第11讲实际问题与二次函数(原卷版+解析)

第11讲实际问题与二次函数【知识梳理】一．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．二．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．三．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．【考点剖析】一．二次函数的最值（共8小题）1．（2023春•钱塘区月考）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4），其中y2＜y3＝y4，则y1，y2，y3中最值情况是（）A．y1最小，y3最大 B．y2最小，y1最大 C．y2最小，y3最大 D．无法判断2．（2023春•乐清市月考）已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣83．（2023•越城区三模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（）A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤04．（2023•绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝．5．（2023•启东市二模）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+5x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣，最大值为1，则m的取值范是．6．（2023•九台区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a﹣1图象上有A、B两点，我们把A、B两点间的图象记为图象G，点A的横坐标为a+2，点B的横坐标为2a+1，当﹣3≤a≤﹣1时，图象上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为．7．（2023•苏州一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．8．（2023•莒南县二模）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的差．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．二．根据实际问题列二次函数关系式（共10小题）9．（2022秋•南关区校级期末）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）10．（2022秋•济南期末）学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加xm，设增加的面积是ym2．（1）求x与y之间的函数关系式．（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？11．（2022秋•济南期末）如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面AB的宽度为20m．这时．拱高（点O到AB的距离）为4m．（1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？（2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？12．（2023•南海区模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（）A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）13．（2022秋•大连期末）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x C．y＝100（1+x） D．y＝100（1﹣x）214．（2022秋•抚松县期末）用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设AB为x（m），则窗框的透光面积y（m2）关于x（m）的函数表达式为（）A．y＝x（4﹣x） B．y＝x（8﹣3x） C．y＝x（8﹣3x） D．y＝x（8﹣3x）15．（2023•浦东新区模拟）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为．（不要求写出定义域）16．（2022秋•黄浦区期末）在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为x厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是．（不必写定义域）17．（2022秋•岳普湖县校级期末）如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为．18．（2023•金水区校级模拟）将一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25三．二次函数的应用（共8小题）19．（2023•晋中模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米20．（2023•吉州区校级二模）地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓前进，背风坡陡呈弧线凸出，平面呈抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图示所示的坐标系，若点A的坐标为（﹣15，﹣100），点B（a，﹣144）是图1中沙丘左侧两个端点，则a的值为（）A．15 B．18 C．24 D．3621．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水距离也为3m，那么水管的设计高度应为．22．（2023•陈仓区三模）如图，某动物园的大门由矩形ABCD和抛物线形DMC组成，分别以AB、AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，AD＝米，抛物线顶点M的坐标为．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）近期需对大门进行装修，工人师傅搭建一三角形木架OPE方便施工，点P正好在抛物线上且在点M右侧，支撑杆PE⊥x轴于点E，PE＝3米，求支撑杆PE与大门最右侧的水平距离BE．23．（2023•靖边县二模）物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动的时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②h与t之间的函数关系式为；③小球的运动时间为6s；④小球的高度h＝20m时，t＝1.5s．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个24．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝m．25．（2023•顺平县模拟）如图，这是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.375米的石榴树AB．（1）喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是米；（2）若要对这棵石榴树进行喷灌，则需将喷灌架向后移动米．26．（2023•横山区三模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）OC＝1m，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12m时，达到最大高度7m，草坡上距离O的水平距离为18m的点A处有一棵高米的小树，小树垂直水平地面且点A到水平地面的距离为3m．​（1）请判断水流能否浇灌到小树后面的草地？并说明理由；（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值．【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江·九年级假期作业）某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间x与高度y的关系为．若此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等，则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高．（

）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒2．（2023·福建·统考中考真题）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（）A． B．C． D．3．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）2022年新冠病毒变异株奥密克戎来势汹汹，为了更好地让顾客做好防护，某商场销售一款升级版的KN95口罩，市场信息显示，销售这种口罩，每天所获的利润y（元）与售价x（元/个）之间关系式满足，第一天将售价定为16元/个，当天获利132元，第二天将售价定为20元/个，当天获利180元．则这种口罩的成本价是多少元/个？（单位利润=售价−成本价）（

）A．10 B．12 C．14 D．154．（2023·全国·九年级假期作业）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是（

）A．米 B．10米 C．米 D．米5．（2023·天津·统考中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（

）

A．0 B．1 C．2 D．36．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（）A．2 B．4 C．2或 D．4成7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

8．（2023·全国·九年级假期作业）如图，利用一个直角墙角修建一个的四边形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该储料场的最大面积是（

）

A． B． C． D．9．（2023·河北唐山·二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面米，最高点距灯柱的水平距离为米，灯柱为米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少米．（

）

A． B． C． D．10．（2023春·广东梅州·九年级统考期中）利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（

）A．， B．， C．， D．，二、填空题11．（2023·吉林长春·统考二模）我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是______米．

12．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为，那么两排灯的水平距离是________________米．13．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m．

14．（2023春·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考阶段练习）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）关于水平距离x（单位：米）的函数解析式是，则该男生铅球推出的距离是_______米．15．（2023·上海·九年级假期作业）如图，有一矩形纸片，长、宽分别为厘米和厘米，现在长宽上分别剪去宽为厘米（）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积关于的函数关系式为____________．

16．（2023·山东聊城·统考二模）某超市购进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为______元（利润＝总销售额－总成本）．

17．（2023·山东临沂·统考二模）一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上，能够剪出的矩形的面积最大为________．

18．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是________．

三、解答题19．（2023·河南驻马店·统考三模）郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度为120米，与中点O相距30米处有一高度为27米的系杆．以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．

(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一根系杆的长度恰好是长度的？请说明理由．20．（2023·内蒙古·统考中考真题）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．

(1)当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；(2)设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量）21．（2023·云南昆明·云大附中校考三模）网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量与销售单价（元）满足如图所示的函数关系（其中）

(1)求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当时，设每天销售该特产的利润为元，则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?22．（2023·山东聊城·统考三模）如图，是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．

(1)灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表．水平距离x/米00.61234竖直高度y/米1.51.718751.87521.8751.5结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程的长度．(2)为了全面灌溉，喷水口C可以喷出不同射程的水流，喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式，此水流最大射程米，求此水流距离地面的最大高度．23．（2023·江苏淮安·统考三模）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进5件甲商品和2件乙商品，需80元；购进3件甲商品和4件乙商品，需90元．销售单价x(元/件)1218日销售量y(件)164(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？(2)设甲商品的销售单价为x(单位：元/件)，在销售过程中发现：当时，甲商品的日销售量y(单位：件)与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：请写出当时，y与x之间的函数关系式．(3)在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x(元件)定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？24．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在平面直觓坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．(2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差．(3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．25．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在中，，，，点P从点A出发以的速度向点C运动，到点C停止，过点P作交点Q，以线段的中点为对称中心将旋转得到，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为，与重合部分的面积为S（）．

(1)求当点D落在边上时t的值；(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；(3)直接写出当是等腰三角形时t的值．

第11讲实际问题与二次函数【知识梳理】一．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．二．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．三．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．【考点剖析】一．二次函数的最值（共8小题）1．（2023春•钱塘区月考）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4），其中y2＜y3＝y4，则y1，y2，y3中最值情况是（）A．y1最小，y3最大 B．y2最小，y1最大 C．y2最小，y3最大 D．无法判断【分析】利用y3＝y4推导出函数的对称轴x＝2，根据y2＜y3可知y随x的增大而增大可判断y1，y2，y3中的最值情况．【解答】解：∵P3（1，y3），P4（3，y4），且y3＝y4，∴该二次函数的对称轴为：x＝2．∵P2（﹣1，y2），P3（1，y3），且y2＜y3，∴在对称轴左侧，即x＜2时，y随x的增大而增大．∵P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3）中，﹣3＜﹣1＜1，∴y1＜y2＜y3．故选：A．【点评】本题考查二次函数的增减性，熟练掌握二次函数增减性是突破本题的关键．2．（2023春•乐清市月考）已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣8【分析】根据y＝ax2+2ax+1可得出对称轴x＝﹣1，利用最值，分a＞0，a＜0两种情况讨论计算．【解答】解：∵二次函数解析式y＝ax2+2ax+1，∴二次函数对称轴为x＝﹣1．①当a＜0时，二次函数开口向下，x＝﹣1时，函数有最大值9．∴a﹣2a+1＝9，解得a＝﹣8．②当a＞0时，二次函数开口向上，在﹣3≤x≤2上有最大值9，∴当x＝2时，函数最大值为9，即4a+4a+1＝9，解得a＝1．综上分析，a的值为﹣8或1．故选：D．【点评】本题考查二次函数最值问题，确定对称轴，分类讨论最值情况是作出本题的关键技巧．3．（2023•越城区三模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（）A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0【分析】先将点（1，0），（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在a≤x≤6时的最大值和最小值即可．【解答】解：将点（1，0）代入y＝﹣x2+bx+5，得：0＝﹣1+b+5，解得：b＝﹣4，∴二次函数为y＝﹣x2+6x﹣5，∵y＝﹣x2+6x+5＝﹣（x﹣3）2+4，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，函数有最大值4，把y＝﹣5代入y＝﹣x2+6x﹣5得，﹣5＝﹣x2+6x﹣5，即﹣x2+6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，∴0≤a≤3．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握a＞0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a＜0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小4．（2023•绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b＝或﹣．【分析】根据题意求得点A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．【解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），∵A（3，0），四边形ABCO是矩形，∴B（3，4），①当抛物线经过O、B时，将点O（0，0），B（3，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝；②当抛物线经过A、C时，将点A（3，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝﹣，综上所述，b＝或b＝﹣，故答案为：或﹣，【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．5．（2023•启东市二模）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+5x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣，最大值为1，则m的取值范是≤m≤5．【分析】由完美点的概念可得：ax2+5x+c＝x，即ax2+4x+c＝0，由只有一个完美点可得判别式Δ＝16﹣4ac＝0，得方程根为2，从而求得a＝﹣1，c＝﹣4，所以函数y＝ax2+5x+c﹣＝﹣x2+5x﹣，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得x的取值范围．【解答】解：ax2+5x+c＝x，即ax2+4x+c＝0，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，∴Δ＝16﹣4ac＝0，则4ac＝16，∴方程根为x＝﹣＝﹣＝﹣＝2，∴a＝﹣1，c＝﹣4．∴函数y＝ax2+5x+c﹣＝﹣x2+5x﹣，该二次函数顶点坐标为（，1），与y轴交点为（0，﹣），根据对称规律，点（5，﹣）也是该二次函数图象上的点．在x＝左侧，y随x的增大而增大；在x＝右侧，y随x的增大而减小；且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+5x﹣的最小值为﹣，最大值为1，则≤m≤5．故答案为：≤m≤5．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．6．（2023•九台区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a﹣1图象上有A、B两点，我们把A、B两点间的图象记为图象G，点A的横坐标为a+2，点B的横坐标为2a+1，当﹣3≤a≤﹣1时，图象上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为4．【分析】先确定图象G的最高点和最低点，即可求得图象上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差．【解答】解：∵y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（x﹣a）2﹣a2+a﹣1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，当x＝a+2时，y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（a+2）2﹣2a（a+2）+a﹣1＝﹣a2+a+3，∴A（a+2，﹣a2+a+3），当x＝2a+1时，y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（2a+1）2﹣2a（2a+1）+a﹣1＝3a，∴B（2a+1，3a），∵A到对称轴的距离为2，B到对称轴的距离为﹣a﹣1，∵﹣3≤a≤﹣1，∴﹣a﹣1＜2，∴当﹣3≤a≤﹣1时，图象上最高点为A（a+2，﹣a2+a+3），最低点为（a，﹣a2+a﹣1），∴当﹣3≤a≤﹣1时，图象上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为：﹣a2+a+3﹣（﹣a2+a﹣1）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是确定图象G的最高点和最低点．7．（2023•苏州一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．【分析】（1）利用两点运动的速度表示出PB，BQ的长，进而表示出△PBQ的面积即可；（2）根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值．【解答】解：（1）由题意得：PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，S△PBQ＝BQ•PB＝×2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2），∵S△PBQ＝﹣t2+3t＝2，解得t＝1或t＝2，∴当t＝1s或2s时，△PBQ的面积为2cm2；（2）∵S＝﹣（﹣t2+3t）＝t2﹣3t+6＝（t﹣）2+（0≤t≤2），∵a＝1，∴t＝﹣＝s时，S有最小值，最小值为cm2．【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示三角形和四边形的面积是解题关键．8．（2023•莒南县二模）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的差．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【分析】（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）根据题意，当﹣4≤x≤0时，抛物线开口向下，求得顶点坐标，当x＝﹣3时，y有最大值为6，当x＝0时，y有最小值为﹣3，即可求解；（3）①当﹣3＜m≤0时，②当m≤﹣3时，分类讨论，根据二次函数的性质，结合题意即可求解．【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：；（2）由（1）得：该函数解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，∴抛物线的顶点坐标为（﹣3，6），∵﹣1＜0，∴抛物线开口向下，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6，当x＝0时，y有最小值为﹣3，∴最大值与最小值的差为6﹣（﹣3）＝9，（3）由（2）得：抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴当x＞﹣3时，y随x的增大而减小；当x≤﹣3时，y随x的增大而增大，①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时，y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4∴或（舍去）．综上所述，m＝﹣2或．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二．根据实际问题列二次函数关系式（共10小题）9．（2022秋•南关区校级期末）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）（并写出自变量的取值范围）【分析】先根据栅栏的总长度24表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），再根据长方形的面积公式表示即可得到s关于x的函数关系式；找到关于x的两个不等式：24﹣4x＞0，x＞0，解之即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，所以x的取值范围是0＜x＜6，故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．【点评】此题主要考查了结合实际问题列二次函数解析式．本题中主要涉及的知识点有：二次函数的表示方法，自变量取值范围的解法，找到关于x的不等式．10．（2022秋•济南期末）学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加xm，设增加的面积是ym2．（1）求x与y之间的函数关系式．（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？【分析】（1）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式；（2）将y＝72代入（1）中的函数关系式，即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，y＝（20+x）（14+x）﹣20×14化简，得y＝x2+34x，即x与y之间的函数关系式是：y＝x2+34x；（2）将y＝72代入y＝x2+34x，得72＝x2+34x，解得，x1＝﹣36（舍去），x2＝2，即若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加2米．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．11．（2022秋•济南期末）如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面AB的宽度为20m．这时．拱高（点O到AB的距离）为4m．（1）你能求出在图（a）的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？（2）如果将直角坐标系建成如图（b）所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？【分析】（1）由函数图象可设该抛物线的解析式是y＝ax2，再结合图象，只需把（10，﹣4）代入求出a的值即可；（2）由函数图象可设该抛物线的解析式是y＝ax2+c，再结合图象，只需把（10，0），（0，4）代入求出a、c的值即可．【解答】解：（1）设该抛物线的解析式是y＝ax2，由图象知，点（10，﹣4）在函数图象上，代入得：100a＝﹣4，a＝﹣．∴该抛物线的解析式是y＝﹣x2；（2）设该抛物线的解析式是y＝ax2+c，由图象知，点（10，0）（0，4）在函数图象上，代入得：，解得：a＝﹣，c＝4．∴该抛物线的解析式是y＝﹣x2+4，与（1）抛物线比较，形状不变、表达式有变化．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点．12．（2023•南海区模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（）A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）【分析】利用每天的销售量＝300﹣10×销售单价上升的钱数，可找出y关于x的函数关系式，再利用商家每天销售纪念品获得的利润＝每个的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式．【解答】解：当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，∴销售单价为x元时，每天的销售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天销售纪念品获得的利润w＝（x﹣40）y，∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）．故选：D．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w（y）关于x的函数关系式是解题的关键．13．（2022秋•大连期末）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x C．y＝100（1+x） D．y＝100（1﹣x）2【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．【解答】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．14．（2022秋•抚松县期末）用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设AB为x（m），则窗框的透光面积y（m2）关于x（m）的函数表达式为（）A．y＝x（4﹣x） B．y＝x（8﹣3x） C．y＝x（8﹣3x） D．y＝x（8﹣3x）【分析】由题意可知窗户的透光面积为长方形，根据AB为xm，得出AD长为m，根据长方形的面积公式即可得到y和x的函数关系式．【解答】解：∵矩形窗框的周长为8m，AB为xm，∴AD为m，∴y＝x•＝﹣x2+4x．故选：C．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含x的代数式表示出竖直的一边长是解题的关键．15．（2023•浦东新区模拟）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为y＝x（12﹣2x）．（不要求写出定义域）【分析】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为（12﹣2x）米，再利用矩形的面积公式，即可得出y关于x的函数解析式．【解答】解：∵篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为x米，∴花圃平行于墙的一边长为（12﹣2x）米．根据题意得：y＝x（12﹣2x）．故答案为：y＝x（12﹣2x）．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数解析式是解题的关键．16．（2022秋•黄浦区期末）在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为x厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是y＝﹣x2+10x．（不必写定义域）【分析】由题意得，矩形的面积等于相邻两边之积，根据图中几何关系把EF边用x表示出来，再由矩形EFGD在等腰直角三角形内，【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形EFGD是矩形，∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，∴ED＝GF＝x厘米，AF＝BG＝（20﹣x）厘米，∴EF＝（20﹣x）厘米，∴矩形EFGD的面积y＝x•（20﹣x）＝﹣x2+10x，∴y关于x的函数关系式是y＝﹣x2+10x．故答案为：y＝﹣x2+10x．【点评】此题考查等腰直角三角形和矩形的性质，在等腰直角三角形和矩形中解题，要注意几何关系．17．（2022秋•岳普湖县校级期末）如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为y＝﹣（x﹣20）2+16．【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是（20，16），并且过（0，0），利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式则可．【解答】解：设y＝a（x﹣20）2+16，因为抛物线过（0，0），所以代入得：400a+16＝0，解得a＝﹣，故此抛物线的函数关系式为：y＝﹣（x﹣20）2+16．故答案为：y＝﹣（x﹣20）2+16．【点评】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法以及二次函数的应用，根据已知得出图象上点的坐标是解题关键．18．（2023•金水区校级模拟）将一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25【分析】根据题意表示出长方形的另一边长，进而利用长方形面积求法得出答案．【解答】解：设这个长方形的一边长为x（cm），则另一边长为（50﹣x）cm，根据题意可得：y＝（50﹣x）•x＝﹣x2+25x．故选：C．【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．三．二次函数的应用（共8小题）19．（2023•晋中模拟）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米【分析】根据正常水位时水面宽AB＝30米，求出当x＝15时y＝﹣9，再根据水位上升5米时y＝﹣4，代入解析式求出x即可．【解答】解：∵AB＝30米，∴当x＝15时，y＝﹣×152＝﹣9，当水位上升5米时，y＝﹣4，把y＝﹣4代入得，﹣4＝﹣x2，解得x＝±10，此时水面宽CD＝20米，故选：A．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据图形找出相关数据进行求值．20．（2023•吉州区校级二模）地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓前进，背风坡陡呈弧线凸出，平面呈抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图示所示的坐标系，若点A的坐标为（﹣15，﹣100），点B（a，﹣144）是图1中沙丘左侧两个端点，则a的值为（）A．15 B．18 C．24 D．36【分析】根据题意，可设抛物线的解析式为y＝mx2，将点A坐标代入求出m的值即可得出其解析式，再求出y＝﹣144时x的值即可得出答案．【解答】解：根据题意，可设抛物线的解析式为y＝mx2，将点A（﹣15，﹣100）代入得﹣100＝225m，解得m＝﹣，则抛物线解析式为y＝﹣x2，当y＝﹣144时，﹣x2＝﹣144，解得x＝±18，∵点B在第四象限，∴a＝18，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．21．（2023•滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水距离也为3m，那么水管的设计高度应为m．【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得相应的函数值，即为所求的答案．【解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，∴设这段抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3．∵该抛物线过点（3，0），∴0＝a（3﹣1）2+3，解得：a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣1）2+3．∵当x＝0时，y＝﹣×（0﹣1）2+3＝﹣+3＝，∴水管的设计高度应为m．故答案为：m．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性质是解题的关键．22．（2023•陈仓区三模）如图，某动物园的大门由矩形ABCD和抛物线形DMC组成，分别以AB、AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，AD＝米，抛物线顶点M的坐标为．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）近期需对大门进行装修，工人师傅搭建一三角形木架OPE方便施工，点P正好在抛物线上且在点M右侧，支撑杆PE⊥x轴于点E，PE＝3米，求支撑杆PE与大门最右侧的水平距离BE．【分析】（1）设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x﹣）2+，用待定系数法可得抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+；（2）由D（0，），抛物线对称轴为直线x＝可得C（9，）；在y＝﹣x2+x+中，令y＝3得可得E横坐标x＝，即可得到支撑杆PE与大门最右侧的水平距离为米．【解答】解：（1）设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x﹣）2+，把D（0，）代入得：＝a+，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣）2+＝﹣x2+x+，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+；（2）由D（0，），抛物线对称轴为直线x＝可得C（9，）；在y＝﹣x2+x+中，令y＝3得3＝﹣x2+x+，解得x＝或x＝，∵点P正好在抛物线上且在点M右侧，∴x＝，∵9﹣＝（米），∴支撑杆PE与大门最右侧的水平距离为米．【点评】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，解题的关键是把实际问题转化为数学问题解决．23．（2023•靖边县二模）物理课上我们学习了物体的竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动的时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②h与t之间的函数关系式为；③小球的运动时间为6s；④小球的高度h＝20m时，t＝1.5s．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数图象和性质求解．【解答】解：由图象知小球在空中经过的路程是40×2＝80m．故①是错误的；设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，由题意得：a（0﹣3）2+40＝0，解得：a＝﹣，∴h＝﹣（t﹣3）2+40．故②是错误的；当t＝6时，高度为0，则运动时间是6s，或由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故③是正确的；当h＝20时，﹣（t﹣3）2+40＝20，解得h＝或．故④是错误的；故选：A．【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象和性质，数形结合思想是解题的关键．24．（2023•宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝10m．【分析】令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：令y＝0，则﹣（x﹣10）（x+4）＝0，解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），∴A（10，0），∴OA＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．25．（2023•顺平县模拟）如图，这是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.375米的石榴树AB．（1）喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米；（2）若要对这棵石榴树进行喷灌，则需将喷灌架向后移动5米．【分析】（1）设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，则，再根据二次函数的性质求最大值即可；（2）设将喷灌架向后移动a米，根据x＝30时抛物线上的点的纵坐标值等于x＝30+a时的函数值，再列一元二次方程即可．【解答】（1）设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，则：＝，∴最大铅直高度是9.1米；故答案为：9.1；（2）设将喷灌架向后移动a米，则图中x＝30时，抛物线上的点的纵坐标值等于x＝30+a时的函数值，当x＝30时，点B的纵坐标为0.1×30+2.375＝5.375，当x＝30+a时，＝5.375，解得a1＝5，a2＝﹣25（不符合题意，舍去）．故答案为：5．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．26．（2023•横山区三模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）OC＝1m，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12m时，达到最大高度7m，草坡上距离O的水平距离为18m的点A处有一棵高米的小树，小树垂直水平地面且点A到水平地面的距离为3m．​（1）请判断水流能否浇灌到小树后面的草地？并说明理由；（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值．【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为（12，7），故设水流形成的抛物线的解析式为y＝a（x﹣12）2+7，将点C（0，1）代入得到a＝﹣，于是得到抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣12）2+7，于是得到结论；（2）根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（12，7），故设水流形成的抛物线的解析式为y＝a（x﹣12）2+7，将点C（0，1）代入得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣12）2+7，当x＝18时，y＝﹣×36+7＝5.5＞+3，∴能水流浇灌到小树后面的草地；（2）由题意可知点A的坐标为（18，3），则直线OA为y2＝x，∴y1﹣y2＝﹣（x﹣12）2+7﹣x＝﹣（x﹣10）2+，∴y1﹣y2的最大值为．【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江·九年级假期作业）某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间x与高度y的关系为．若此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等，则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高．（

）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒【答案】B【分析】二次函数是一个轴对称图形，到对称轴距离相等的两个点所表示的函数值也是一样的．【详解】解：根据题意可得：函数的对称轴为直线，与差值最小，即当时函数达到最大值．故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的对称性，理解“如果两个点到对称轴距离相等，则所对应的函数值也相等”是解决这个问题的关键．2．（2023·福建·统考中考真题）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．3．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）2022年新冠病毒变异株奥密克戎来势汹汹，为了更好地让顾客做好防护，某商场销售一款升级版的KN95口罩，市场信息显示，销售这种口罩，每天所获的利润y（元）与售价x（元/个）之间关系式满足，第一天将售价定为16元/个，当天获利132元，第二天将售价定为20元/个，当天获利180元．则这种口罩的成本价是多少元/个？（单位利润=售价−成本价）（

）A．10 B．12 C．14 D．15【答案】A【分析】根据题意列方程组求出二次函数的解析式，再列方程即可得到结论．【详解】解：由题意知：当时，；当时，代入中，得，解得：，∴，当每天利润为0元时，售价即为成本价．令，解得：，由题意可知38不符合条件，∴，∴这种口罩的成本价是10元/个；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．4．（2023·全国·九年级假期作业）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是（

）A．米 B．10米 C．米 D．米【答案】A【分析】已知抛物线上距水面高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求长．【详解】解：由于两盏警示灯E、F距离水面都是8米，因而两盏警示灯之间的水平距离就是直线与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．故有，即，解得，．所以两盏警示灯之间的水平距离为：米．故选：A【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，注意利用函数对称的性质来解决问题．5．（2023·天津·统考中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（

）

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得，其中，即，①的长不可以为，原说法错误；③菜园面积的最大值为，原说法正确；②当时，解得或，∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；综上，正确结论的个数是2个，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．6．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（）A．2 B．4 C．2或 D．4成【答案】C【分析】由可得其对称轴为：，当时，，即有，解方程即可求解．【详解】由可得其对称轴为：，根据，可知：当时，，即有：，解得：，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数的应用等知识，明确题意，得出当时，，是解答本题的关键．7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论．【详解】解：，，，，故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型．8．（2023·全国·九年级假期作业）如图，利用一个直角墙角修建一个的四边形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该储料场的最大面积是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先添加辅助线，把直角梯形分成矩形和含直角三角形，求出梯形的上、下底和高，最后由梯形面积公式得出面积与之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．【详解】如图，过点作于点，易得：四边形为矩形，

∴，，设，∴，，∴，，则四边形的面积为：，整理得：，∴当长为时，储料场的面积最大为．故选：．

【点睛】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．9．（2023·河北唐山·二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面米，最高点距灯柱的水平距离为米，灯柱为米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少米．（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值，即可得出答案．【详解】如图所示，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，

根据题意知，抛物线的顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入得，，解得，抛物线的解析式为，当时，，解得舍或，所以茶几到灯柱的距离为米，故选：A．【点睛】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力，解题的关键是建立坐标系，将实际问题转化为数学问题．10．（2023春·广东梅州·九年级统考期中）利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，矩形面积为，先根据平行于墙的长度不小于，墙的长度为求出，再根据矩形面积公式求出，由此利用二次函数的性质求解即可．【详解】解；设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，矩形面积为，∵平行于墙的一边长不小于，墙的长度为∴，∴，，∵，∴当时，y随x增大而减小，∴当时，，当时，，∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为，，故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确求出矩形面积与垂直于墙的一边的二次函数关系式是解题的关键．二、填空题11．（2023·吉林长春·统考二模）我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是______米．

【答案】【分析】将抛物线解析式配方为顶点式，得到顶点坐标解题即可．【详解】解：，∴抛物线的顶点坐标为，即水喷出的最大高度是米，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的最值，将二次函数由一般式变形为顶点式，是解题的关键．12．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为，那么两排灯的水平距离是________________米．【答案】【分析】把代入解析式，再解方程即可得结论．【详解】解：根据题意，当时，则，解得：，，∴两排灯的水平距离是米．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．13．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m．

【答案】10【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案．【详解】解：令，则，解得：，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键．14．（2023春·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考阶段练习）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）关于水平距离x（单位：米）的函数解析式是，则该男生铅球推出的距离是_______米．【答案】10【分析】令，解一元二次方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可．【详解】解：当时，，解之得（不合题意，舍去），所以推铅球的水平距离是10米，故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．15．（2023·上海·九年级假期作业）如图，有一矩形纸片，长、宽分别为厘米和厘米，现在长宽上分别剪去宽为厘米（）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积关于的函数关系式为____________．

【答案】【分析】阴影部分的长方形的的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式即可求解．【详解】阴影部分的长方形的的长为，宽为，所以面积．【点睛】本题考查了利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．16．（2023·山东聊城·统考二模）某超市购进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为______元（利润＝总销售额－总成本）．

【答案】800【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，设每天的销售利润为w（元），利用利润＝总销售额－总成本求出w关于x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，∵点，在该函数图象上，∴，解得，即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，设每天的销售利润为w（元），则，∵，开口向下，∴当时，有最大值为800，即该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为800元，故答案为：800．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．17．（2023·山东临沂·统考二模）一块三角形材料如图所示，，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上，能够剪出的矩形的面积最大为________．

【答案】【分析】根据30°直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：∵，，且四边形是矩形，∴，∴，∴∴在中，设，则∴∴在中，∴∴矩形的面积，∵，∴抛物线开口向下，∴当时，矩形的面积最大，为．故答案为：．【点睛】本题考查的是30°直角三角形性质，矩形的性质，勾股定理、二次函数的性质、根据矩形的面积公式列出二次函数解析式是解题的关键．18．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是________．

【答案】【分析】设抛物线的关系式为，代入坐标求出的值，即可得到答案．【详解】解：设抛物线的关系式为，由题意可知，抛物线过点，，解得：，抛物线的关系式为，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题关键．三、解答题19．（2023·河南驻马店·统考三模）郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度为120米，与中点O相距30米处有一高度为27米的系杆．以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．

(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一根系杆的长度恰好是长度的？请说明理由．【答案】(1)(2)正中间系杆的长度是36米，不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出正中间系杆的长度是36米，再建立方程求解即可．【详解】（1）结合图象由题意可知：，，设该抛物线解析式为：，则：，解得：，∴．（2）当时，，∴正中间系杆的长度是36米．设存在一根系杆的长度是的，即这根系杆的长度是12米，则，解得．∵相邻系杆之间的间距均为3米，最中间系标在轴上，∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．∴与实际不符．∴不存在一根系杆的长度恰好是长度的．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及到了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程等知识，解题关键是读懂题意，找出数量关系，列出方程，并根据实际意义求解．20．（2023·内蒙古·统考中考真题）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．

(1)当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；(2)设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量）【答案】(1)(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据销售收入每台的销售价格销售数量求得销售收入为万元与销售月份之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解．【详解】（1）解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为．∵图象过两点，，解得∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为．（2）设销售收入为万元，①当时，，，当时，（万元）．

②当时，，，∴随的增大而增大，∴当时，（万元）．