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第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编平行四边形章节综合一、解答题1.(2023·北京通州·统考一模)如图,在四边形中,,E为的中点,请你用无刻度的直尺在图中画的边上的高线,小蕊的画法如下.请你按照小蕊的画法完成画图,并填写证明的依据.画法:①连接,②连接,交于点F,③连接,交于点P④作射线,交于点H,∴即为所求的边上的高线证明:∵,E为的中点,∴.∵,∴四边形是平行四边形.___________________________.∴点F是中点.____________________________.∴是的中线∴是的中线∵∴是边上的高线.______________________________.2.(2023·北京丰台·统考一模)在正方形中,点O为对角线的中点,点E在对角线上,连接,点F在直线上(点F与点D不重合),且.(1)如图1,当点E在线段上(不与端点重合)时.①求证:;②用等式表示线段,,的数量关系并证明;(2)如图2,当点E在线段上(不与端点重合)时,补全图形,并直接写出线段,,的数量关系.3.(2023·北京顺义·统考一模)如图,的对角线,相交于点O,将对角线向两个方向延长,分别至点E和点F,且使.(1)求证:四边形是平行四边形;(2)若,求证:四边形是矩形.4.(2023·北京朝阳·统考一模)如图,在平行四边形中,对角线相交于点O,点E,F在上,,连接.(1)求证:四边形为平行四边形;(2)若,求证:四边形是矩形.5.(2023·北京延庆·统考一模)如图,在平行四边形中,连接,,点M为边的中点,连接并延长,交的延长线于点E,连接.(1)求证:四边形是矩形;(2)若,,求四边形的面积.6.(2023·北京西城·统考一模)在中,是边上的中线,点E在线段上,点F在线段的延长线上,,连接,.(1)如图1,求证:四边形是平行四边形.(2)若,①依题意补全图2;②求证:四边形为菱形.7.(2023·北京房山·统考一模)如图,中,对角线、交于点,在上截取.(1)求证:四边形是矩形;(2)若,求证:平分.8.(2023·北京海淀·统考一模)如图,正方形中,点E,F分别在上,交于点G.(1)求的度数;(2)在线段上截取,连接的角平分线交于点N.①依题意补全图形;②用等式表示线段与的数量关系,并证明.9.(2023·北京丰台·统考一模)如图,在平行四边形中,,过点作交的延长线于点.(1)求证:四边形是矩形;(2)连接交于点,连接.若,,求的长.二、填空题10.(2023·北京通州·统考一模)在中,,将一个直角尺的直角顶点O与边上的中点D重合,并绕点D旋转,分别交于点E、F,如果四边形恰巧是正方形,则的长度为__________.11.(2023·北京海淀·统考一模)如图,菱形的对角线交于点O,点M为的中点,连接.若,则的长为_________.
参考答案1.见解析【分析】先根据题意画图,然后根据已知条件填写依据即可.【详解】∵,E为的中点,∴.∵,∴四边形是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),∴点F是中点.(平行四边形对角线互相平分),∴是的中线,∴是的中线,∵,∴是边上的高线.(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高).【点睛】此题考查平行四边形的性质与判断和等腰三角形的性质,解题关键是根据已知条件灵活使用平行四边形的性质和判定.2.(1)①见解析;②,证明见解析;(2)图见解析,.【分析】(1)连接,证明,,可得,,,从而可得答案;②过点E作交于点G,证明,,再证明,可得,从而可得结论;(2)先补全图形,过点E作于N,交于M,证明,可得,由线段的和差关系可求解.【详解】(1)①证明:连接.四边形是正方形,.点E在对角线上,.,.,..②;证明:过点E作交于点G.,.,,,,,,,..(2)补全图形如下:如图2,过点E作于N,交于M,∵四边形是正方形,∴,,,∵,∴四边形是矩形,是等腰直角三角形,∴,,,,∴,又∵,∴,∴,∵,∴.即.【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理的应用,本题综合性强,熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键,属于中考常考题型.3.(1)见解析;(2)见解析.【分析】(1)由四边形是平行四边形易知,,再证得,即可得出结论.(2)根据四边形是平行四边形,得,,再根据,得,即可得出结论.【详解】(1)证明:连接,设与交于点.如图所示:四边形是平行四边形,,,又,.四边形是平行四边形.(2)证明:由(1)知:四边形是平行四边形,,,∵∴∴四边形是矩形.【点睛】此题考查了平行四边形的性质,矩形的判定,解题时要注意选择适宜的判定方法.4.(1)见解析(2)见解析【分析】(1)证明,得到,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形,即可得证;(2)证明,进而得到,即可得证.【详解】(1)证明:∵四边形是平行四边形,∴.∵,∴.∵,∴.∴.∴四边形为平行四边形.(2)∵,∴.∵,∴.∴.∴.∴四边形是矩形.【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定.熟练掌握相关知识点并灵活运用,是解题的关键.5.(1)见解析;(2)90.【分析】(1)先根据平行四边形的性质得,.从百得,,再证明.得,从而得四边形是平行四边形.即可由矩形判定定理得出结论,(2)先由矩形与三角形面积公式求得,.再由求解即可.【详解】(1)证明:∵四边形是平行四边形,∴,.∴,.∵点M为边的中点,∴.∴.∴.∴四边形是平行四边形.∵,∴.∴平行四边形是矩形.(2)解:∵四边形是矩形,∴,.∴.∵,∴.∵,∴.∴,.∴.【点睛】本题考查平行四边形的性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定与性质,矩形与三角形的面积,熟练掌握平行四边形的性质定理,矩形的判定定理,全等三角形的判定与性质是解题的关键.6.(1)见解析(2)①见解析;②见解析【分析】(1)证明,可得,再根据,即可得出结论;(2)由,可得,再由等腰三角形的性质可证,再利用菱形的判定即可得出结论.【详解】(1)证明:∵,∴,∵是边上的中线,∴,∵,∴,∴,∴四边形是平行四边形.(2)解:①依题意补全图2,如图;②证明:∵,∴,∵是边上的中线,∴,由(1)证明方法可得四边形是平行四边形,∴四边形为菱形.【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质及菱形的判定,熟练掌握平行四边形的判定与性质及菱形的判定是解题的关键.7.(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)先根据平行四边形的性质得到,进而证明,由此即可证明四边形是矩形;(2)先证明四边形是正方形,得到,即可证明四边形是菱形,则由菱形的性质可得平分.【详解】(1)证明:∵四边形是平行四边形,∴,∵,∴,∴四边形是平行四边形,;∴四边形是矩形;(2)证明:∵四边形是矩形,,∴四边形是正方形,∴,又∵四边形是平行四边形,∴四边形是菱形,∴平分.【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定,矩形的判定,菱形的性质与判定,平行四边形的性质,熟知特殊平行四边形的判定定理是解题的关键.8.(1)(2)①见解析②,证明见解析【分析】(1)根据正方形的性质,得,利用证明得出角相等,再将角进行等量代换便可得结论.(2)①根据题意画出图形即可,②作交的延长线于点H,构造全等三角形,得出,再证,问题即可解决.【详解】(1)∵四边形是正方形,∴,在和中,∴,∴∴.(2)①根据题意画图如下②,理由如下作交的延长线于点H,连HD∵平分,∴∴为等腰直角三角形∴∵四边形为正方形∴∴∴在和中∴∴∴∵∴在和中∴∴【点睛】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定,等腰直角三角形性质和判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,合理作出辅助线.9.(1)见解析(2)【分析】(1)根据三个角是直角的四边形是矩形判断即可;(2)先证明是等边三角形,再根据30°的直角三角形的三边关系,利用勾股定理即可计算.【详解】(1)证明:∵四边形是平行四边形,∴,∴,又∵,∴,∴四边形是矩形.(2)如图所示:∵四边形是矩形,∴,∵四边形是平行四边形,∴,,∴,又∵,∴是等边三角形,∴,,,∴,在中,【点睛】本题考查平行四边形的性质,矩形的性质和判定,等边三角形的性质和判定,灵活运用相关性质是解题的关键.10.2【分析】由四边形是正方形得到,由,得到是等腰直角三角形,求出,由直角三角形的性质得到,在中,求出,即可得到答案.【详解】解:如图,四边形是正方形,∴,∵,∴是等腰直角三角形,,∵D是边上的中点,∴,在中,,∴,∴,故答案为:2【点睛】此题考查了正方形
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