2023年二轮复习解答题专题二十一：二次函数范围问题-大小比较(原卷版+解析)

2023年二轮复习解答题专题二十二：二次函数范围问题——大小比较典例分析例1：（2022自贡中考）已知二次函数．（1）若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点的坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值时自变量的取值范围；（3）若且，一元二次方程两根之差等于，函数图象经过，两点，试比较的大小．专题过关1.（2022郑州外国语三模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点，在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；（3）若对于时，总有，求m的取值范围．2.（2022郑州一模）抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（4，﹣a﹣3）在抛物线的图象上．（1）求抛物线的解析式；（2）现规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“不动点”．已知点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3图象上的“不动点”，点H是点N，Q之间抛物线上一点（不与点N，Q重合），求点H的纵坐标的取值范围．3.（2022河南长垣一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．（1）求抛物线的解析式；（2）结合图象直接写出不等式的解集；（3）若点，都在抛物线上，当时，求的取值范围．4.（2022河南新安一模）如图，抛物线与直线相交于A，B两点．（1）求物线的对称轴及B点坐标．（2）已知和是抛物线上两点，且，求b的取值范围．（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集．5.（2022河南夏邑一模）如图，抛物线的顶点G的坐标为，与x轴交于A，B两点，且AB=4．

（1）求此抛物线的解析式．（2）已知点，均在此抛物线上，且，请直接写出x1的取值范围．（3）将该抛物线沿x轴平移，当抛物线与坐标轴有且只有两个交点时停止移动，得到新抛物线L，点M是线段AB（A，B为原抛物线与x轴的交点）上的一点，过点M作轴交新抛物线L于点N，求点N的纵坐标的取值范围．6.（2022三门峡一模）已知二次函数（）．（1）该二次函数图象的对称轴是直线______；（2）若该二次函数的图象开口向上，当时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点，，当取大于3的任何实数时，均满足，请结合图象，直接写出的取值范围．7.（2022南阳宛城一模）已知抛物线（m为常数）．（1）当时，设点，），Q（4，）在该抛物线上，若，直接写出的取值范围；（2）若点A（1，）、B（4，）在该抛物线上，且，求m的取值范围；（3）当时，y的最小值为3，求m的值．8.（2022河南上蔡三模）已知抛物线过点，交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且对于任意实数m，恒有成立．（1）求抛物线的解析式．（2）作直线BC，点是直线BC上一点，将点E向右平移2个单位长度得到点F，连接EF．若线段EF与抛物线只有1个交点，求点E横坐标的取值范围，（3）若，，三点都在抛物线上且总有，直接写出n的取值范围．9.（2022河南商城一模）如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的表达式；（2）P（x1，y1），Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点的横坐标x1的取值范围；（3）点M为直线AB上一动点，将点M沿与y轴平行的方向平移一个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．10.（2022新乡牧野三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．11.（2022河南林州一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．12.（2022焦作一模）如图，二次函数经过点，与x轴的负半轴，y轴正半轴交于点B，C，点G为抛物线的顶点．（1）求b的值和点G的坐标；（2）当时，求函数的最大值和最小值；（3）当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的值．13.（2022许昌一模）已知抛物线．（1）若b＝2a，求抛物线的对称轴；（2）若a＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；②点，，在抛物线上，若，请直接写出b的取值范围．14.（2022北京七中一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中．（1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；（2）①当时，求的值；②若，求的值（用含的式子表示）；（3）若对于，都有，求的取值范围．15.（2022北京西城二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线没有公共点，求a的取值范围；（3）点，在此抛物线上，且当时，都有．直接写出a的取值范围．16.（2022北京顺义二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．（1）当时，①求抛物线的对称轴；②若点，都在抛物线上，且，求的取值范围；（2）已知点，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．17.（2022北京燕山二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点和，其中．当时，求m的取值范围．18.（2022北京通州一模）已知抛物线过，，三点．（1）求n的值（用含有a的代数式表示）；（2）若，求a的取值范围．19.（2022北京顺义一模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知点，，在抛物线上．若，比较，，的大小，并说明理由．20.（2022北京石景山一模）在平面直角坐标xOy中，点在抛物线上．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上两点，，且，．①当时，比较，的大小关系，并说明理由；②若对于，，都有，直接写出t的取值范围．21.（2022北京石景山二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；（2）点在抛物线上，其中．①若的最小值是，求的最大值；②若对于，都有，直接写出t的取值范围．22.（2022北京平谷一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．23.（2020北京平谷二模）在平面直角坐标系xOy中，点、、是抛物线上三个点．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）当时，求b的值；（3）当时，求b的取值范围．24.（2022北京密云二模）已知二次函数的图象经过点．（1）用含a的代数式表示b；（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为，求二次函数的解析式；（3）当时，该函数图象上的任意两点、，若满足，，求的取值范围．25.（2022门头沟一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）；（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线的距离为1，直接写出的取值范围；（3）如果点，都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有，求的取值范围．26.（2022北京海淀一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；（2）一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．若，求m的取值范围．27.（2022北京海淀二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m–2,y1），（m,y2），（2-m,y3）在抛物线y=x2－2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；（2）当m=0时，若y1=y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．28.（2022北京丰台一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；（2）已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围．29.（2022北京丰台二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）（2），为该抛物线上的两点，若，，且，求a的取值范围．30.（2022北京房山二模）已知二次函数．（1）二次函数图象的对称轴是直线__________；（2）当时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；（3）若，对于二次函数图象上的两点，当时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．31.（2022北京房山一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．（1）求二次函数的解析式及P点坐标；（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．32.（2022北京昌平二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）若抛物线过点．①求抛物线的对称轴；②当时，图像在轴的下方，当时，图像在轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；（2）若，，为抛物线上的三点且，设抛物线的对称轴为直线，直接写出的取值范围．33.（2022北京朝阳区一模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．（1）若，求的值；（2）若，求值的取值范围．2023年二轮复习解答题专题二十二：二次函数范围问题——大小比较典例分析例1：（2022自贡中考）已知二次函数．（1）若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点的坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值时自变量的取值范围；（3）若且，一元二次方程两根之差等于，函数图象经过，两点，试比较的大小．【答案】（1），；；（2）见详解；；（3）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，可得所求点的坐标；（2）由题意画出图象，结合图象写出的取值范围；（3）根据题意分别求出，，将点P点Q的坐标代入分别求出，利用作差法比较大小即可．【小问1详解】解：∵，且函数图象经过，两点，∴，∴二次函数的解析式为，∵当时，则，解得，，∴抛物线与轴交点的坐标为，，∵，∴抛物线的顶点的坐标为．【小问2详解】解：函数的大致图象，如图①所示：当时，则，解得，，由图象可知：当时，函数值．【小问3详解】解：∵且，∴，，，且一元二次方程必有一根为，∵一元二次方程两根之差等于，且∴方程的另一个根为，∴抛物线的对称轴为直线：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴∵，，∴，，∴，∴．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出b与c的关系是解题的关键．专题过关1.（2022郑州外国语三模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A．点是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线经过A，B两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点，在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；（3）若对于时，总有，求m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由，可得抛物线的顶点坐标；（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，可知关于对称轴对称的点坐标为，进而可知的关系；（3）将代入，得，则，过A，B两点的直线解析式为，当时，由题意知，当时，随的增大而减小，，即，可得，可得；当时，由题意知，当时，随的增大而减小，点关于直线的对称点为，则，计算求出此时的取值范围；进而可得的取值范围．【小问1详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为．【小问2详解】解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，∴关于对称轴对称的点坐标为，∴，故答案为：．【小问3详解】解：将代入，得，∴，将代入，解得，∴，当时，由题意知，当时，随的增大而减小，∵，∴，即，解得，∴，∴；当时，由题意知，当时，随的增大而减小，点关于直线的对称点为，∵对于时，总有，∴，解得，∴；综上所述，的取值范围为．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2.（2022郑州一模）抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D（4，﹣a﹣3）在抛物线的图象上．（1）求抛物线的解析式；（2）现规定平面直角坐标系中横纵坐标相等的点为“不动点”．已知点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3图象上的“不动点”，点H是点N，Q之间抛物线上一点（不与点N，Q重合），求点H的纵坐标的取值范围．【22题答案】【答案】（1）y＝x2﹣4x-5；（2）-9＜y＜．【解析】【分析】（1）把点D坐标代入抛物线解析式求出a，问题得解；（2）先根据“不动点”的定义求出N、Q的坐标，再根据抛物线性质确定对称轴、开口方向，得到点N、Q位于对称轴两侧，求出抛物线图象最低点坐标，进而即可确定点H取值范围．【详解】解：（1）∵点D（4，﹣a﹣3）在抛物线y＝x2﹣2ax﹣a﹣3的图象上，∴16-8a-a-3=-a-3解得a=2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x-5；（2）∵点N（xN，yN），Q（xQ，yQ）是抛物线y＝x2﹣4x-5图象上的“不动点”，∴x2﹣4x-5=x，即x2﹣5x-5=0，解得，∴点N、Q的坐标分别为、，由抛物线y＝x2﹣4x-5得对称轴为x=2，开口向上；∴N、Q位于对称轴两侧，图象有最低点，坐标为（2，-9），∴点H的纵坐标的取值范围为-9＜y＜．【点睛】本题考查了抛物线点的坐标特点，抛物线的性质等知识，理解“不动点”的定义，构造方程求出点N、Q坐标是解题关键．3.（2022河南长垣一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．（1）求抛物线的解析式；（2）结合图象直接写出不等式的解集；（3）若点，都在抛物线上，当时，求的取值范围．【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）先通过直线解析式得到A、B的坐标，再代入二次函数解析式进行求解即可；（2）根据图象解答即可；（3）先将代入抛物线解析式，得出的值，再解出当时，方程的解，结合图象，求解即可．【小问1详解】令，则令，则将A、B分别代入得解得抛物线的解析式为；【小问2详解】直线与抛物线交于A、B两点或时，；【小问3详解】将代入抛物线解析式，得将代入抛物线解析式，得解得根据图象，当时，或．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、图像法解一元一次不等式、图像法解一元二次不等式、解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．4.（2022河南新安一模）如图，抛物线与直线相交于A，B两点．（1）求物线的对称轴及B点坐标．（2）已知和是抛物线上两点，且，求b的取值范围．（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集．【答案】（1）x=1，（2）（3）【解析】【分析】（1）先计算直线与x轴的交点，解得点A的坐标，再代入抛物线解析式，解得点B坐标，再利用配方法解得顶点坐标及对称轴；（2）把点P、Q分别代入抛物线解析式中，解得m，n的值，再根据即可解答；（3）由图象解答．【小问1详解】解：令y=0解得x=2把点A代入抛物线得，对称轴为【小问2详解】把、分别代入中得，【小问3详解】不等式的解集即直线位于抛物线的上方，由图象可知，当时，．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的综合、二次函数与一元二次方程、二次函数与一元一次不等式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5.（2022河南夏邑一模）如图，抛物线的顶点G的坐标为，与x轴交于A，B两点，且AB=4．

（1）求此抛物线的解析式．（2）已知点，均在此抛物线上，且，请直接写出x1的取值范围．（3）将该抛物线沿x轴平移，当抛物线与坐标轴有且只有两个交点时停止移动，得到新抛物线L，点M是线段AB（A，B为原抛物线与x轴的交点）上的一点，过点M作轴交新抛物线L于点N，求点N的纵坐标的取值范围．【答案】（1）抛物线的解析式（2）（3）【解析】【分析】（1）先根据抛物线的对称性求出A、B的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）分别求出，，再由，得到，由此求解即可；（3）将该抛物线沿x轴平移，当抛物线与坐标轴有且只有两个交点时停止移动，则平移后的抛物线必定经过原点，由此分向右平移1个单位和向左平移3个单位两种情况讨论求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线的顶点G的坐标为，∴抛物线的对称轴为x=1，∵AB=4，∴A，B两点到对称轴的距离为2，∴点A（-1,0），点B（3,0），设抛物线的顶点式为，抛物线过点A，∴，解得，此抛物线的解析式．【小问2详解】解：∵点，均在此抛物线上，∴，，∵，∴，∴，解得；【小问3详解】解：∵将该抛物线沿x轴平移，当抛物线与坐标轴有且只有两个交点时停止移动，∴平移后的抛物线必定经过原点，当抛物线向左平移3个单位时，如图3-1所示，此时抛物线L的解析式为，设点M的坐标为（m，0）（），则点N点的坐标为（m，）∴新抛物线的对称轴为直线，∵，∴对于抛物线L，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，∴当m=-1时，，当m=3时，，∴；当向右平移1个单位长度时，如图3-2所示，同理可得平移后的抛物线解析式为，点M的坐标为（m，0）（），则点N点的坐标为（m，）∴新抛物线的对称轴为直线，∵，∴对于抛物线L，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，∵，yN的最大=4∴当m=-1时，,当m=3时，,∴，∴综上所述．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象的平移等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．6.（2022三门峡一模）已知二次函数（）．（1）该二次函数图象的对称轴是直线______；（2）若该二次函数的图象开口向上，当时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点，，当取大于3的任何实数时，均满足，请结合图象，直接写出的取值范围．【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）利用对称轴公式计算即可；

（2）构建方程求出a的值即可解决问题；

（3）画出函数图象，结合图象，分两种情况讨论求解即可解决问题．【小问1详解】对称轴x=-．故答案为1．【小问2详解】∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，且当时，y值最大值为5∴当x=4时，y的最大值为5．∴∴∴【小问3详解】∵对称轴为直线x=1，∴x=-1与x=3时的y值相等，∵x2＞3时，均满足y1＜y2，①当a＜0时，抛物线开口向下，如图1，不成立；②当a＞0时，抛物线开口向上，如图2，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：；∴由①②知：当a＞0时，抛物线开口向上．当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．7.（2022南阳宛城一模）已知抛物线（m为常数）．（1）当时，设点，），Q（4，）在该抛物线上，若，直接写出的取值范围；（2）若点A（1，）、B（4，）在该抛物线上，且，求m的取值范围；（3）当时，y的最小值为3，求m的值．【答案】（1）或（2）（3）－1或5【解析】【分析】（1）将m=3代入可得函数关系式为，此时可得函数开口向上，与x轴的两个交点分别为（2，0）（4，0），若即，结合图象可得此时的取值范围；（2）将点A和点B的坐标代入函数关系式，得到，，根据题意得：，解不等式即可；（3）由题意：，可得抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为-1，根据对称轴在直线x=1左侧，在直线x=1与直线x=3之间和在直线x=3右侧分情况讨论即可．【小问1详解】解：将m=3代入可得函数关系式为，此时可得函数开口向上，与x轴的两个交点分别为（2，0）（4，0），若即，结合图象可得当时或；【小问2详解】解：∵点A（1，）、B（4，）在抛物线上，∴，，又∵，∴，解得：；【小问3详解】解：由题意：可得抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为-1，当时，y随x增大而增大，故当时，y有最小值3．∴，解得（舍去），；当时，对称轴为直线，函数的最小值为-1，不合题意舍去；当时，y随x增大而减小，故当时，y有最小值3，∴，解得（舍去），；综上所述，m的值为－1或5．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是注意数形结合和分类讨论．8.（2022河南上蔡三模）已知抛物线过点，交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且对于任意实数m，恒有成立．（1）求抛物线的解析式．（2）作直线BC，点是直线BC上一点，将点E向右平移2个单位长度得到点F，连接EF．若线段EF与抛物线只有1个交点，求点E横坐标的取值范围，（3）若，，三点都在抛物线上且总有，直接写出n的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】【分析】（1）分析可知：点是拋物线的顶点．即，，求出即可求出解析式；（2）求出点，，，顶点坐标为，进一步可知直线BC的解析式为．分情况讨论：当点F与抛物线顶点重合时，当点E与点C重合时，当点E与点B重合时，结合图象求解即可；（3）分析可知点不可能在抛物线的对称轴上，点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧且点到对称轴的距离比点近．故可得，解得．再利用点在对称轴的左侧，且点到对称轴的距离比点近．可知，解得．故可知n的取值范围为．【小问1详解】解：∵对于任意实数m，恒有成立，且抛物线过点，∴点是拋物线的顶点．∴，，即，解得或．∵，∴．∴抛物线的解析式为．【小问2详解】解：令，解得：，，∴，，令，可得：，∴，∵，∴抛物线的顶点坐标为，∴设直线BC的解析式为，将，代入可得：，解得：，∴直线BC的解析式为．①当点F与抛物线顶点重合时，如解图1所示，此时点F的坐标为．结合平移的性质，可知此时点E的坐标为．∴点E在直线BC上，且线段EF与抛物线只有1个交点．②当点E与点C重合时，如解图2所示，此时点，点．∴点F在抛物线上，此时线段EF与抛物线有2个交点③当点E与点B重合时，如解图3所示，此时线段EF与抛物线只有1个交点．综上所述，当线段EF与抛物线只有1个交点时，点E横坐标的取值范围为或．【小问3详解】解：．理由：当抛物线开口向下时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，且抛物线上的点到对称轴的距离越近，其对应的y值越大．结合题意，可知点不可能在抛物线的对称轴上，点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧且点到对称轴的距离比点近．∴，解得．∴点在对称轴的左侧，且点到对称轴的距离比点近．∴，解得．∴n的取值范围为．【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数性质，以及平移的性质．9.（2022河南商城一模）如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的表达式；（2）P（x1，y1），Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点的横坐标x1的取值范围；（3）点M为直线AB上一动点，将点M沿与y轴平行的方向平移一个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．【答案】（1）点B（0，2），抛物线；（2）P点的横坐标x1的取值范围；（3）点M的横坐标的取值范围点M的横坐标的取值范围或．【解析】【分析】（1）先根据直线与x轴交于点A（3，0）求出，得出直线，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）Q（4，y2）两点均在该抛物线上，求出；然后当y=-6时，，求出时的横坐标，根据函数的增减性得出P点的横坐标x1的取值范围；（3）设点N在抛物线上N（x,），点M（x,），MN=，根据MN=1，得出方程，解方程求出，得出点M的横坐标的取值范围或．【小问1详解】解：∵直线与x轴交于点A（3，0），∴，解得，∴直线，∵直线，与y轴交于点B，∴x=0，y=2，∴点B（0，2），∵抛物线经过点A（3，0），点B（0，2），∴，解得：，∴抛物线；【小问2详解】解：Q（4，y2）两点均在该抛物线上，∴；当y=-6时，，因式分解得解得或，∴（），Q（4，-6），∵a=＜0，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵y1≥y2，∴P点的横坐标x1的取值范围；【小问3详解】解：设点N在AB上方抛物线上N（x,）为满足条件的极高点，点M（x,）∴MN=∵MN=1，∴∴，∴当点N在AB下方抛物线上N（x,）为满足条件的极低点，点M（x,）∴MN=∵MN=1，∴∴，∴∵线段MN与抛物线只有一个公共点，∴点M的横坐标的取值范围或．【点睛】本题考查直线上点的特征，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，两点距离，一元二次方程，掌握直线上点的特征，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，两点距离，一元二次方程是解题关键．10.（2022新乡牧野三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．【答案】（1）y＝（x﹣3）2+2；（2）①或6；②【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；②根据抛物线对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．【详解】解：（1）∵顶点为（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵抛物线过点（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情况讨论：若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），由对称性可知：（x+3x）＝1，解得x＝，故点A坐标为（，0），将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝﹣1+3﹣m，解得m＝若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），由对称性可知：（x﹣3x）＝1，解得x＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），同理可得m＝6，综上：m＝或m＝6；②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．又∵当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，∴结合图象，得，∴﹣2≤n≤3．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．11.（2022河南林州一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．【答案】（1）y＝（x﹣3）2+2；（2）①或6；②【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；②根据抛物线的对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．【详解】解：（1）∵顶点为（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵抛物线过点（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情况讨论：若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），由对称性可知：（x+3x）＝1，解得x＝，故点A的坐标为（，0），将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝﹣1+3﹣m，解得m＝若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），由对称性可知：（x﹣3x）＝1，解得x＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），同理可得m＝6，综上：m＝或m＝6；②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．又∵当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，∴结合图象，得，∴﹣2≤n≤3．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．12.（2022焦作一模）如图，二次函数经过点，与x轴的负半轴，y轴正半轴交于点B，C，点G为抛物线的顶点．（1）求b的值和点G的坐标；（2）当时，求函数的最大值和最小值；（3）当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的值．【答案】（1），点G的坐标为（2）函数的最大值为4，最小值为0（3）t的值为0或1【解析】【分析】（1）代入A点坐标后求出解析式即可；（2）根据顶点及二次函数增减性判断求值即可；（3）根据对称轴是否在范围内分类讨论，结合二次函数增减性判断计算即可．【小问1详解】把代入得：；∴点G的坐标为【小问2详解】∵，∴抛物线开口向下．∵顶点G的坐标为，当时，函数的最大值为4．当，y随x的增大而增大∴当时，y的最小值为0．当，y随x的增大而减小∴当，y的最小值为3∴当时，函数的最大值为4，最小值为0．【小问3详解】①当时，，y随x的增大而增大在时，在时，∴∴解得：（舍去）②当时，顶点的横坐标在取值范围内，所以m的值为4，（ⅰ）当时，在时，，∴，∴，解得：（舍去）；（ⅱ）当时，在时，，∴∴，解得：（舍去）．③当时，y随x的增大而减小，在时，，在时，，∴，∴，解得：．综上所述：t值为0或1．【点睛】本题考查二次函数的性质，重点是带取值范围的二次函数的最值，一般情况下顶点出取最值，有取值范围时需要根据对称轴是否在范围内分类讨论，解题的关键是熟记二次函数的增减性．13.（2022许昌一模）已知抛物线．（1）若b＝2a，求抛物线的对称轴；（2）若a＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；②点，，在抛物线上，若，请直接写出b的取值范围．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x＝－1（2）①；②－2<b<0．【解析】分析】（1）根据抛物线对称轴公式求解即可；（2）①先根据抛物线对称轴在y轴右侧求出，再根据抛物线顶点坐标公式求解即可；②根据抛物线的增减性以及对称性求解即可．【小问1详解】解：抛物线的对称轴为直线，∵b＝2a，∴x＝－1，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1．【小问2详解】解：①当a＝1时，抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴，∴，∵该抛物线顶点的纵坐标为1，∴，解得：，，又∵b<0，∴．②∵抛物线对称轴在y轴右侧，且，抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上∴，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的增减性，对称轴公式，顶点坐标公式是解题的关键．14.（2022北京七中一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中．（1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；（2）①当时，求的值；②若，求的值（用含的式子表示）；（3）若对于，都有，求的取值范围．【答案】（1）（2）①，②（3）【解析】【分析】（1）根据抛物线对称轴的公式，代值求解即可；（2）①根据抛物线表达式，代入求值即可；②根据可知，即求抛物线与轴交点坐标，得出方程求解即可；（3）根据抛物线对称轴及，结合条件，都有，列出不等式求解即可．【小问1详解】解：抛物线，对称轴；【小问2详解】解：①抛物线，当时，；②若，则，为抛物线与轴的交点，，十字相乘分解因式得，或，，；【小问3详解】解：点，在抛物线上，，，即，若，则，即，，即，，即，，当时，对于，都有，．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．15.（2022北京西城二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线没有公共点，求a的取值范围；（3）点，在此抛物线上，且当时，都有．直接写出a的取值范围．【答案】（1）c=-2，抛物线的对称轴为直线x=1（2）0<a<4（3）或【解析】【分析】（1）把，分别代入，求得c=-2，b=-2a，再把c=-2，b=-2a代入得y=ax2-2ax-2=a(x-1)2-a-2，根据抛物线的顶点式，即可求出抛物线的对称轴；（2）把y=-6代入y=ax2-2ax-2，整理得ax2-2ax+4=0，根据抛物线与直线没有公共点，则Δ=(-2a)2-4a×4<0，即a(a-4)<0，当a>0时，则a-4<0，即a<4，则0<a<4；当a<0时，则a-4>0，即a>4，此时，无解；即可得出答案；（3）把点，分别代入y=ax2-2ax-2，得y1=at2-2at-2，y2=a(t-1)2-2a(t-1)-2=at2-a-2，所以|y2-y1|=|(at2-2at-2)-(at2-a-2)|=|-at|=|at|，根据当-2≤t≤4时，都有|y2-y1|<，所以-<at<，分两种情况：当a<0时，则；当a>0时，-<t<，则；分别求解即可．【小问1详解】解：把，分别代入，得<t<-，则，解得：，当c=-2时，抛物线解析式为：y=ax2-2ax-2=a(x-1)2-a-2，∴抛物线的对称轴为直线x=1；【小问2详解】解：把y=-6代入y=ax2-2ax-2，整理得ax2-2ax+4=0，∵抛物线与直线没有公共点，∴Δ=(-2a)2-4a×4<0，即a(a-4)<0，当a>0时，则a-4<0，即a<4，∴0<a<4，当a<0时，则a-4>0，即a>4，此时，无解；综上，a的取值范围为0<a<4；【小问3详解】解：∵点，在此抛物线上，∴y1=at2-2at-2，y2=a(t-1)2-2a(t-1)-2=at2-a-2，∴|y2-y1|=|(at2-2at-2)-(at2-a-2)|=|-at|=|at|，∵当-2≤t≤4时，都有|y2-y1|<，∴-<at<,∵a≠0，∴当a<0时，<t<-，∴，解得：，当a>0时，-<t<，∴，解得：,综上，a的取值范围是或．【点睛】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象与直线无交点问题，熟练掌握二次函数图象性质和利用不等式求参数的范围是解题的关键．16.（2022北京顺义二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．（1）当时，①求抛物线的对称轴；②若点，都在抛物线上，且，求的取值范围；（2）已知点，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．【答案】（1）①直线；②（2）或或【解析】【分析】（1）①将代入解析式即可求解．根据二次函数的性质求得对称轴；②根据抛物线的开口向上，根据点与对称轴的距离越大函数值越大，即可求解．（2）根据题意画出函数图象，结合函数图象即可求解．【小问1详解】①当时，，对称轴为直线；②抛物线的对称轴为直线，开口向上，则点与对称轴的距离越大函数值越大，点，都在抛物线上，且，，，，【小问2详解】点，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．则,，，当抛物线经过时，，解得，当抛物线的顶点在上时，，，则，即，解得或，当抛物线经过点时，，解得，此时与抛物线有2个交点，则当时，符合题意，综上所述，结合函数图象，得或或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．17.（2022北京燕山二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点和，其中．当时，求m的取值范围．【答案】（1）y＝x2﹣2x（2）（m，）（3）m＜﹣2或m＞2或﹣1＜m＜1．【解析】【分析】（1）将（2，0）代入解析式求得m，即可得到解析式；（2）由抛物线的顶点坐标公式即可求得；（3）根据抛物线开口方向及点A，B到对称轴的距离可得y1＞0，y2＞0或y1＜0，y2＜0，将两点坐标代入解析式求解即可．【小问1详解】解：将（2，0）代入得，解得m＝1，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x．【小问2详解】解：∵，∴这个二次函数的顶点坐标为（m，）．【小问3详解】解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，∵m﹣（m﹣1）＝1，m+2﹣m＝2∴m﹣（m﹣1）＜m+2﹣m，∴点A与对称轴距离小于点B与对称轴距离，∴y1＜y2，∵，∴＜0，∴抛物线的顶点（m，）在第四象限，∵y1•y2＞0，∴y1＜0，y2＜0或y1＞0，y2＞0，将（m﹣1，y1）代入y＝x2﹣2mx得y1＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1＜0，解得m＜﹣1或m＞1，将（m+2，y2）代入y＝x2﹣2mx得y2＝（m+2）2﹣2m（m+2）＝﹣m2+4＜0，解得m＜﹣2或m＞2，∴m＜﹣2或m＞2满足题意．将（m﹣1，y1）代入y＝x2﹣2mx得y1＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1＞0，解得﹣1＜m＜1，将（m+2，y2）代入y＝x2﹣2mx得y2＝（m+2）2﹣2m（m+2）＝﹣m2+4＞0，解得﹣2＜m＜2，∴﹣1＜m＜1满足题意．综上所述，m的取值范围m＜﹣2或m＞2或﹣1＜m＜1．【点睛】此题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．18.（2022北京通州一模）已知抛物线过，，三点．（1）求n的值（用含有a的代数式表示）；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【小问1详解】解：点在抛物线上，把代入得：，即．【小问2详解】、都在抛物线上，把，分别代入得：，，抛物线的对称轴为：直线，与轴的交点坐标为，①当时，函数的最小值为，，，∴要使，则，，即，解不等式组得：；②当时，函数有最大值为，∵函数图象与轴的交点坐标为，∴最大值一定是一个正的，即此时，∴要使，必须时使m、p一个为正一个为负，点A离对称轴比C较远，，，，即，解不等式组得：，综上分析可知，a的取值范围是或．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元一次不等式组，根据a正负情况进行分类讨论是解题的关键．19.（2022北京顺义一模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知点，，在抛物线上．若，比较，，的大小，并说明理由．【答案】（1）x=1；（2）．【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式求得即可；（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；【小问1详解】∵点在抛物线上，∴，∴b=-2a，∴抛物线函数关系式为：，抛物线的对称轴为：直线；；【小问2详解】∵a＜0，开口向下，且对称轴为：x=1，∴结合函数图象可知，当抛物线开口向下时，距离对称轴越近，值越大，∵，∴，，，∴，，这三个点，离对称轴最近，离对称轴最远，∴．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．20.（2022北京石景山一模）在平面直角坐标xOy中，点在抛物线上．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上两点，，且，．①当时，比较，的大小关系，并说明理由；②若对于，，都有，直接写出t的取值范围．【答案】（1）（2）①，理由见详解；②或【解析】【分析】（1）对于抛物线，令，可得，可知点（0，2）在抛物线上，根据点也在抛物线上，由抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为；（2）根据题意，大致画出抛物线图象．①当时，根据题意可计算、的取值范围，再结合抛物线图象判断，的大小即可；②分情况讨论，当、、三种情况下，区域和区域的位置及移动方向，确定满足条件的t的取值范围．【小问1详解】解：对于抛物线，令，可得，即该抛物线与y轴的交点为点（0，2），又∵点也在抛物线上，∴根据抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为；【小问2详解】根据题意，大致画出抛物线图象，如下图，①当时，根据题意可知，，，，即有，，由图象可知，；②若对于，，都有，可分情况讨论，如下图：当时，，，由图象对称性可知，成立；当时，区域向左移动，区域向右移动且都移动t个单位，由图象对称性可知，成立；当时，区域、区域相向移动，两区域相遇时，有，解得，在时，成立；相遇后，再继续运动，两区域分离时，有，解得；分离后，即时，随着t的增大，由图象对称性可知，成立；综上所述，满足条件的t的取值范围为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质及二次函数的综合应用，解题关键是根据题意画出图形，用数形结合和分情况讨论的数学思想分析问题．21.（2022北京石景山二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；（2）点在抛物线上，其中．①若的最小值是，求的最大值；②若对于，都有，直接写出t的取值范围．【答案】（1）（2）①时，的最大值为2；②或【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式即可求解；（2）①根据抛物线的性质，对称轴为，开口向上，则当时，有最小值，进而求得的值，结合函数图象，当时，的最大值为2．②根据抛物线开口向上，离对称轴越远的点的函数值越大，分情况讨论结合函数图象即可求解．【小问1详解】解：（1）∵，∴抛物线的顶点坐标为．【小问2详解】①∵，∴抛物线开口向上∴当时，y有最小值．∵，∴当时，有最小值．∴．∴．∴．∵，∴结合函数图象，当时，的最大值为2．②根据题意可得，抛物线的对称轴为，设到对称轴的距离为，，即即到对称轴距离最大为2，1）当点在的右侧，且，，到的距离为，抛物线开口向上，离对称轴越远则，函数值越大，解得2）当点在的左侧，且，同理可得，到的距离为解得综上所述：或．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．22.（2022北京平谷一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）把代入解析式，解答即可；（2）根据对称轴为直线计算即可；（3）把坐标代入解析式后，整理，最终转化为解不等式问题．【小问1详解】解：把代入解析式，，解得，抛物线的解析式为：．【小问2详解】解：二次函数的对称轴为直线：，【小问3详解】解：将A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2）代入得，，整理得：，，当y1•y2＜0时，则，，，令，解得：，根据高次不等式的求解法则，的解集为，或．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，对称轴的性质，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，对称轴的公式，灵活运用抛物线的性质，不等式的性质．23.（2020北京平谷二模）在平面直角坐标系xOy中，点、、是抛物线上三个点．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）当时，求b的值；（3）当时，求b的取值范围．【答案】（1）（0，1）；（2）-2；（3）-2＜b＜-1；【解析】【分析】（1）令x=0，代入抛物线求得y值即可解答；（2）利用抛物线的对称性求得对称轴，再计算求值即可；（3）根据，，将x的值代入抛物线解不等式，再求不等式的解的公共部分即可；【小问1详解】解：令x=0，得：y=0+0+1=1，∴抛物线与y轴的交点坐标（0，1）；【小问2详解】解：当时，由点，可得抛物线对称轴为x=1，∴，∴b=-2，【小问3详解】解：由可得：1+b+1＜1，b＜-1，由可得：1-b+1＞1，b＜1，由可得：9+3b+1＞1-b+1，b＞-2，∴当时，-2＜b＜-1；【点睛】本题考查了二次函数的综合，一元一次不等式的应用，掌握二次函数的性质是解题关键．24.（2022北京密云二模）已知二次函数的图象经过点．（1）用含a的代数式表示b；（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为，求二次函数的解析式；（3）当时，该函数图象上的任意两点、，若满足，，求的取值范围．【答案】（1）b=-a（2）y=-x2+x+2（3）x2<-2或x2>3【解析】【分析】（1）直接把(1,2)代入，求解即可；（2）用待定系数法求二次函数解析式即可；（3）根据二次函数的性质解答即可．【小问1详解】解：把(1,2)代入，得2=a+b+2，∴b=-a，【小问2详解】解：把(1,2)，(-1,0）分别代入，得，解得：，∴y=-x2+x+2；【小问3详解】解：由（1）知：b=-a，∴二次函数的对称轴为直线x=-=，又∵a<0，∴当x<时，y随x增大而增大，∵，，∴x2<x1，即x2<-2；∴当x>时，y随x增大而减小，∵，，又∵关于直线x=对称点从标为(3,y1),∴x2>3,综上，若满足，时，x2<-2或x2>3．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．25.（2022门头沟一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）；（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线的距离为1，直接写出的取值范围；（3）如果点，都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有，求的取值范围．【答案】（1）抛物线的顶点坐标（m，m-2）；（2）2＜m＜4；（3）a≥1．【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线上有且只有两个点到直线的距离为1，及抛物线开口向下可得顶点在直线y=0和直线y=2之间，进而求解．（3）由顶点在第四象限可得m的取值范围，由y1＜y2可得点B到对称轴距离大于点A到对称轴距离，进而求解．小问1详解】∵，∴抛物线的顶点坐标（m，m-2）；【小问2详解】∵抛物线开口向下，顶点坐标为（m，m-2），∴0＜m-2＜2，解得2＜m＜4；【小问3详解】∵抛物线顶点在第四象限，∴，解得0＜m＜2，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=m且y1＞y2，∴在对称轴右侧，∴a+2-m＞|a-m|，即a+2-m＞a-m或a+2-m＞m-a，解得a＞m-1，∵0＜m＜2，∴a≥1．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．26.（2022北京海淀一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；（2）一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．若，求m的取值范围．【答案】（1），（1，-1）；（2）【解析】【分析】（1）把点代入，即可求解；（2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解．【小问1详解】解：∵二次函数的图象经过点．∴，解得：a=1，∴该二次函数的解析式为，∵，∴图象顶点的坐标为（1，-1）；【小问2详解】解：∵一次函数的图象经过点A，∴，解得：b=5，∴一次函数的解析式为，∵点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．∴，，∵，∴，即，解得：．【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．27.（2022北京海淀二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m–2,y1），（m,y2），（2-m,y3）在抛物线y=x2－2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；（2）当m=0时，若y1=y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．【答案】（1）（2），理由见解析（3）a的取值范围是【解析】分析】（1）直接根据对称轴公式求即可；（2）当时，这三个点分别为（，），（0，），（2，），再结合y1=y3，即可求出函数解析式，判断即可；（3）将（m–2,y1），（m,y2），（2-m,y3）代入y=x2－2ax+1中，再解不等式即可；【小问1详解】解：；【小问2详解】当时，这三个点分别为（，），（0，），（2，），∵，∴（，）与（2，）关于对称轴对称，∴抛物线的对称轴为，即．∴函数解析式为∴（0，）为抛物线的顶点．∵抛物线的开口向上，∴当时，为函数的最小值．∴．【小问3详解】将，和分别代入，得：，，．则有：，，于是成立，即为和同时成立，也即为和同时成立．①当时，，故，不存在大于1的实数m；②当时，，要使，则，也不存在大于1的实数m；③当时，，不符合题意；④时，只需取满足的m即可满足前述两个不等式同时成立，即成立．综上所述，a的取值范围是．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉二次函数的性质是解题的关键，（3）需要注意分类讨论．28.（2022北京丰台一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；（2）已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围．【答案】（1）x=3（2）【解析】【分析】（1）根据函数值相同的两个点关于对称轴对称求解即可；（2）根据题意列出相应不等式，然后将不等式化简为对