如果点E在上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的边.【答案】见解析【解析】（1）作法:①作直径AC,②作直径BD⊥AC,③依次连接A,B,C,D四点,四边形ABCD即为⊙O的内接正方形,①分别以A,C为圆心,OA的长为半径作弧,交⊙O于E,H,F,G,②顺次连接A,E,F,C,G,H各点,六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形.（2）连接OE,DE,∵∠AOD==90°，∠AOE==60°,∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=30°,∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边.【例3】已如：⊙O与⊙O上的一点A求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．【答案】见解析【解析】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：连接BE，如图，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∴，∴，∴，∴BE为直径，∴∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，∴四边形BCEF为矩形．【例4】如图正六边形的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．在图1中，画出一条长度为0.5的线段（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．【答案】见解析【解析】（1）如图1：连接CF，BD交于点G，则CG即为所求；理由：∵正六边形ABCDEF的边长1，∴BC=CD=1，∠BCD=120°，∴△CBD是等腰三角形，∴∠CBG=30°，又∵CF是正六边形的对称轴，∴CG⊥BD，在Rt△CBG中，CG=BC=0.5；（2）画图如下：解法一：菱形FGCH即为所求．解法二：菱形AGDH即为所求．【例5】如图，A是⊙O上一点．（1）作⊙O的内接等边△ABC（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为3，求△ABC的边长．【答案】见解析【解析】解析：（1）如图所示，△ABC即为所求（2）连接OA，作OH⊥AB于H，∵OH⊥AB，∴AH=HB在Rt△AOH中，∵OA=3，∠OAH=30°∴∴AB=∴等边三角形△ABC的边长为【例6】已知⊙O，如图所示．（1）求作⊙O的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为____．【答案】（1）见解析（2）【解析】解析：（1）如图，正方形ABCD即为所求（2）∵⊙O的半径为4，四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，OA=OB=4∴题型四：内接圆外接圆综合【例1】半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（B）A．1：：B．：：1C．3：2：1D．1：2：3【答案】B【解析】解析：设圆的半径为R，如图（一），

连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，，

故BC=2BD=；

如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，则△OBE是等腰直角三角形，

2BE2=OB2，即BE=，故BC=；

如图（三），

连接OA、OB，过O作OG⊥AB，则△OAB是等边三角形，

故，AB=2AG=R，

故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为【例2】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，周长为12，那么△ABC内切圆半径为（）A．3B．2.5C．2D．1【答案】D【解析】解析：∵∠C=90°，AB=5，周长等于12，∴BC﹢AC=7，∴r=（7﹣5）÷2=1．【例3】若⊙O是△ABC的外接圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=______．若⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=_____．【答案】100115【解析】解析：（1）∵⊙O是△ABC的外接圆∴∠OBC=∠BCO=90°﹣∠CAB=90°﹣50°=40°，∴∠BOC=180°﹣40°﹣40°=100°（2）∵⊙O是△ABC的内切圆∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=40°∴∠BOC=180°﹣25°﹣40°=115°【例4】如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，点M是⊙O上一点，∠EMF=55°，则∠A=______°．【答案】70【解析】解析：连接OF、OE∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F∴∠AEO=∠AFO=90°∵∠EMF=55°∴∠EOF=110°∴∠A=180°﹣110°=70°【例5】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解析】解析：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；∵∠OCB=40°，∠C0B=180°﹣∠OBC﹣∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A=∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠A=50°【例6】若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为______．【答案】【解析】解析：如图所示，连接OA、OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AE=OE，

∴△AOE是等腰直角三角形，∴OE=OA=．【例7】若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为．【答案】3．【解析】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长．∵正方形边长为6，∴正方形的对角线长为6，外接圆半径为3．如图所示：在Rt△BOD中，OB＝3，∠OBD＝30°，∴BD＝．∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝3．故答案为3．【例8】已知正五边形的外接圆直径为6，那么该正五边形外接圆的半径为．【答案】3【解析】解：∵正五边形的外接圆直径为6，∴该正五边形外接圆的半径为6÷2＝3，故答案为：3．【例9】如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2cm，则该圆的内接正三角形ACE的边长为cm．【答案】4．【解析】解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠OCM＝60°，∴OC＝（cm），∵∠OCN＝30°，∴ON＝（cm），∴CE＝2CN＝4（cm）．故答案为4．题型四：解答题题型【例1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM．（1）求证：；（2）求的度数．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴＝，∵M为的中点，∴＝，∴+＝+，∴；（2）解：连接OM，OA，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BOM＝（360°﹣90°）＝135°，∴的度数是135°．【例2】如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB＝1，求BF．【答案】【解析】解：在正五边形ABCDE中，∵∠ABC＝∠DCB＝108°，BC＝BA＝CD，∴∠BAC＝∠BCA＝∠CDB＝∠CBD＝36°，∴∠ABF＝72°，∴∠AFB＝∠CBD+∠ACB＝72°，∴∠AFB＝∠ABF，∠FCB＝∠FBC，∴AF＝AB＝1，FB＝CF，设FB＝FC＝x，∵∠BCF＝∠BCA，∠CBF＝∠CAB，∴△BCF∽△ACB，∴CB2＝CF•CA，∴x（x+1）＝1，∴x2+x﹣1＝0，∴x＝或（舍去），∴BF＝．【例3】如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．【答案】见解析【解析】（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．【例4】如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DP，C．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．【答案】见解析【解析】解：（1）如图，连接BD，∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，∴∠DBC＝45°，∵∠CPD＝∠DBC，∴∠CPD＝45°．故答案为：45；（2）如图，作CH⊥DP于H，∵CP＝2，∠CPD＝45°，∴CH＝PH＝2，∵DC＝4，∴DH＝＝＝2，∴DP＝PH+DH＝2+2．【例5】如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．【答案】（1）45（2）【解析】解：（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝∠AOD＝45°．（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，∴∠ABF＝∠CDE，∵∠CFA＝∠AEC＝90°，∴∠DEC＝∠AFB＝135°，∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF＝CE＝1，∴AC＝＝，∴AD＝AC＝，课后练习1、半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【解析】解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，而正多边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，∴正六多边形的边心距等于，故选：C．2、如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，则∠AFO的度数为．【答案】22.5°【解析】解：作正八边形ABCDEFGH的外接圆O．连接OA、OB，∵八边形ABCDEFGH是OO内接正八边形，∴∠AOB＝＝45°，由圆周角定理得，∠AFO＝∠AOB＝＝22.5°，．3、若一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的内角和是度．【答案】1260【解析】解：∵正多边形的一个中心角为40°，∴360°÷40°＝9，∴这个正多边形是正九边形，∴这个正九边形的内角和等于（9−2）×180°＝1260°．故答案为1260．4、半径为5的正六边形的周长为．【答案】30【解析】解：∵圆内接正六边形的半径为5，∴边长是5，则周长是：5×6＝30．故答案是：30．5、如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为．【答案】2．【解析】解：如图：正三角形ABC，半径OA＝OB＝OC＝2，延长AO交