专题01幂运算的六种考法全攻略(原卷版+解析)

专题01幂运算的六种考法全攻略【知识点梳理】同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n，（m，n为正整数）幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。同底数幂的除法运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。零指数幂：=1()；负整数指数幂：=（，p为正整数）。注意：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==；eq\o\ac(○,3)在混合运算中,始终要注意运算的顺序。()的三种情况：eq\o\ac(○,1)=1()；eq\o\ac(○,2)=1；eq\o\ac(○,3)=1（n为偶数）类型一、四个幂运算公式的逆向运用例1.已知，则的值为（）A． B． C．432 D．216例2.计算：___________．例3.已知，，则的值是（

）A． B． C． D．【变式训练1】计算3n·()=—9n+1,则括号内应填入的式子为()A．3n+1 B．3n+2 C．—3n+2 D．—3n+1【变式训练2】（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．【变式训练3】（1）已知，求n的值．（2）已知，其中a、b、c为正整数，求的值．【变式训练4】（1）已知用含a，b的式子表示下列代数式：①求：的值；②求：的值．（2）已知，求x的值．类型二、幂运算中的方程思想例1.（1）已知，试求的值．（2）已知，，求24m+2n的值．例2.计算：(1)用简便方法计算：（结果用科学记数法表示）(2)若求的值例3.若22•16n＝（22）9，解关于x的方程nx+4＝2．【变式训练1】已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．【变式训练2】己知，求x的值；【变式训练3】求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【变式训练4】若（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值；类型三、比较大小问题例1．已知，则a、b、c的大小关系为（）A． B． C． D．例2.若，则a与b的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定例3．设a＝255，b＝333，c＝422，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a【变式训练1】若，则a，b，c中最小的是（

）A．a B．b C．c D．不能确定【变式训练2】若，，，则，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【变式训练3】若，试比较a，b，c，d的大小．【变式训练4】阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题．(1)比较大小：_________（填写>、<或=）．(2)比较与的大小（写出比较的具体过程）．(3)计算．类型四、代数式表示幂运算例1.已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________．例2.已知则用x的代数式表示y，结果为_______．例3.已知，请用含m、n的代数式表示．【变式训练1】若，，则用含的代数式表示为______．【变式训练2】若，其中为整数，则与的数量关系为（）A． B． C． D．【变式训练3】若x，y均为实数，，则_______．【变式训练4】已知，若实数a、b、c满足等式，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求出、、之间的数量关系．类型五、“1”的问题例．若成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练1】若实数满足，则的值不可以是（）A． B． C． D．【变式训练2】方程的整数解的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5类型六、新定义问题例．我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an=am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0），那么h（2n）·h（2020）的结果是（）A．2k+2020 B．2k+1010 C．kn+1010 D．1022k【变式训练1】阅读材料：定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为，例如：，那么称2是100的劳格数，记为．填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______；直接写出______；探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程若a、b、m、n均为正数，且，，根据劳格数的定义：，______，∵∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n，∴______，即，请你把数学研究小组探究过程补全拓展：根据上面的推理，你认为：______．【变式训练2】如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝，（4，16）＝，（2，16）＝．（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．课后训练1．计算的值是（）A． B． C． D．2．已知，，则______．3．已知：，，则________．4．已知：，______．5．已知，则的值为______．6．已知，则的值__________．7．若与互为倒数，则的值是__________．8．若x，y均为实数，，则：（1）＝______x+y；（2）_______．9．已知，．（1）的值为______；（2）若，则的值为______．10．已知，则______．11．若，，，那么a、b、c三数的大小为______．（用“<”连接）12．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程](1)比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”）(2)比较与的大小；(3)比较与的大小．13．计算：(1)已知，求的值；(2)已知n为正整数，且，求的值．专题01幂运算的六种考法全攻略【知识点梳理】同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n，（m，n为正整数）幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。同底数幂的除法运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。零指数幂：=1()；负整数指数幂：=（，p为正整数）。注意：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==；eq\o\ac(○,3)在混合运算中,始终要注意运算的顺序。()的三种情况：eq\o\ac(○,1)=1()；eq\o\ac(○,2)=1；eq\o\ac(○,3)=1（n为偶数）类型一、四个幂运算公式的逆向运用例1.已知，则的值为（）A． B． C．432 D．216【答案】C【详解】解：∵，∴，故选：C．例2.计算：___________．【答案】【详解】解：原式故答案为：．例3.已知，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，，∴，，∴，∴，∴，故选C．【变式训练1】计算3n·()=—9n+1,则括号内应填入的式子为()A．3n+1 B．3n+2 C．—3n+2 D．—3n+1【答案】C【解析】解：∵-9n+1=-（32）n+1=-32n+2=-3n+n+2=3n（-3n+2），∴括号内应填入的式子为-3n+2.故选C.【变式训练2】（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）576；（2）1【详解】解：（1）；（2），，∴，．【变式训练3】（1）已知，求n的值．（2）已知，其中a、b、c为正整数，求的值．【答案】（1）1（2）1024【详解】解：（1）∵，∴，∴∴，∴，∴；（2）∵，，∴，，，∴．【变式训练4】（1）已知用含a，b的式子表示下列代数式：①求：的值；②求：的值．（2）已知，求x的值．【答案】（1）①；②；（2）【详解】解：（1）①∵∴；②∵∴∴∴，（2）∵，，∴，∴，∴，∴．类型二、幂运算中的方程思想例1.（1）已知，试求的值．（2）已知，，求24m+2n的值．【答案】（1）8；（2）2025【详解】（1）∵∴∴；（2）∵，，∴．例2.计算：(1)用简便方法计算：（结果用科学记数法表示）(2)若求的值【答案】(1)；(2)16（1）解：；（2）解：∵∴．例3.若22•16n＝（22）9，解关于x的方程nx+4＝2．【答案】【详解】解：22•16n＝（22）9变形为22•24n＝218，所以2+4n＝18，解得n＝4．此时方程为4x+4＝2，解得x=−1【变式训练1】已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．【答案】1【详解】解：∵9n+1﹣32n＝9n+1﹣9n＝9n（9﹣1）＝9n×8，而72＝9×8，∴当9n+1﹣32n＝72时，9n×8＝9×8，∴9n＝9，∴n＝1．【变式训练2】己知，求x的值；【答案】x=4【详解】解：，，x=4【变式训练3】求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【答案】（1）-15；（2）8；（3）29【详解】解：（1）∵3×9m÷27m＝316，∴31+2m﹣3m＝316，∴1﹣m＝16，∴m＝﹣15；（2）∵2x+5y﹣3＝0，∴2x+5y＝3，∴4x•32y＝22x+5y＝23＝8；（3）∵x2n＝4，∴xn＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n＝9×26﹣4×24＝24×25＝29．【变式训练4】若（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值；【答案】(1)(2)【详解】（1）解得：（2）类型三、比较大小问题例1．已知，则a、b、c的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解:,故选：B.例2.若，则a与b的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【详解】解：∵，∴，故选A．例3．设a＝255，b＝333，c＝422，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a【答案】D【解析】∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝333＝（33）11＝2711,c＝422＝（42）11＝1611，∴c＜b＜a．故选：D．【变式训练1】若，则a，b，c中最小的是（

）A．a B．b C．c D．不能确定【答案】C【详解】解：∵，，，又∵，∴a，b，c中最小的是c，故C正确．故选：C．【变式训练2】若，，，则，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，，，，故选：C．【变式训练3】若，试比较a，b，c，d的大小．【答案】【详解】解：，，，又，，．【变式训练4】阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题．(1)比较大小：_________（填写>、<或=）．(2)比较与的大小（写出比较的具体过程）．(3)计算．【答案】(1)>(2)(3)－4【解析】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，可知．故答案为：>；（2）∵，，又∵，∴；（3）原式．类型四、代数式表示幂运算例1.已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________．【答案】a+b=c【解析】解：∵2a=5，2b=10，∴，又∵=50=，∴a+b=c．故答案为：a+b=c．例2.已知则用x的代数式表示y，结果为_______．【答案】【详解】解：∵故答案为：例3.已知，请用含m、n的代数式表示．【答案】【详解】解：∵，∴．【变式训练1】若，，则用含的代数式表示为______．【答案】y=(x-1)2+3【解析】解：∵4m＝22m＝（2m）2，x＝2m＋1，∴2m＝x−1，

∵y＝3＋4m，∴y＝（x−1）2＋3，故答案为：y＝（x−1）2＋3．【变式训练2】若，其中为整数，则与的数量关系为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以．故选：B．【变式训练3】若x，y均为实数，，则_______．【答案】1【详解】解：∵，∴；又∵，∴∴，∴【变式训练4】已知，若实数a、b、c满足等式，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求出、、之间的数量关系．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）．（2）．（3）∵，∴．类型五、“1”的问题例．若成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由题意，得：，∴；故选D．【变式训练1】若实数满足，则的值不可以是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，原方程可变为，因此选项A不符合题意；B．当时，原方程可变为，因此选项B不符合题意；C．当时，原方程可变为，因此选项C符合题意；D．当时，原方程可变为，因此选项D不符合题意；故选：．【变式训练2】方程的整数解的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】解：由题意可得，当且，解得：；当，解得：或；当且是偶数，解得：；综上所述：x的值有4个．故选：C类型六、新定义问题例．我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an=am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0），那么h（2n）·h（2020）的结果是（）A．2k+2020 B．2k+1010 C．kn+1010 D．1022k【答案】C【解析】解：∵h（2）=k（k≠0），h（m+n）=h（m）•h（n），∴h（2）=h（1+1）=h(1)•h(1)=k（k≠0）∴h（2n）=kn；∴h（2n）•h（2020）=kn•k1010=kn+1010．故选：C．【变式训练1】阅读材料：定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为，例如：，那么称2是100的劳格数，记为．填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______；直接写出______；探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程若a、b、m、n均为正数，且，，根据劳格数的定义：，______，∵∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n，∴______，即，请你把数学研究小组探究过程补全拓展：根据上面的推理，你认为：______．【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－．【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为，∴，那么称3是1000的劳格数，记为．∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8；∵，∴，∵，，∴＝pq，∴这个算式中，pq相当于定义中的a，相当于定义中的n，∴＝＋，即，设，，∴，，∵，∴＝a－b＝－，即－．故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－．【变式训练2】如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝，（4，16）＝，（2，16）＝．（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．【答案】（1）3，2，4；（2）详见解析【解析】解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵42＝16，∴（4，16）＝2；∵24＝16，∴（2，16）＝4；故答案为：3；2；4；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a+b＝30，∵3c＝30，∴3a+b＝3c，∴a+b＝c课后训练1．计算的值是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：=====故选：A2．已知，，则______．【答案】1【详解】∵，，，，，∴，，∴，，∴原式，故答案为1．3．已知：，，则________．【答案】【详解】∵，，故答案为：．4．已知：，____