第05讲有理数的乘法与除法(7类热点题型讲练)(原卷版+解析)VIP

第05有理数的乘法与除法1.掌握有理数的乘法和除法法则；2.掌握有理数的乘法运算规律；3.掌握乘法几类常见的能够运用简便运算的题型；4.掌握有理数乘法和除法的应用.知识点01有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.知识点02有理数的乘法运算律（1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：．知识点03确定乘积符号（1）若a＜0，b＞0，则ab<0；（2）若a＜0，b＜0，则ab>0；（3）若ab＞0，则a、b_______；（4）若ab＜0，则a、b_______；（5）若ab=0，则a、b中至少有一个数为0.【答案】同号；异号知识点04有理数除法法则◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的_______.◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.【答案】倒数题型01两个有理数的乘法运算【典例】（2023·山西·统考中考真题）计算的结果为（

）．A．3 B． C． D．【变式1】（2023·江苏·七年级假期作业）计算的结果是（）A．10 B．5 C． D．【变式2】（2022秋·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）下列计算不正确的是（

）A． B．C． D．题型02多个有理数的乘法运算【典例】（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)(2)【变式1】（2023·全国·七年级假期作业）计算：．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）计算：（1）；（2）．题型03倒数【典例】（2023·江苏镇江·统考二模）的倒数等于．【变式1】（2023春·上海普陀·六年级统考期末）的倒数是．【变式2】（2023春·上海宝山·六年级校考期中）的倒数是．题型04有理数乘法运算律【典例】（2023·全国·七年级假期作业）用简便算法计算：【变式1】（2023春·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中）【变式2】（2023·浙江·七年级假期作业）计算：(1)(2)(3)题型05有理数乘法的实际应用【典例】（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表标准质量的差（单位：千克）023箱数1322241请解答下列问题：(1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重千克．(2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？(3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？【变式1】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨)星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计表中星期五的进出数被墨水涂污了．(1)请你算出星期五的进出数；(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？【变式2】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，，(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？(2)离开下午出发点最远时是__________千米；(3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？题型06有理数的除法运算【典例】（2023·浙江·七年级假期作业）计算：．【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）计算：．【变式2】（2023春·上海·六年级专题练习）计算：＝．题型07有理数的乘除混合运算【典例】（2023·江苏·七年级假期作业）计算：(1)；(2)；(3)．【变式1】（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)．【变式2】（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)÷（）÷（）；(2)（）÷（）÷（）；(3)（）×（）÷；(4)（）÷（）×（）．一、选择题1．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）计算的结果为(

)A． B． C．1 D．62．（2023·广东深圳·深圳市石岩公学校考模拟预测）下列互为倒数是（）A．和 B．和 C．和 D．和3．（2023·全国·七年级假期作业）计算的结果是（）A． B． C． D．14．（2023·浙江·七年级假期作业）下列各式中，计算结果为负数的是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·七年级单元测试）如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为（）．A．-4，-4，0，2，4 B．-4，-2，2，4 C．0 D．-4，0，4二、填空题6．（2023春·上海松江·六年级统考期中）的倒数是7．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）计算：的结果为．8．（2023·全国·七年级假期作业）在，，，这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是．9．（2023·浙江·七年级假期作业）若规定，试求的值．10．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为．三、解答题11．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算：(1)(2)12．（2023·全国·九年级专题练习）计算(1)(2)(3)(4)13．（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)；(3)．14．（2023·浙江·七年级假期作业）阅读下面的解题过程：计算：解：原式=第一步第二步第三步解答下列问题：(1)上面的解题过程中有两处错误：第一处错误是第______步，第二处错误是______步．(2)写出正确求解原式的计算过程．15．（2023·浙江·七年级假期作业）出租车司机小明在东西向的大直街运营，若规定向东为正，向西为负，他今天共载了11名乘客，行车里程如下：（单位：千米）(1)他将最后一名乘客送到目的地时，距离出车时的地点多少千米？(2)若汽油耗油量为a升/千米，今天小明开车共耗油多少升？（用含a的整式表示）(3)若出租车按物价部门规定收费：起步价9元（即：不超过，收9元），超过后，超过的部分是每行驶1千米再收元，小王今天共收入多少元？（不计油钱）16．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：编号与标准质量的差值（单位：千克）(1)8筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？(2)与标准重量比较，8筐白菜总计超过或不足多少千克？(3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？

第05讲有理数的乘法与除法1.掌握有理数的乘法和除法法则；2.掌握有理数的乘法运算规律；3.掌握乘法几类常见的能够运用简便运算的题型；4.掌握有理数乘法和除法的应用.知识点01有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1.知识点02有理数的乘法运算律（1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：．知识点03确定乘积符号（1）若a＜0，b＞0，则ab<0；（2）若a＜0，b＜0，则ab>0；（3）若ab＞0，则a、b_______；（4）若ab＜0，则a、b_______；（5）若ab=0，则a、b中至少有一个数为0.【答案】同号；异号知识点04有理数除法法则◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的_______.◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.【答案】倒数题型01两个有理数的乘法运算【典例】（2023·山西·统考中考真题）计算的结果为（

）．A．3 B． C． D．【答案】A【分析】根据有理数乘法运算法则计算即可．【详解】解：．故选A．【点睛】本题主要考查了有理数乘法，掌握“同号得正、异号得负”的规律是解答本题的关键．【变式1】（2023·江苏·七年级假期作业）计算的结果是（）A．10 B．5 C． D．【答案】D【分析】根据有理数的乘方运算法则直接求出即可．【详解】解：．故选：D．【点睛】此题主要考查了有理数乘法运算，正确把握运算法则是解题关键．【变式2】（2022秋·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）下列计算不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据有理数的乘法法则分别判断即可．【详解】解：A、，故正确，不合题意；B、，故错误，符合题意；C、，故正确，不合题意；D、，故正确，不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握计算法则是解题关键．题型02多个有理数的乘法运算【典例】（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)−200【分析】（1）根据乘法交换律和结合律简便计算即可求解．（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．【详解】（1）解：．（2）解：．【点睛】此题考查了有理数乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母，并化为最简分数，熟练掌握乘法计算法则是解题的关键．【变式1】（2023·全国·七年级假期作业）计算：．【答案】【分析】根据乘法交换律计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查有理数的乘法运算．掌握有理数的乘法运算法则是解题关键．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）6【分析】根据有理数乘法法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”．题型03倒数【典例】（2023·江苏镇江·统考二模）的倒数等于．【答案】2023【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．【详解】解：的倒数是2023．故答案为：2023．【点睛】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．【变式1】（2023春·上海普陀·六年级统考期末）的倒数是．【答案】【分析】根据倒数的定义可直接解答．【详解】的倒数是，故答案为：．【点睛】本题考查了倒数的定义，即乘积为1的两个数互为倒数，准确掌握知识点是解题的关键．【变式2】（2023春·上海宝山·六年级校考期中）的倒数是．【答案】【分析】根据倒数的定义即可完成．【详解】解：，∴的倒数是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．题型04有理数乘法运算律【典例】（2023·全国·七年级假期作业）用简便算法计算：【答案】【分析】将改写为，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可．【详解】解：原式【点睛】本题考查乘法分配律．熟练掌握乘法分配律是解题的关键．【变式1】（2023春·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中）【答案】【分析】逆用乘法分配律进行计算即可得到结果．【详解】．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握和运用运算律是解题的关键．【变式2】（2023·浙江·七年级假期作业）计算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解；（2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解；（3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：（3）解：【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键．题型05有理数乘法的实际应用【典例】（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表标准质量的差（单位：千克）023箱数1322241请解答下列问题：(1)这15箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重千克．(2)与标准质量相比，这15箱苹果的总重量共计超过或不足多少千克？(3)若苹果每千克售价为8元，则这15箱苹果全部售出，共销售多少元？【答案】(1)最重的一箱比最轻的一箱重5千克．(2)与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克．(3)这15箱苹果全部售出共可获利3068元．【分析】（1）从表格中找出与标准质量差值中的最大与最小的数据，用最大数减去最小数，即可得到；（2）用表中的差值乘对应的箱数，再求和，若结果为正，则超过标准；若结果为负，则不足标准；（3）用单价乘以总质量，即可得到答案．【详解】（1）解：（千克），答：最重的一箱比最轻的一箱重5千克．（2）解：（千克），答：与标准质量相比，15箱苹果的总重量共计超过千克．（3）解：（千克），（元），答：这15箱苹果全部售出共可获利3068元．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解与标准质量的差值是关键．【变式1】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨德强学校校考期中）某仓库将运进货物记为正，运出货物记为负，一周进出数的记录如下表(单位∶吨)星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计表中星期五的进出数被墨水涂污了．(1)请你算出星期五的进出数；(2)如果进出的装卸费都是每吨10元那么这一周要付多少元装卸费？【答案】(1)星期五的进出数为吨(2)1160元【分析】（1）用这周进出数之和减去除星期五的进出数，即可得；（2）先求出这周总的装卸货物的重量，再乘10即可得．【详解】（1）解：周五的进出数为(吨)，答：星期五的进出数为吨．（2）解：这一周的装卸费为：(元)．【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握这些知识点．【变式2】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）出租车司机小李某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午的行程记录如下：（单位：千米），，，，，，(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张在出车点的哪侧，距离出车点多少千米？(2)离开下午出发点最远时是__________千米；(3)若汽车的耗油量为升/千米，油价为元/升，这天下午到送完所有乘客时，共需要支付多少油钱？【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边(2)26(3)元【分析】（1）把所有的行程数据相加即可求出小李离下午出车点的距离，若数据为正则在出发点的东边，反之在西边；（2）分别计算出小李每一次行程离出发点的距离，再比较出各数据的大小即可；（3）耗油量每千米的耗油量总路程，总路程为所走路程的绝对值的和．【详解】（1）解：小李离下午出车点的距离（千米）．答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出车时的出发点21千米，此时在出车点的东边；（2）解：当行程为千米时离开下午出发点15千米；当行程为千米时离开下午出发点（千米）；当行程为千米时离开下午出发点（千米）；当行程为千米时离开下午出发点（千米）；当行程为千米时离开下午出发点（千米）；当行程为千米时离开下午出发点（千米）；当行程为千米时离开下午出发点（千米）；∵，∴离开下午出发点最远时是26千米，答：离开下午出发点最远时是26千米；（3）解：∵这天下午小李所走路程（千米），∴这天下午共需付油钱（元），答：这天下午共需支付元油钱．【点睛】本题考查有理数的运算在实际中的应用，解答此类题目时要注意总路程为所走路程的绝对值的和．题型06有理数的除法运算【典例】（2023·浙江·七年级假期作业）计算：．【答案】【分析】根据有理数的除法，求解即可．【详解】解：，故答案为：【点睛】此题考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则．【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）计算：．【答案】【分析】原式利用除法法则变形，计算即可求出值．【详解】解：故答案为：．【点睛】此题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则．【变式2】（2023春·上海·六年级专题练习）计算：＝．【答案】【分析】两个负数相除，结果为正，再利用除以一个数，等于乘这个数的倒数计算即可．【详解】解：原式＝﹣3×（﹣）＝，故答案为：．【点睛】本题考查有理数的除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．题型07有理数的乘除混合运算【典例】（2023·江苏·七年级假期作业）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据有理数乘法法则：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘；据此计算即可；（2）根据有理数的乘除混合运算法则，先将除法转化成乘法，再算乘法，进行计算即可；（3）先将除法转化成乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除法运算法则是解答此题的关键．【变式1】（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可；（2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除运算法则，准确计算．【变式2】（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)÷（）÷（）；(2)（）÷（）÷（）；(3)（）×（）÷；(4)（）÷（）×（）．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；（3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；（4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．【详解】（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝；（4）原式＝．【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．一、选择题1．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）计算的结果为(

)A． B． C．1 D．6【答案】A【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可求解．【详解】解：原式．故选：A．【点睛】本题主要考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知除法运算法则．2．（2023·广东深圳·深圳市石岩公学校考模拟预测）下列互为倒数是（）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】B【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵，∴和不互为倒数，不符合题意；B、，∴和互为倒数，符合题意；C、和，∴和不互为倒数，不符合题意；D、∵，∴和不互为倒数，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键．3．（2023·全国·七年级假期作业）计算的结果是（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据有理数乘除运算法则直接求解即可得到答案．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查有理数乘除运算，熟记有理数乘除运算法则是解决问题的关键．4．（2023·浙江·七年级假期作业）下列各式中，计算结果为负数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两个以上有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数个数为偶数时，积为正，负因数个数为奇数时，积为负．任何数与0的积为0．【详解】A选项：中负因数个数为2，积为正，不符合题意，B选项：中负因数个数为2，积为正，不符合题意，C选项：中负因数个数为3，积为负，符合题意，D选项：，不符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查有理数的乘法的符号规律，解决本题的关键是要熟练掌握有理数乘法法则．5．（2023秋·七年级单元测试）如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为（）．A．-4，-4，0，2，4 B．-4，-2，2，4 C．0 D．-4，0，4【答案】D【分析】由题意分情况讨论：①a，b，c均是正数；②a，b，c均是负数；③a，b，c中有一个正数，两个负数；④a，b，c中有两个正数，一个负数；利用绝对值的性质，先化简绝对值，再求出结果．【详解】解：①a，b，c均是正数，原式=；②a，b，c均是负数，原式=；③a，b，c中有两个负数，一个正数，原式=；④a，b，c中有两个正数，一个负数，原式=．所有可能的值为－4，0，4．故选：D．【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的计算等，注意多种情况讨论，不能丢解．二、填空题6．（2023春·上海松江·六年级统考期中）的倒数是【答案】【分析】将带分数化为假分数，根据倒数的定义即可求解．【详解】解：，∴的倒数是，故答案为：．【点睛】本题主要考查倒数的定义，掌握求一个数的倒数的方法是解题的关键．7．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）计算：的结果为．【答案】【分析】按照运算顺序依次计算即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是计算的关键．8．（2023·全国·七年级假期作业）在，，，这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是．【答案】【分析】取异号两数相除，商绝对值较大．【详解】解：根据题意得，商最小的是：．故答案为：．【点睛】本题有理数除法，有理数大小比较，灵活应用除法法则解题是关键．9．（2023·浙江·七年级假期作业）若规定，试求的值．【答案】//【分析】根据为的倒数的相反数除以的一半计算即可．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义，有理数的除法运算，解题的关键是理解题意，根据新定义进行运算．10．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）单项式a是一个正数，且，那么的值为．【答案】0【分析】由已知推出b、c都是负数，据此去绝对值符号，即可求解．【详解】解：∵单项式a是一个正数，且，∴b、c都是负数，∴，，，，∴，故答案为：0．【点睛】本题考查了绝对值的意义，得到b、c都是负数是解答本题的关键.三、解答题11．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先把小数化成分数，把带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则求出即可．（2）先把带分数化成假分数，再把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法则求出即可．【详解】（1）原式＝＝＝（2）原式＝＝＝＝【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法运算法则，正确理解其运算法则是解题的关键．12．（2023·全国·九年级专题练习）计算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)1(3)2(4)【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、有理数的乘除混合运算、有理数的乘法运算律、两个有理数的乘法运算．掌握各运算法则是解题关键．13．（2023·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)18(2)(3)54【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键．14．（2023·浙江·七年级假期作业）阅读下面的解题