2023年北京市初三一模数学试题汇编：平行四边形章节综合

第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编平行四边形章节综合一、解答题1．（2023·北京通州·统考一模）如图，在四边形中，，E为的中点，请你用无刻度的直尺在图中画的边上的高线，小蕊的画法如下．请你按照小蕊的画法完成画图，并填写证明的依据．画法：①连接，②连接，交于点F，③连接，交于点P④作射线，交于点H，∴即为所求的边上的高线证明：∵，E为的中点，∴．∵，∴四边形是平行四边形．___________________________．∴点F是中点．____________________________．∴是的中线∴是的中线∵∴是边上的高线．______________________________．2．（2023·北京丰台·统考一模）在正方形中，点O为对角线的中点，点E在对角线上，连接，点F在直线上（点F与点D不重合），且．(1)如图1，当点E在线段上（不与端点重合）时．①求证：；②用等式表示线段，，的数量关系并证明；(2)如图2，当点E在线段上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段，，的数量关系．3．（2023·北京顺义·统考一模）如图，的对角线，相交于点O，将对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求证：四边形是矩形．4．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，，连接．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若，求证：四边形是矩形．5．（2023·北京延庆·统考一模）如图，在平行四边形中，连接，，点M为边的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的面积．6．（2023·北京西城·统考一模）在中，是边上的中线，点E在线段上，点F在线段的延长线上，，连接，．(1)如图1，求证：四边形是平行四边形．(2)若，①依题意补全图2；②求证：四边形为菱形.7．（2023·北京房山·统考一模）如图，中，对角线、交于点，在上截取．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求证：平分．8．（2023·北京海淀·统考一模）如图，正方形中，点E，F分别在上，交于点G．(1)求的度数；(2)在线段上截取，连接的角平分线交于点N．①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明．9．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接交于点，连接．若，，求的长．二、填空题10．（2023·北京通州·统考一模）在中，，将一个直角尺的直角顶点O与边上的中点D重合，并绕点D旋转，分别交于点E、F，如果四边形恰巧是正方形，则的长度为__________．11．（2023·北京海淀·统考一模）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_________．

参考答案1．见解析【分析】先根据题意画图，然后根据已知条件填写依据即可．【详解】∵，E为的中点，∴．∵，∴四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴点F是中点．（平行四边形对角线互相平分），∴是的中线，∴是的中线，∵，∴是边上的高线．（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）．【点睛】此题考查平行四边形的性质与判断和等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件灵活使用平行四边形的性质和判定．2．(1)①见解析；②，证明见解析；(2)图见解析，．【分析】（1）连接，证明，，可得，，，从而可得答案；②过点E作交于点G，证明，，再证明，可得，从而可得结论；（2）先补全图形，过点E作于N，交于M，证明，可得，由线段的和差关系可求解．【详解】（1）①证明：连接．四边形是正方形，．点E在对角线上，．，．，．．②；证明：过点E作交于点G．，．，，，，，，，．．（2）补全图形如下：如图2，过点E作于N，交于M，∵四边形是正方形，∴，，，∵，∴四边形是矩形，是等腰直角三角形，∴，，，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．即．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．3．(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）由四边形是平行四边形易知，，再证得，即可得出结论．（2）根据四边形是平行四边形，得，，再根据，得，即可得出结论．【详解】（1）证明：连接，设与交于点．如图所示：四边形是平行四边形，，，又，．四边形是平行四边形．（2）证明：由(1）知：四边形是平行四边形，，，∵∴∴四边形是矩形．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，解题时要注意选择适宜的判定方法．4．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明，得到，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；（2）证明，进而得到，即可得证．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴四边形为平行四边形．（2）∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴四边形是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．5．(1)见解析；(2)90．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得，．从百得，，再证明．得，从而得四边形是平行四边形．即可由矩形判定定理得出结论，（2）先由矩形与三角形面积公式求得，．再由求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，．∴，．∵点M为边的中点，∴．∴．∴．∴四边形是平行四边形．∵，∴．∴平行四边形是矩形．（2）解：∵四边形是矩形，∴，．∴．∵，∴．∵，∴．∴，．∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形与三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质定理，矩形的判定定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．6．(1)见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）证明，可得，再根据，即可得出结论；（2）由，可得，再由等腰三角形的性质可证，再利用菱形的判定即可得出结论．【详解】（1）证明：∵，∴，∵是边上的中线，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形．（2）解：①依题意补全图2，如图；②证明：∵，∴，∵是边上的中线，∴，由（1）证明方法可得四边形是平行四边形，∴四边形为菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质及菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质及菱形的判定是解题的关键．7．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，进而证明，由此即可证明四边形是矩形；（2）先证明四边形是正方形，得到，即可证明四边形是菱形，则由菱形的性质可得平分．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，；∴四边形是矩形；（2）证明：∵四边形是矩形，，∴四边形是正方形，∴，又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，∴平分．【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知特殊平行四边形的判定定理是解题的关键．8．(1)(2)①见解析②，证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质，得，利用证明得出角相等，再将角进行等量代换便可得结论．（2）①根据题意画出图形即可，②作交的延长线于点H，构造全等三角形，得出，再证，问题即可解决．【详解】（1）∵四边形是正方形，∴，在和中，∴，∴∴．（2）①根据题意画图如下②,理由如下作交的延长线于点H，连HD∵平分,∴∴为等腰直角三角形∴∵四边形为正方形∴∴∴在和中∴∴∴∵∴在和中∴∴【点睛】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．9．(1)见解析(2)【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形判断即可；（2）先证明是等边三角形，再根据30°的直角三角形的三边关系，利用勾股定理即可计算．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，又∵，∴，∴四边形是矩形．（2）如图所示：∵四边形是矩形，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，，，∴，在中，【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，灵活运用相关性质是解题的关键．10．2【分析】由四边形是正方形得到，由，得到是等腰直角三角形，求出，由直角三角形的性质得到，在中，求出，即可得到答案．【详解】解：如图，四边形是正方形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，，∵D是边上的中点，∴，在中，，∴，∴，故答案为：2【点睛】此题考查了正方形