专题5函数的图像与性质问题(原卷版+解析)

专题5函数的图像与性质问题目录一、热点题型归纳【题型一】一次函数与反比例函数的交点问题【题型二】反比例函数中k的几何意义【题型三】二次函数图像的变换【题型四】二次函数图像与系数的关系【题型五】从函数观点看一元二次方程的解【题型六】待定系数法求函数解析式二、最新模考题组练【题型一】一次函数与反比例函数的交点问题【典例分析】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，当时，的取值范围是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【提分秘籍】基本规律（1）联立一次函数和反比例函数，构建方程；（2）解方程，求出x的值即为一次函数与反比例函数图像交点的横坐标。（3）将x的值代入函数解析式，求出函数值或范围。【变式演练】1．一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，，，两点，则当时，的取值的范围是（）A．或 B．或C．或 D．或2．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（

）A． B． C． D．【题型二】反比例函数中k的几何意义【典例分析】（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，反比例函数与矩形一边交于点E，且点E为线段中点，若的面积为3，则k的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【提分秘籍】基本规律1.过反比例函数图像上任意一点向其中任意一坐标轴做垂线，函数图像的该点、垂足与坐标原点三点构成的三角形面积。2.过反比例函数图像上任意一点分别向两坐标轴做垂线，函数图像的该点、两垂足与坐标原点四点构成的矩形面积。【变式演练】1．如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接、，设和的面积分别是、，比较它们的大小，可得（）A． B． C． D．大小关系不能确定2．如图，在中，轴，点B、D在反比例函数的图象上，若的面积是20，则k的值是（

）A．10 B．15 C．20 D．25【题型三】二次函数图像的变换【典例分析】（2023年江苏省徐州市九年级联盟中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加下减”。2.沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）。3.沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）。【变式演练】1．将抛物线向右平移（）个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则的值可以是（

）A． B． C． D．2．通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（

）A．向左移动2个单位，向上移动3个单位 B．向右移动2个单位，向上移动3个单位C．向左移动2个单位，向下移动3个单位 D．向右移动2个单位，向下移动3个单位【题型四】二次函数图像与系数的关系【典例分析】如图，二次函数的对称轴为直线，下列判断正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【提分秘籍】基本规律1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下。2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧。3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点。4.当x＝1时，函数y＝a+b+c；5.当x＝-1时，函数y＝a-b+c；6.当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方；7.当a-b+c＞0时，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方。【变式演练】1．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①时，y随x的增大而增大；②；③；④，其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑥ D．①③④⑤【题型五】从函数观点看一元二次方程的解【典例分析】如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（

）A． B．当时，的值随的增大而增大C．点的坐标为 D．【提分秘籍】基本规律函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根。

【变式演练】1．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（）A．和 B．和C．和 D．和【题型六】待定系数法求函数解析式【典例分析】已知，二次函数的图像过点，顶点是，则此二次函数的表达式是（

）．A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.先设出函数解析式：一次函数：；反比例函数：；二次函数顶点式：；二次函数一般式：。2.然后从函数图像上找已知点代入所设解析式，一次函数找两个点，构建二元一次方程组求解；反比例函数找一个点，代入即可；二次函数，顶点式找两个点，一般式找三个点。【变式演练】1．已知抛物线过点，，且它与x轴只有一个交点，则d的值是（）A． B． C．4 D．162．若点关于轴的对称点在一次函数的图象上，则的值（）A． B．2 C． D．6一、单选题1．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，则的面积为（

）A．2 B．3 C． D．42．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图像上，菱形OABC的面积为4，则k的值为（

）A． B． C．3 D．43．（2023·江苏常州·统考一模）如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（

）A．6 B． C． D．44．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏苏州·校考一模）将抛物线先向左平移2个单位、再向下平移1个单位后，得到（

）A． B． C． D．6．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）已知关于的方程，若为正实数，则下列判断正确的是（

）A．有三个不等实数根 B．有两个不等实数根C．有一个实数根 D．无实数根7．如图是二次函数的图像一部分，其对称轴是x=-1，且过点（-3，0），说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若、是抛物线上两点，则；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·江苏扬州·校考一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（

）x…0123…y…30m3…A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x增大而增大C．当时，x的取值范围是 D．方程的根为0和2二、填空题9．（2023·江苏无锡·统考一模）请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线：______．10．（2023·江苏宿迁·统考一模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，则的值为_______．11．（2023·江苏苏州·校联考一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．已知二次函数的图象上有两个“等值点”，则的取值范围为___________．12．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）将抛物线向下平移2个单位长度后，经过点，则的值是__________.13．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴，垂足为H，连接，已知的面积是6，则k的值是__________．14．（2023·江苏无锡·一模）如图，已知正比例函数与反比例函数交于、两点，点是第三象限反比例函数上一点，且点在点的左侧，线段交轴的正半轴于点，若的面积是，则点的坐标是______．三、解答题15．（2023·江苏常州·统考一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点，与x轴交于点．(1)求与的值；(2)点是x轴正半轴上一点，若，求的面积．16．（2023·江苏常州·统考一模）已知直线过点．点为直线上一点，其横坐标为．过点作轴的垂线，与函数的图象交于点．(1)求的值；(2)①求点的坐标（用含的式子表示）；②若的面积等于3，求出点的横坐标的值．17．（2023·江苏苏州·校联考一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．18．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，过B作轴，交反比例函数的图象于点D，连接．(1)________，________，不等式的解集是________；(2)求的面积．19．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，点是反比例函数图像上的一动点．过点作轴，垂足为，交直线于点．(1)求与的值；(2)若的面积是2，求此时点的坐标．20．（2023·江苏徐州·一模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点，一次函数图象分别交轴，轴于两点．(1)求这两个函数的解析式；(2)求的面积；(3)请直接写出当时自变量的取值范围．21．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，过点A作轴，垂足为C．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)连接，求的面积．(3)在x轴上找一点P，使的值最大，请直接写出满足条件的点P的坐标．22．（2023·江苏泰州·一模）如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为．(1)求，的值：(2)若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．23．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．24．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）已知抛物线过点，且与直线只有一个交点．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．专题5函数的图像与性质问题目录一、热点题型归纳【题型一】一次函数与反比例函数的交点问题【题型二】反比例函数中k的几何意义【题型三】二次函数图像的变换【题型四】二次函数图像与系数的关系【题型五】从函数观点看一元二次方程的解【题型六】待定系数法求函数解析式二、最新模考题组练【题型一】一次函数与反比例函数的交点问题【典例分析】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，当时，的取值范围是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】先把代入，求出n值，再根据图象直接求解即可．【详解】解：把代入，得，解得：，∴，∵图象交于、两点，∴当时，或．故选：D．【提分秘籍】基本规律（1）联立一次函数和反比例函数，构建方程；（2）解方程，求出x的值即为一次函数与反比例函数图像交点的横坐标。（3）将x的值代入函数解析式，求出函数值或范围。【变式演练】1．一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，，，两点，则当时，的取值的范围是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】根据点和点的坐标，可求出的值，画出函数图象．结合函数图象特征，即可得知当或时，，由此得出结论．【详解】解：根据题意可画出函数图象，如下所示：由图象可知，当或时，．故选：A．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的图象，一次函数和反比例函数的交点问题的应用，数形结合是解题的关键．2．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，即可求解．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，两函数图象交于点，∴这个函数图象的另一个交点为，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题的关键．【题型二】反比例函数中k的几何意义【典例分析】（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，反比例函数与矩形一边交于点E，且点E为线段中点，若的面积为3，则k的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出D或E的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，设B点的坐标为，则D的坐标为，∵E为线段的中点，∴，∵D、E在反比例函数的图象上，∴，∵，解得：，故选：D．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．【提分秘籍】基本规律1.过反比例函数图像上任意一点向其中任意一坐标轴做垂线，函数图像的该点、垂足与坐标原点三点构成的三角形面积。2.过反比例函数图像上任意一点分别向两坐标轴做垂线，函数图像的该点、两垂足与坐标原点四点构成的矩形面积。【变式演练】1．如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接、，设和的面积分别是、，比较它们的大小，可得（）A． B． C． D．大小关系不能确定【答案】B【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出、的值即可进行比较．【详解】解：由于A、B均在反比例函数的图象上，且轴，轴，则；．故．故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义，找到相关三角形，求出的一半即为三角形的面积．2．如图，在中，轴，点B、D在反比例函数的图象上，若的面积是20，则k的值是（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】A【分析】先根据平行四边形的性质得到，轴，设，则，即可得到，即可求出，再根据平行四边形面积公式进行求解即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵轴，∴轴，设，∴，∴，∴，∴，∵的面积是20，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，正确用含k的式子表示出是解题的关键．【题型三】二次函数图像的变换【典例分析】（2023年江苏省徐州市九年级联盟中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【详解】解：∵将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，∴所得抛物线对应的函数表达式为．故选：C【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．【提分秘籍】基本规律1.在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加下减”。2.沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）。3.沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）。【变式演练】1．将抛物线向右平移（）个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平移的规律得到新的抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质即可得到解答．【详解】解：∵抛物线，∴抛物线向右平移（）个单位得到一条新抛物线的解析式为：，∴新抛物线的对称轴为：，开口方向向上，∵点，在新抛物线上，且，∴，∴,故选：．【点睛】本题考查了二次函数的平移的坐标特征，以及二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．2．通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（

）A．向左移动2个单位，向上移动3个单位 B．向右移动2个单位，向上移动3个单位C．向左移动2个单位，向下移动3个单位 D．向右移动2个单位，向下移动3个单位【答案】C【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，而平移后抛物线的顶点坐标为∴平移方法为向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．【题型四】二次函数图像与系数的关系【典例分析】如图，二次函数的对称轴为直线，下列判断正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】由题意知，当时，；将和分别代入，计算求解可得的关系，然后进行判断即可．【详解】解：由题意知，当时，；当时，，即，，∴，即，∴A错误，故不符合要求；B正确，故符合要求；当时，，即，，∴，即，，∴C、D错误，故不符合要求；故选B．【点睛】本题考查了根据二次函数的图象判断式子的符号．解题的关键在于数形结合确定的关系．【提分秘籍】基本规律1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下。2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧。3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点。4.当x＝1时，函数y＝a+b+c；5.当x＝-1时，函数y＝a-b+c；6.当a+b+c＞0时，x＝1与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方；7.当a-b+c＞0时，x＝-1与函数图象的交点在x轴的上方，否则在下方。【变式演练】1．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①时，y随x的增大而增大；②；③；④，其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：∵抛物线的対称轴，且，∴当时，y随x的增大而增大，∴①错误；由图像可知，，则，故②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴，∵対称轴，∴，∴∴即∴∴∴③错误；当时，∴，当时，∴，∴∴④正确，所以正确的结论有2个，故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑥ D．①③④⑤【答案】D【分析】根据图象开口方向，对称轴，与y轴的交点即可得到a、b、c的符号，判断①对错；根据函数图象的对称轴得到x轴的另一个交点为，进而得到时，，即可判断②对错；根据交点坐标得到，进而得到，再利用对称轴得到，从而求得，即可判断③对错；根据图象与y轴的交点，得到，进而得到，；根据交点坐标得到，进而得到，即可判断⑤对错．【详解】解：二次函数的图象开口向上，，对称轴为直线，在y轴右侧，、异号，图象与y轴的交点在y轴负半轴，，，①正确；函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线，函数的图象与x轴的另一个交点为，由图象可知，时，，，②错误；函数的图象与x轴交于点，，，对称轴为直线，，，，，，③正确；函数的图象与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），，，，，④正确；函数的图象与x轴交于点，，，，⑤正确，正确结论有①③④⑤，故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质解题关键．【题型五】从函数观点看一元二次方程的解【典例分析】如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（

）A． B．当时，的值随的增大而增大C．点的坐标为 D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质对每一项判断即可．【详解】解：∵由图可知：二次函数开口向下，∴，故项不符合题意；∵由图象可知：当，随增大而减小，故不符合题意；∵点，对称轴是直线，∴点，故不符合题意；∵当时，，∴当时，，故符合题意．故选．【点睛】本题考查了二次函数的性质及图象，掌握二次函数的性质是解题的关键．【提分秘籍】基本规律函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根。

【变式演练】1．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】二次函数与x轴有两个交点即二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此求解即可．【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数与x轴有两个交点即二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．2．方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】逐项分析即可．【详解】A、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误；B、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故正确；C、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误；D、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键．【题型六】待定系数法求函数解析式【典例分析】已知，二次函数的图像过点，顶点是，则此二次函数的表达式是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】设二次函数的解析式为，顶点是，则，把代入，即，，那么．【详解】根据题意设二次函数的解析式为，把代入，即，，那么，故选：A．【点睛】本题主要考查是二次函数的顶点式、一般式等知识内容，熟练掌握二次函数的顶点式，顶点是是解题的关键．【提分秘籍】基本规律1.先设出函数解析式：一次函数：；反比例函数：；二次函数顶点式：；二次函数一般式：。2.然后从函数图像上找已知点代入所设解析式，一次函数找两个点，构建二元一次方程组求解；反比例函数找一个点，代入即可；二次函数，顶点式找两个点，一般式找三个点。【变式演练】1．已知抛物线过点，，且它与x轴只有一个交点，则d的值是（）A． B． C．4 D．16【答案】A【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线．故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求d的值．【详解】解：∵抛物线过点，，∴对称轴是直线，又∵抛物线与x轴只有一个交点，∴设抛物线解析式为，把代入，得．故选：A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．2．若点关于轴的对称点在一次函数的图象上，则的值（）A． B．2 C． D．6【答案】B【分析】先求得点关于y轴的对称点，再把对称点代入一次函数即可得出b的值．【详解】解：关于y轴的对称点为，把代入一次函数，得，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了点关于坐标轴变化规律，待定系数法求一次函数解析式；理解点关于坐标轴对称的变化规律是本题的关键．一、单选题1．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，则的面积为（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】B【分析】设交轴于点，交于点，设，，利用平行线分线段成比例推出和长度，从而求出长度，即可求出的面积.【详解】解：设交轴于点，交于点，设，则.在双曲线上，..四边形为矩形，..，.，，，，..故答案选：B.2．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图像上，菱形OABC的面积为4，则k的值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】过点C作于点D，根据菱形的性质，可得，，根据菱形的面积，可得的面积，根据反比例函数系数k的几何意义，可得k的值．【详解】解：过点C作于点D，如图所示：在菱形中，，∴，∵菱形的面积为4，点B在y轴的正半轴上，∴的面积为2，∴的面积为1，∴，∴，∵，∴，故选：B．3．（2023·江苏常州·统考一模）如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（

）A．6 B． C． D．4【答案】B【分析】过点C作轴，垂足为D，则是等腰直角三角形，根据，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算的余数，确定最后的坐标，利用横坐标纵坐标计算即可．【详解】如图，过点C作轴，垂足为D，如图所示：把，代入得：，解得：，∴，把，代入得：，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴点，第一次旋转的坐标为，第二次旋转坐标与点C关于原点对称为，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为，第四次回到起点，∴每4次一个循环，∴，∴第2024次变化后点的坐标为，∴，故B正确．故选：B．4．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过设点法，设出、、、，表示出的面积，再借助整体换元思想，令，求出t值即可．【详解】解：如图所示，分别过点A、B作y轴垂线，交点分别为G、F，过点B作x轴垂线，交点为E，设、，则、，，，则令，则，代入，则，解得，（舍）则的值为．故选：C．5．（2023·江苏苏州·校考一模）将抛物线先向左平移2个单位、再向下平移1个单位后，得到（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以先求原抛物线的顶点坐标，再根据平移的性质即可求出平移后的抛物线的顶点坐标，即可求出解析式．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为：，∴抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的顶点坐标为：，∴所得新抛物线的解析式为：．故选：D．6．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）已知关于的方程，若为正实数，则下列判断正确的是（

）A．有三个不等实数根 B．有两个不等实数根C．有一个实数根 D．无实数根【答案】C【分析】先整理方程，把方程的解转化为函数的图象与的图象交点问题，然后在同一平面直角坐标系内画出大致图象即可得解．【详解】解：方程整理得：，∴原方程的解的个数等于等于函数的图象与的图象的交点的个数，∵，∴函数的图象的最低点为，∴函数的图象位于第一、二象限，∵为正实数，∴，∴函数的图象位于第二、四象限，如图，∴两函数图象一定有一个交点．故选：C7．如图是二次函数的图像一部分，其对称轴是x=-1，且过点（-3，0），说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若、是抛物线上两点，则；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由开口方向确定a的符号；由抛物线与y轴的交点确定c的符号；由对称轴确定b的符号，判断①③；利用图像得出与x轴的另一交点，进而得出a+b+c=0，即可判断②，x=2时，y＞0，判断④；根据函数增减性，判断⑤．【详解】∵二次函数的图像开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图像交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x=-1，∴-=-1，∴b=2a＞0，∴abc＜0，2a-b=0，故①②正确；∵抛物线的对称轴为x=-1，且过点（-3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．∵当x＞-1时，y随x的增大而增大，∴当x=2时y＞0，即4a+2b+c＞0，故③错误；∵关于直线x=-1的对称点的坐标是，又∵当x＞-1时，y随x的增大而增大，3＞，∴，故④正确．综合上述可得：①②④正确，共计3个．故选：C．8．（2023·江苏扬州·校考一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示，以下结论正确的是（

）x…0123…y…30m3…A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x增大而增大C．当时，x的取值范围是 D．方程的根为0和2【答案】D【分析】根据表格确定对称轴的位置，进而求出的值，画出二次函数的图象，利用数形结合的思想，进行判断即可．【详解】解：由表格可知：和的函数值相同，均为，∴抛物线的对称轴为直线，∴和的函数值相等，即：，根据五点作图法，得到二次函数的图象如下：由图可知：抛物线开口向上，时，随值的增大而减小，时，随值的增大而增大，当时，x的取值范围是或，抛物线与轴交于，∴方程的根为0和2；综上：选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意；故选D．二、填空题9．（2023·江苏无锡·统考一模）请写出一个函数的表达式，使其图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线：______．【答案】【分析】已知对称轴，根据顶点坐标，开口方向，可写出满足条件的二次函数解析式．【详解】解：根据题意，得二次函数的顶点坐标为，根据顶点式，得，设，，则函数的表达式为（本题答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．10．（2023·江苏宿迁·统考一模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，则的值为_______．【答案】【分析】一次函数经过第一、三象限，反比例函数经过第一、三象限，交点分别在第一、三象限，如图所示，化为相反数，互为相反数，由此即可求解．【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图像有交点，如图所示，∴交点，的关系是，互为相反数，互为相反数，∴，故答案为：．11．（2023·江苏苏州·校联考一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．已知二次函数的图象上有两个“等值点”，则的取值范围为___________．【答案】【分析】由题意可得，横、纵坐标相等的点在函数的图象上，则二次函数与有两个交点，即有两个不相等的根，利用判根公式求解即可．【详解】解：由题意可得，横、纵坐标相等的点在函数的图象上，∴二次函数与有两个交点，即有两个不相等的根，∴，∴，解得，，故答案为：．12．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）将抛物线向下平移2个单位长度后，经过点，则的值是__________.【答案】3【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点代入，得到，最后将变形求值即可．【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度后，表达式为：，平移后的抛物线经过点，将点代入，得：，即，，故答案为：3．13．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴，垂足为H，连接，已知的面积是6，则k的值是__________．【答案】【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可．【详解】解：∵点A是反比例函数图象上一点，，的面积是6，∴，∴，由∵反比例函数图象经过第二象限，∴，故答案为：．14．（2023·江苏无锡·一模）如图，已知正比例函数与反比例函数交于、两点，点是第三象限反比例函数上一点，且点在点的左侧，线段交轴的正半轴于点，若的面积是，则点的坐标是______．【答案】【分析】过作轴的平行线交于点，联立正比例函数与反比例函数求得，，得到的解析式为，利用的面积即可求得点的坐标【详解】联立，解得：，，设，：，则，解得：，，：过作轴的平行线交于点，则，，即：，解得，，．三、解答题15．（2023·江苏常州·统考一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点，与x轴交于点．(1)求与的值；(2)点是x轴正半轴上一点，若，求的面积．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据一次函数与反比例函数图像与性质，将相应点代入表达式解方程即可得到答案；（2）过点作轴，垂足为，如图所示，得到，，从而，利用代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点，与x轴交于点把，代入，得，解得，把，代入，得；把，代入，得，解得；（2）解：过点作轴，垂足为，如图所示：，，∵一次函数的图像与y轴交于点，即当时，，，∴，∵，，∴，∴．16．（2023·江苏常州·统考一模）已知直线过点．点为直线上一点，其横坐标为．过点作轴的垂线，与函数的图象交于点．(1)求的值；(2)①求点的坐标（用含的式子表示）；②若的面积等于3，求出点的横坐标的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由直线过点，代入直线解析式即可求解；（2）①根据题意可求点P的纵坐标为，由轴，可得点的纵坐标为，由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标即可；②根据点P，Q的坐标可求的长，利用三角形面积公式，即可．【详解】（1）解：∵直线过点，∴，即．（2）解：①∵在直线上且横坐标为，∴点的纵坐标为，∵轴，∴点的纵坐标为．∵点在函数的图象上，∴点的横坐标为．∴点的坐标为．②∵，，∴，∵中边上的高，∴，∵的面积等于3，∴，∴（舍），，∴点的横坐标为．17．（2023·江苏苏州·校联考一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）将、两点代入反比例函数解析式，，，可得，解得的值，即可求出、两点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）令，求出点坐标，根据、、三点坐标求出的面积，再得到的面积，设，利用三角形面积求出的值即可．【详解】（1）由题意，得，解得，，，把代入，得，反比例函数表达式为，把，代入，得，，一次函数表达式为；（2）令，则得，，点的坐标为，，，设，则，得，，解得：或，故或．18．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，过B作轴，交反比例函数的图象于点D，连接．(1)________，________，不等式的解集是________；(2)求的面积．【答案】(1)4，6，；(2)【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式求出b的值，即求出直线解析式，进而求出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式求出k的值；再根据图象法求出不等式的解集即可；（2）先求出点B的坐标，进而求出点D的坐标，再根据进行求解即可．【详解】（1）解：把代入到直线中得：，∴，∴直线解析式为，把点代入到直线中得：，∴，∴，把代入到反比例函数中得：，∴；由函数图象可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴不等式的解集是，故答案为：4，6，；（2）解：由（1）得反比例函数解析式为在中，令，则，∴，在中，令，则，∴，∴，∴．19．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，点是反比例函数图像上的一动点．过点作轴，垂足为，交直线于点．(1)求与的值；(2)若的面积是2，求此时点的坐标．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）先把点A坐标代入正比例函数解析式求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可得到答案；（2）设，则，则，再分如图1所示，当点P在点G上方时，如图2所示，当点P在点G下方时，求出对应的，并据此建立方程求解即可．【详解】（1）解：把点代入到中得：，∴，把代入到中得：，∴；（2）解：由（1）得反比例函数解析式为，设，则，∴，∵是反比例函数图像上的一动点．，∴，如图1所示，当点P在点G上方时，∵的面积是2，∴，∴，解得（负值舍），∴；如图2所示，当点P在点G下方时，则，∴，∴，；综上所述，点P的坐标为或．20．（2023·江苏徐州·一模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点，一次函数图象分别交轴，轴于两点．(1)求这两个函数的解析式；(2)求的面积；(3)请直接写出当时自变量的取值范围．【答案】(1)，；(2)；(3)或．【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把的坐标代入求出的坐标，把、的坐标代入一次函数即可求出一次函数的解析式；（2）求出的坐标，求出和的面积，即可求出答案；（3）根据函数的图象和、的坐标即可得出答案．【详解】（1）解：把代入得：，反比例函数的解析式是，代入反比例函数得：，的坐标是，把、的坐标代入一次函数得：，解得：，一次函数的解析式是；（2）解：把代入一次函数的解析式是得：，解得，，；（3）解：从图象可知：当时自变量的取值范围是或．21．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，过点A作轴，垂足为C．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)连接，求的面积．(3)在x轴上找一点P，使的值最大，请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）把点代入反比例函数，求出反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式求出n，再将A、B代入一次函数解析式，解方程求出解析式即可；（2）根据题意求出C点坐标，利用三角形面积公式求解即可；（3）作点关于的对称点，连接，,根据对称性和三角形三边的关系可知当A、、P三点共线时，有最大值，利用A、坐标求出直线解析式，求出x轴交