08二次函数及其综合应用大题综合原卷版+解析

08二次函数及其综合应用1．（2023·江苏扬州·统考一模）我们把一次函数（为常数，）与二次函数（为常数，）称为一对“相伴函数”，比如：函数与就是一对“相伴函数”．如图，一次函数的图像与二次函数的图像相交于A，两点．(1)随着a的变化，他们的图像各自是一组直线与一组抛物线，一次函数的图像总过点（写坐标）；不等式的解集为；(2)若△OAB是直角三角形，求a的值．2．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，函数的图像经过点，．(1)求、满足的等量关系式；(2)设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，．当时，求该二次函数的解析式；(3)在（2）的条件下，当时，函数的最大值是______；最小值是______．设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值．3．（2023·江苏苏州·统考一模）苏州乐园森林世界位于美丽的大阳山东南角，包含25项森林主题演出与游乐项目，其中“冲上云霄”是其经典项目之一，其轨道总长约1040米，极限高度62.5米.如图所示，为“冲上云霄”过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线.其中米，米（轨道厚度忽略不计）．(1)求抛物线的函数关系式；(2)在轨道距离地面5米处有两个位置P和C，当过山车运动到C处时，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计）.已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长度；(3)现需要对轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架、、、，且要求．如何设计支架，才能用料最少？最少需要材料多少米？4．（2023·江苏扬州·校考一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格(元/千克)日销售量(千克)(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)农经公司每销售千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为元，求的值．(日获利等于日销售利润减日支出费用)5．（2023·江苏常州·校考二模）已知：如图，抛物线交x轴于E、F两点，交y轴于A点，直线：交x轴于E点，交y轴于A点．(1)求抛物线的解析式；(2)若Q为抛物线上一点，连接，设点Q的横坐标为，的面积为S，求S与t函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M在线段上，点N是位于Q、E两点之间的抛物线上一点，，，且，求点N的坐标．6．（2023·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求面积的最大值；(3)过点作，垂足为点，求线段长的取值范围；(4)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标．7．（2023·江苏宿迁·统考二模）“五一”前某商场购进甲种水果60箱，乙种水果40箱，全部售完后，共盈利1300元，甲种水果比乙种水果每箱多盈利5元．(1)求甲、乙两种水果每箱各盈利多少元？(2)甲、乙两种水果全部售完后，为迎接“五一”小长假，该商场又购进一批甲种水果，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？8．（2023·江苏无锡·校考一模）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折，且不高于标价．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的日销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．售价x（元/箱）…3638…销售量y（箱）…128124…(1)直接写出y与x的函数关系式：；(2)若某天该批发商销售这种蔬菜获利1920元，则当天这种蔬菜售价为多少元/箱？(3)批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少元/箱时，可使得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？9．（2023·江苏宿迁·统考二模）定义：若一个函数图象上存在到坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”．例如，点和是函数图象的“等距点”．(1)判断函数的图象是否存在“等距点”？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由；(2)设函数图象的“等距点”为A、B，函数图象的“等距点”为C，若的面积为时，求函数的表达式；(3)若函数图象恰存在2个“等距点”，试求出m的取值范围．10．（2023·江苏扬州·统考一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如右表：销售单价（元/件）607075每天销售量（件）240180150（注：利润率=利润/成本）(1)求y与x的函数关系式；(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价的增大而增大，请直接写出的取值范围是．11．（2023·江苏扬州·统考一模）科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x（分钟）满足，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）图像呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散(1)当x＝8时，注意力指数y为，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式是；(2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）(3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）（参考数据：12．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过点，与轴交于点、．(1)求该抛物线的解析式．(2)如图1，点在抛物线上，横坐标为．是抛物线上的动点，且在直线上方．若恒成立，求点的横坐标的取值范围．(3)如图2，连接，点为轴上一动点，将绕点逆时针旋转，得到，若的边与抛物线有交点，直接写出的取值范围．13．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，抛物线经过和，点是抛物线上的一个动点，且在直线的上方．(1)_________，_________；(2)若面积是面积的3倍，求点的横坐标；(3)若与相交于点，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．14．（2023·江苏扬州·校考二模）在平面直角坐标系中，函数图象上点坐标为，我们不妨约定：点纵坐标与其横坐标的差“”叫做点的“双减差”，而图象上所有点的“双减差”的最小值称为函数图象的“智慧数”，例如：抛物线上有一点，则点的“双减差”为6，当时，，该抛物线的“智慧数”为，据约定，解答下列问题：(1)求函数图象的“智慧数”；(2)若直线的“智慧数”为，求的值；(3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“智慧数”是，求抛物线的解析式15．（2023·江苏常州·统考一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C，顶点为D．抛物线对称轴与x轴交于点F，E是对称轴上的一个动点．(1)若，求的值；(2)若，求点E的坐标；(3)当取得最小值时，连接并延长交抛物线于点M，请直接写出的长度．16．（2023·江苏苏州·校联考一模）已知抛物线，抛物线的顶点的为．(1)若函数图像经过，对称轴是过且垂直于轴的直线，求的值和顶点坐标；(2)若，，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围；(3)若，直接写出抛物线的顶点与原点的距离的最小值．17．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，售价x（元/件）销售量（件）100①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．18．（2023·江苏无锡·校考二模）无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．(1)求水蜜桃每次降价的百分率．(2)①从第一次降价的第1天算起，第天（为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：时间天售价/（元/千克）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量/千克储存和损耗费用/元已知该种水果的进价为8.2元/千克，设销售该水果第（天）的利润为（元），求与之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于930元，请直接写出结果．19．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为点D．(1)求二次函数表达式和点D的坐标；(2)连接、，求外接圆的半径；(3)点P为x轴上的一个动点，连接，求的最小值；(4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为，动点M从点C出发，沿平行于x轴的直线a向右运动，连接，过点M作的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线b与直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程．20．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，已知二次函数的图像交轴于点、，交轴于点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点在轴上，过点作轴的垂线，分别交直线和抛物线于点、．①若点在线段上，求的最大值；②以为斜边作等腰直角，当点落在抛物线上时，求此时点的坐标．21．（2023·江苏盐城·校考二模）已知：抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图（1），点P是第一象限内抛物线上的点，连接，交直线于点D．设点P的横坐标为m，，求y与m之间的函数表达式；(3)如图（2），点Q是抛物线对称轴上的点，连接、，点M是外接圆的圆心，当的值最大时，求点M的坐标．22．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，，点的坐标是，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为，且．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点是直线上的一个动点，且位于轴的上方，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；(3)设抛物线在点与点之间的部分（含点和）最高点与最低点的纵坐标之差为．①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；②当时，直接写出的面积．23．（2023·江苏苏州·校考一模）如图1，抛物线经过点，对称轴为直线与x轴的交于点B．(1)求抛物线L的解析式；(2)点C在抛物线上，若的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；(3)如图2，将抛物线L向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N．P为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点P恰有2个，求k的值．24．（2023·江苏常州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A和点，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且，点M在y轴正半轴，，线段是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．25．（2023·江苏苏州·统考一模）如图1，抛物线经过，且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接，直线l过点B、C．(1)填空：；直线l的函数表达式为：．(2)已知直线平行于y轴，交抛物线及x轴于点P、G．当时（如图2），直线与线段分别相交于E、F两点，试证明线段总能组成等腰三角形．(3)在（2）的条件下，如果此等腰三角形的顶角是的2倍，请求出此时t的值．26．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）定义：对于某个函数y，若存在实数m，当其自变量时，其函数值，则称m为这个函数的三中值．在函数存在三中值时，该函数的最大三中值与最小三中值之差称为这个函数的三中横距．特别地当函数只有一个三中值时，其三中横距记为0．如下图中的函数有两个三中值0和1，那么它的三中横距等于1．(1)分别判断函数，是否有三中值？若有，直接写出三中横距；(2)函数．①若其三中横距为0，求b的值；②若，求其三中横距n的取值范围；(3)记函数（）的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为，由和两部分组成的图象所对应的函数记为，若函数的三中横距满足，求的取值范围．27．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线上，若的内心恰好在轴上，求出点的坐标；(3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第四象限和第二象限，连接，分别交轴、轴于点、，若，求证：直线经过一定点．28．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．(1)求点、、的坐标（用数字或含的式子表示）；(2)当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；(3)当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标．29．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，已知抛物线经过点，，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点为该抛物线上一动点．①当点在直线下方时，过点作轴，交直线于点，作轴．交直线于点，求的最大值；②若，求点的横坐标．30．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，与y轴交于点C，连接、．(1)求二次函数的函数表达式；(2)设二次函数的图像的顶点为D，求直线的函数表达式以及的值；(3)若点M在线段上（不与A、B重合），点N在线段上（不与B、C重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．08二次函数及其综合应用1．（2023·江苏扬州·统考一模）我们把一次函数（为常数，）与二次函数（为常数，）称为一对“相伴函数”，比如：函数与就是一对“相伴函数”．如图，一次函数的图像与二次函数的图像相交于A，两点．(1)随着a的变化，他们的图像各自是一组直线与一组抛物线，一次函数的图像总过点（写坐标）；不等式的解集为；(2)若△OAB是直角三角形，求a的值．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）将一次函数整理即可确定其总经过的点，将不等式整理，然后利用一元二次方程的解得出两个函数交点的横坐标，结合图象即可得出结果；（2）根据题意确定，，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）解：，当时，，∴一次函数的图像总过点；∵，∴整理为：，当时，解得：，由函数图象得：不等式的解集为；故答案为：，；（2）由题意得，解之得，，∴，，如图，过点A作轴，垂足为M，过点B作轴，垂足为N，当时，∵轴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，，，，∴，∴，又∵，∴，当，如图，过点A作轴，垂足为M，过点B作轴，垂足为N，同理可求，当时，如上图，在锐角的内部，所以这种情况不可能；综上可得：或．【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，包括一次函数的基本性质，利用图象求不等式的解集，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．2．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，函数的图像经过点，．(1)求、满足的等量关系式；(2)设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，．当时，求该二次函数的解析式；(3)在（2）的条件下，当时，函数的最大值是______；最小值是______．设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)4；0；或【分析】（1）将，代入，即可求解；（2）由推出，过点作轴交轴于点，可得，根据相似三角形的性质得，求得，即，根据（1）的关系式即可求得、，进而求得抛物线的解析式；（3）根据抛物线的解析式化为顶点式即可确定顶点坐标，对称轴为直线，根据抛物线的增减性可知时，函数有最小值；分五种情况：①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，②当时，③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，④当时，⑤当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧．【详解】（1）解：把，代入，得，；（2）解：，，，，，，过点作轴交轴于点，，，，，，，，，即，又，可得，，抛物线；（3）解：抛物线，；抛物线对称轴为直线，，当时，；①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，当时取得最小值，最大值，令，即，解得；②当时，此时，，不合题意，舍去；.③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时，令，即，解得：（舍），（舍）；或者，即（不合题意，舍去）；④当时，此时，，不合题意，舍去；⑤当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧，当时，取得最大值，最小值，令，解得；综上，或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象及其性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，最值问题，注意运用分类讨论的思想解决问题．3．（2023·江苏苏州·统考一模）苏州乐园森林世界位于美丽的大阳山东南角，包含25项森林主题演出与游乐项目，其中“冲上云霄”是其经典项目之一，其轨道总长约1040米，极限高度62.5米.如图所示，为“冲上云霄”过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线.其中米，米（轨道厚度忽略不计）．(1)求抛物线的函数关系式；(2)在轨道距离地面5米处有两个位置P和C，当过山车运动到C处时，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计）.已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长度；(3)现需要对轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架、、、，且要求．如何设计支架，才能用料最少？最少需要材料多少米？【答案】(1)；(2)；(3)当时用料最少，最少需要材料米．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出，坐标，再求出长度，通过抛物线的形状与抛物线完全相同，平移长度为，可得抛物线解析式，可得结论；（3）先设出，横坐标，再代入解析式，分别求出，的纵坐标，然后求出、、、之和的最小值，从而求出最少所需材料．【详解】（1）解：由图象可设抛物线解析式为：，把代入，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为：；（2）当时，，解得：，，∴，，∴，∵抛物线的形状与抛物线完全相同，∴抛物线由抛物线右平移个单位，∴抛物线为：，当时，∴；（3）设，，，，，∴，∵，∴开口向上，∴当时，最短，最短为米，即：当时用料最少，最少需要材料米．【点睛】本题考查二次函数的应用以及平移的性质，关键用抛物线的性质解决实际问题．4．（2023·江苏扬州·校考一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格(元/千克)日销售量(千克)(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出n与x的函数表达式为；(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)农经公司每销售千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为元，求的值．(日获利等于日销售利润减日支出费用)【答案】(1)(2)这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大(3)的值为【分析】（1）根据表格数据可知售价每增加5元，销售量下降150千克，符合一次函数，根据待定系数法求解析式即可求解；（2）根据利润等于售价减去成本再乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解；（3）设日获利为元，根据题意得出，得出对称轴为a，然后根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：依题意，设与之间的函数表达式为，将代入得，解得：∴；（2）解：设日销售利润为元，由题意得：，，抛物线开口向下，当时，有最大值．这批农产品的销售价格定为元千克，才能使日销售利润最大；（3）设日获利为元，由题意得：，对称轴为a．①若，则当时，有最大值，最大值为：，不符合题意，舍去；②若，则当时，有最大值，将代入，得：当时，，解得，(舍)，综上所述，的值为．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2023·江苏常州·校考二模）已知：如图，抛物线交x轴于E、F两点，交y轴于A点，直线：交x轴于E点，交y轴于A点．(1)求抛物线的解析式；(2)若Q为抛物线上一点，连接，设点Q的横坐标为，的面积为S，求S与t函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）(3)在（2）的条件下，点M在线段上，点N是位于Q、E两点之间的抛物线上一点，，，且，求点N的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出一次函数解析式，再将代入二次函数解析式求解即可；（2）利用梯形面积减去两个直角三角形的面积即可求解；（3）先求出直线的解析式，分别过点Q，点N作x轴的垂线，分别过与点A，点M作的x轴的平行线分别交于点K，点H，过点M作x轴的垂线，垂足为G，通过证明，根据全等三角形的性质可得，设，建立方程求解即可．【详解】（1）当时，，∴，将代入中，得，∴，∵，将代入得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）令，解得或，∴，∴，过点Q作于B，如图，∴，∴，∵，∴，∴，即；（3）当时，解得（正值舍去），当时，，∴，设直线的解析式为：，∴，解得，∴直线的解析式为：，如图，分别过点Q，点N作x轴的垂线，分别过与点A，点M作的x轴的平行线分别交于点K，点H，过点M作x轴的垂线，垂足为G，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，∴，，∴，∴（负值舍去），∴∴．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，二次函数与几何综合等，熟练掌握知识点是解题的关键．6．（2023·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求面积的最大值；(3)过点作，垂足为点，求线段长的取值范围；(4)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标．【答案】(1)(2)面积的最大值为(3)(4)【分析】（1）设，将点，代入，待定系数法求解析式即可求解；（2）直线的解析式为，设点，则点，得出，进而根据三角形的面积公式，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解；（3）同（2）得出，证明，得出，根据二次函数的性质即可求解；（4）设，，表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）抛物线与轴交于点，，，，设，将点，代入，得：，解得：，；该抛物线的函数表达式为；（2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，设直线的解析式为，，，，，解得：，直线的解析式为，设点，则点，∴，当时，面积的最大值为；（3）如图，过点作轴于点，交于点，设直线的解析式为，，，，，解得：，直线的解析式为，设点，则点，在中，，，轴，，，，又，，，即，，当时，取得最大值为，；（4）设，，，四边形是菱形，，，解得：，【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（2023·江苏宿迁·统考二模）“五一”前某商场购进甲种水果60箱，乙种水果40箱，全部售完后，共盈利1300元，甲种水果比乙种水果每箱多盈利5元．(1)求甲、乙两种水果每箱各盈利多少元？(2)甲、乙两种水果全部售完后，为迎接“五一”小长假，该商场又购进一批甲种水果，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元(2)5元；2000元【分析】（1）设乙种水果每箱可盈利x元，则甲种水果每箱可盈利元，根据题意列出一元一次方程求解即可；（2）设甲种水果降价a元，则每天可多卖出箱，利润为w元，根据题意表示出，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）设乙种水果每箱可盈利x元，则甲种水果每箱可盈利元，根据题意，得：解得：，∴答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元．（2）设甲种水果降价a元，则每天可多卖出箱，利润为w元，由题意得：，当时，函数有最大值，最大值是2000元．答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．8．（2023·江苏无锡·校考一模）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折，且不高于标价．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的日销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．售价x（元/箱）…3638…销售量y（箱）…128124…(1)直接写出y与x的函数关系式：；(2)若某天该批发商销售这种蔬菜获利1920元，则当天这种蔬菜售价为多少元/箱？(3)批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少元/箱时，可使得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？【答案】(1)(2)当获利为1920元时，当天这种蔬菜的售价为40元/箱(3)售价为45元/箱，可获得最大日利润为1650元【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x的函数关系式，；（2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以列出关于x的方程，从而可以解答本题，注意x的取值范围；（3）根据题意可以得到利润关于x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）设y与x之间的函数关系为，将，和，代入表达式，得，解得．∴故答案为：（2）依题意可得整理方程，得解得，∵这种蔬菜售价不低于，且不高于标价，∴所以84不满足题设要求∴满足题设答：所以当获利为1920元时，当天这种蔬菜的售价为40元/箱．（3）设日获得利润为W元，∵∴抛物线开口向下．∴当时，W的值随x值的增大而增大∵这种蔬菜售价不低于，且不高于标价,即∴当时，（元）答：这种蔬菜的售价为45元/箱，可获得最大日利润为1650元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9．（2023·江苏宿迁·统考二模）定义：若一个函数图象上存在到坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”．例如，点和是函数图象的“等距点”．(1)判断函数的图象是否存在“等距点”？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由；(2)设函数图象的“等距点”为A、B，函数图象的“等距点”为C，若的面积为时，求函数的表达式；(3)若函数图象恰存在2个“等距点”，试求出m的取值范围．【答案】(1)存在，或或(2)或(3)或【分析】（1）根据题中“等距点”的定义列出方程求解即可；（2）先求出反比例函数及一次函数图象上的“等距点”，然后由三角形面积列出方程求解即可；（3）根据“等距点”列出一元二次方程，再由题意中恰好有2个“等距点”，利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】（1）解：存在“等距点”令，解得，∴函数的图象上有两个“等距点”或令，解得，∴函数的图象上有两个“等距点”或．综上所述，函数的图象上有三个“等距点”或或（2）令，解得，则，∴令，解得，则，∴，∵，∴即，解得，∴或，（3）令，整理得，．当或时，此时在一、三象限有2个“等距点”．令，整理得，当或时，此时在二四象限有2个“等距点”．∵函数图象恰存在个“等距点”∴或．【点睛】题目主要考查新定义题型的理解，包括一次函数，二次函数及反比例函数，理解题意是解题关键．10．（2023·江苏扬州·统考一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如右表：销售单价（元/件）607075每天销售量（件）240180150（注：利润率=利润/成本）(1)求y与x的函数关系式；(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价的增大而增大，请直接写出的取值范围是．【答案】(1)(2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元(3)【分析】（1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求函数解析式即可；（2）设每天获得的利润为w元，根据总利润=单价利润×销售量列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）设表示扣除捐款后的日利润，根据题意，列出函数解析式，利用在范围内，随x的增大而增大，进而求解即可．【详解】（1）解：设，由题意得：当时，，当时，，∴，解之得，∴；（2）解：设每天利润为w元，由题意得，又∵，∴，∴∵，∴当时，，答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元；（3）解：设表示扣除捐款后的日利润，，∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线，∴，解得，∵，∴．【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用及二次函数的最值问题，正确列出解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．11．（2023·江苏扬州·统考一模）科学研究表明：一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间x（分钟）满足，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）图像呈抛物线形，到第16分钟时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散(1)当x＝8时，注意力指数y为，8分钟以后，学生的注意力指数y与时间x（分钟）的函数关系式是；(2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）(3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）（参考数据：【答案】(1)84，(2)20分钟(3)第4分钟【分析】（1）根据题意把8代入题目求解即可，再根据顶点式写出抛物线表达式，再代入即可得到解析式；（2）根据对两个函数列出不等式，求解即可；（3）设出未知数，根据条件列出方程，解方程即可．【详解】（1）根据题意，把代入可得：，由题意可知，抛物线的顶点坐标为∴可设抛物线的解析式为：，把代入可得：，解得：，∴，故答案为：84，；（2）由学生的注意力指数不低于80，即，当时，由可得：；当时，则，即，整理得：，解得：，∴（分钟），答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟；（3）设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题，由于，要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，则当和当时对应的函数值相同，即，整理得：解得：（舍）∴答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大．【点睛】本题考查是二次函数的应用，解题关键是利用顶点式求出解析式，利用条件列出不等式，求出根据和当时对应的函数值相同求出t的值．12．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过点，与轴交于点、．(1)求该抛物线的解析式．(2)如图1，点在抛物线上，横坐标为．是抛物线上的动点，且在直线上方．若恒成立，求点的横坐标的取值范围．(3)如图2，连接，点为轴上一动点，将绕点逆时针旋转，得到，若的边与抛物线有交点，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)点的横坐标的取值范围为或(3)或时，的边与抛物线有交点，【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可求解；（2）过点作的平行线，根据的坐标得出，结合题意，求得与抛物线的另一个交点，结合图形即可求解；（3）根据题意得出在直线上运动，分别求得对应顶点落在抛物线上时的的值，结合函数图象即可求解．【详解】（1）解：由，当时，得，当时，，∴，，代入，得，，解得：，解得：，（2）解：如图所示，过点作的平行线，∵点的横坐标为，当时，则∵，，∴设直线的解析式为，将点代入得，则，解得∵,∴∴，设过点的直线的解析式为，将点代入，得,解得：，∴线的解析式为联立解得：或则直线与抛物线的另一个交点为，依题意，恒成立，∴点的横坐标的取值范围为或．（3）解：如图所示，∵，则是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，∵点为轴上一动点，将绕点逆时针旋转，得到，∴根据图象可知，在直线上运动，∴当与点重合时，的顶点与抛物线有交点，此时，即，当与点重合时，此时∴时，的边与抛物线有交点，同理，当与点重合时，此时当在抛物线上，此时代入抛物线解析式即：解得：或（舍去）∴当时，的边与抛物线有交点，综上所述，或时，的边与抛物线有交点，【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，旋转的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，抛物线经过和，点是抛物线上的一个动点，且在直线的上方．(1)_________，_________；(2)若面积是面积的3倍，求点的横坐标；(3)若与相交于点，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)；(3)存在，最大值为．【分析】（1）根据待定系数法可进行求解；（2）过点作轴，交于点，易求直线的函数关系式为，设，则点，然后可得，进而问题可求解；（3）延长交轴于点，则有点，，然后可得，进而可得，最后问题可求解．【详解】（1）解：由题意得：，解得：；故答案为，；（2）解：过点作轴，交于点；如图所示，设直线的函数关系式为将，代入得：，解得：，直线的函数关系式为，点是抛物线上的一个动点，设，则点，∴，，，，，，；即：点的横坐标为；（3）解：存在最大值，理由如下：延长交轴于点，如图所示：由题意可知：直线的函数关系式为，点，，轴，，，，即：，，，，当时，有最大值，最大值为．【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数与几何的综合及相似三角形的性质与判定是解题的关键．14．（2023·江苏扬州·校考二模）在平面直角坐标系中，函数图象上点坐标为，我们不妨约定：点纵坐标与其横坐标的差“”叫做点的“双减差”，而图象上所有点的“双减差”的最小值称为函数图象的“智慧数”，例如：抛物线上有一点，则点的“双减差”为6，当时，，该抛物线的“智慧数”为，据约定，解答下列问题：(1)求函数图象的“智慧数”；(2)若直线的“智慧数”为，求的值；(3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“智慧数”是，求抛物线的解析式【答案】(1)3；(2)；(3)或．【分析】（1）将函数变形为，当时，随x的增大而减小，从而得到的最小值为3，故“智慧数”为3；（2）将函数变形为，令，则，由于，根据函数的增减性可得时，W取最小值，从而得到，求得或2，又，得到；（3）由题意得抛物线顶点的坐标为，从而抛物线为，令，则对称轴是直线x=，由于时，抛物线的“智慧数”是，所以分三种情况讨论：①若的区间在对称轴的左边，即时，解得，不合题意舍去；②若的区间在对称轴的右边，即，解得，此时，w取最小值，求解或4，再由，得到，从而得出抛物线解析式；③若对称轴在的区间内，则当x=，w取最小值，求得，从而得出抛物线解析式．【详解】（1）解：由得∵当时，随x的增大而减小时，取最小值3，即函数图象的“智慧数”是3；（2）由可得令，则∴W随x的增大而增大，∵，时，W取最小值，或2，（3）∵抛物线顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线上，顶点坐标为∴抛物线为，令，对称轴是直线x=，∵，∴，①当时，即，不合题意舍去；②当，即，此时当，w取最小值，或4，∵，，∴.③当，即，此时当x=，w取最小值，，∴．【点睛】本题考查阅读材料解决问题，涉及一次函数、反比例函数以及二次函数函数性质以及增减性，正确理解题意，分类讨论是解题的关键．15．（2023·江苏常州·统考一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C，顶点为D．抛物线对称轴与x轴交于点F，E是对称轴上的一个动点．(1)若，求的值；(2)若，求点E的坐标；(3)当取得最小值时，连接并延长交抛物线于点M，请直接写出的长度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先分别求出，，根据勾股定理得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，即可求解；（2）找出的外心P，计算，得出点D、C、F、B四点共圆，要使，且点E在直线上，则点F为直线于的交点，即当点E和点F重合，即可得出结论；（3）过点E作于点H，得出，当点H，E，A三点共线时，，此时取得最小值，证明，得出则，求出，再得出所在直线的表达式为，即可得出，根据两点之间的距离公式即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，则，把代入得：，解得：，∴，则，在中，根据勾股定理可得，当时，，∴．（2）解：把代入得：，∴，令中点为P，∵，∴，∵是直角三角形，∴的外心为中点P，∴的外接圆半径，∵，，∴，∴点D、C、F、B四点共圆，∵，点E在直线上，∴点F为直线与的交点，即当点E和点F重合，∵，∴，∴．（3）解：过点E作于点H，∵，∴，则，∴，如图：当点H，E，A三点共线时，，此时取得最小值，∵，，，∴，∵，，∴，∴，则∴，即，解得：，∴，设所在直线的表达式为，把，代入得：，解得：，∴所在直线的表达式为，联立得：，解得：，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，平行线的性质，解直角三角形的方法和步骤，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，以及掌握“胡不归”问题的解题方法．16．（2023·江苏苏州·校联考一模）已知抛物线，抛物线的顶点的为．(1)若函数图像经过，对称轴是过且垂直于轴的直线，求的值和顶点坐标；(2)若，，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围；(3)若，直接写出抛物线的顶点与原点的距离的最小值．【答案】(1)，顶点坐标为(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法即可求得a、b,从而求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）由抛物线的顶点的为，即可得到，，从而得到，，由得出，利用二次函数的性质和二次函数的最值即可求得n的取值范围;（3）由抛物线的顶点为，即可得到，，即，利用勾股定理得到，则的最小值为，从而求得顶点P与原点O的距离的最小值．【详解】（1）∵函数图象经过，对称轴是过且垂直于x轴的直线，∴，解得，抛物线为，∴顶点坐标为；（2）∵，∴抛物线为，∵抛物线的顶点的为，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴当时，；当时，，∴n的取值范围是；（3）∵，∴抛物线为∴，∴，∴∴，∴的最小值为，∴顶点P与原点O的距离的最小值为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．17．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，售价x（元/件）销售量（件）100①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元(2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；（2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值．【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，由题意，得：，解得：，经检验：是原方程的解；当时：；∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元；（2）解：①设利润为，由表格，得：当时，，∵，∴随着的增大而增大，∴当售价为元时，利润最大为：元；当，，∵，∴当时，利润最大为元；综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元．②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，∴A型纪念品的件数小于100件，∴，此时该商场购进型纪念品为件，∴购进型纪念品为件，∵A型纪念品的件数不小于50件，∴，∴，设总利润为y元，根据题意得：，∴，∴当时，y随x的增大而增大，∵，∴，∴当时，y有最大值，∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，∴，解得：．【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键．18．（2023·江苏无锡·校考二模）无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．(1)求水蜜桃每次降价的百分率．(2)①从第一次降价的第1天算起，第天（为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：时间天售价/（元/千克）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量/千克储存和损耗费用/元已知该种水果的进价为8.2元/千克，设销售该水果第（天）的利润为（元），求与之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于930元，请直接写出结果．【答案】(1)(2)①；第10天利润最大，最大利润为960元；②共6天【分析】（1）设水蜜桃每次降价的百分率为，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值即得出答案；（2）①根据利润=（标价-进价）×销量-储存和损耗费，即可得（元），进而可求出与之间的函数解析式，再结合一次函数和二次函数的性质求出其最值即可；②依题意可列出关于x的不等式，结合解一元一次不等式的方法和图象法解一元二次不等式，分别求出x的解集，即可得出答案．【详解】（1）解：设水蜜桃每次降价的百分率为，依题意得，，解得：（舍）．∴水蜜桃每次降价的百分率为；（2）解：①结合（1）得：第一次降价后的价格为元，∴当时，．∵，∴随着的增大而减小，∴当元时，利润最大为元；当，，∵，∴当时，利润最大为960元．∵，∴第10天利润最大，最大利润为960元．综上可知，；第10天利润最大，最大利润为960元；②当时，，解得：，∴此时为2天利润不低于930元；当时，，根据图象法可解得：，∴∴此时为天利润不低于930元．综上可知共有天利润不低于930元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解题关键．19．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为点D．(1)求二次函数表达式和点D的坐标；(2)连接、，求外接圆的半径；(3)点P为x轴上的一个动点，连接，求的最小值；(4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为，动点M从点C出发，沿平行于x轴的直线a向右运动，连接，过点M作的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线b与直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程．【答案】(1)，(2)(3)(4)【分析】（1）把和点代入求出b和c的值，即可得出函数表达式，将其化为顶点式，即可求出点D的坐标；（2）先求出点C的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出，根据勾股定理逆定理，得出，最后根据直角三角形的外心与斜边中点重合，即可求解；（3）过点P作于点M，作关于x轴的对称线段，则，点M关于x轴的对称点在，，通过证明，得出，则当点三点共线时，取最小值，即为的长度，用等面积法求出的长度即可；（4）连接，先求出点，根据，，可设，，再根据两点之间的距离公式得出，，，，然后根据勾股定理可得：，即可得出n关于m的表达式，将其化为顶点式后可得当时，n随m的增大而减小，当时，n随m的增大而增大，再求出当时，点N经过的路程为，以及当时，点N经过的路程为，即可求解．【详解】（1）解：把和点代入得：，解得：，∴该二次函数的表达式为：，∵，∴点D的坐标为；（2）解：把代入得，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴外接圆半径；（3）解：过点P作于点M，作关于x轴的对称线段，则，点M关于x轴的对称点在上，，，，

，，当点三点共线且时，取最小值，即为的长度，，，即的最小值为．（4）解：连接，把代入得，解得：，

∴，∵，，∴设，，∴，，，，根据勾股定理可得：，∴，整理得：，∴，∴当时，n随m的增大而减小，当时，n随m的增大而增大，∵动点M从点C出发，直线b与直线a重合时运动停止，，∴，∵当时，，当时，，当时，，∴当时，点N经过的路程为：，当时，点N经过的路程为：，∴点N经过的总路程为：．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式，直角三角形外接圆圆心为斜边中点，胡不归问题的解决方法，以及勾股定理和二次函数图象上点的坐标特征和勾股定理．20．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，已知二次函数的图像交轴于点、，交轴于点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点在轴上，过点作轴的垂线，分别交直线和抛物线于点、．①若点在线段上，求的最大值；②以为斜边作等腰直角，当点落在抛物线上时，求此时点的坐标．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）将，代入求解即可得出函数表达式；（2）①先求出，再求出直线的表达式，设的坐标为，则、，根据题意列出二次函数求解即可；②分两种情况：若点在的右侧；若点在的左侧；分别求解即可．【详解】（1）将，代入中，得，解得，∴二次函数的表达式为；（2）①令代入，得，∴，设直线的函数表达式为，将，代入并求得，∴直线的函数表达式为，设的坐标为，则、，∴，∴当时，最大值为；②若点在的右侧，设，，则由等腰直角三角形的性质得：，，则，把点坐标代入中，得，解得，（舍去），故；若点在的左侧，设，同理得：，把点坐标代入中，得，解得，（舍去），故；综上，点的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，熟练掌握待定系数法求二次函数，一次函数的求法，二次函数的图像与性质，会根据等腰直角三角形的性质确定出点的横、纵坐标是解答本题的关键与难点．21．（2023·江苏盐城·校考二模）已知：抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图（1），点P是第一象限内抛物线上的点，连接，交直线于点D．设点P的横坐标为m，，求y与m之间的函数表达式；(3)如图（2），点Q是抛物线对称轴上的点，连接、，点M是外接圆的圆心，当的值最大时，求点M的坐标．【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或【分析】（1）将，两点的坐标代入抛物线解析式求解可得；（2）由题意可得直线的解析式为，过点作轴的平行线交于点，可得，根据对应边成比例得，由，，得，结合可得y与m之间的函数表达式为：；（3由题意知点在的垂直平分线上，设的垂直平分线与交于点，连接、、，由，，可知，可知当取最小值时，最大，即：此时与对称轴相切，，利用勾股定理求得的长度，据此进一步求解即可．【详解】（1）解：将，代入，得：，解得：∴抛物线解析式为；（2）当时，，则，设直线的解析式为，将，，代入，得：，解得：，∴直线的解析式为，过点作轴的平行线交于点，则，∴∵，，∴，∵点P的横坐标为m，∴，则，∴，则又∵点P是第一象限内抛物线上的点，∴，则y与m之间的函数表达式为：；（3）∵，∴对称轴为直线，∵点是外接圆的圆心，∴点在的垂直平分线上，设的垂直平分线与交于点，连接、、，则，则，，∴，又∵，∴当取最小值时，最大，即：此时与对称轴相切，，则，∴点，由对称性，当点在轴上方时，即也符合题意，综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质、三角形的外心、圆的有关性质等知识点．22．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，，点的坐标是，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为，且．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点是直线上的一个动点，且位于轴的上方，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；(3)设抛物线在点与点之间的部分（含点和）最高点与最低点的纵坐标之差为．①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；②当时，直接写出的面积．【答案】(1)；(2)；(3)①当时，；当时，；当时，；②15．【分析】（1）将代入，即可求解；（2）分别求出，，，则，，再矩形的周长，即可求解；（3）①分三种情况：当时，；当时，；当时，；②由已知求出，过点作轴交直线与点，再求直线的解析式为，则，可求，由即可求解．【详解】（1）解：将代入，，，；（2）解：令，则，，设直线的解析式为，，，，由题可知，，∵轴，点在直线上，，，对称轴为直线，，、关于对称轴对称，，，，矩形的周长，，当时，矩形的周长有最小值；（3）解：①当时，；当时，；当时，；②当时，，解得或（舍，，过点作轴交直线与点，令，则，解得或，，设直线的解析式为，，，，，，．．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，灵活运用割补法求三角形面积是解题的关键．23．（2023·江苏苏州·校考一模）如图1，抛物线经过点，对称轴为直线与x轴的交于点B．(1)求抛物线L的解析式；(2)点C在抛物线上，若的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；(3)如图2，将抛物线L向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N．P为线段上一点．若与相似，并且符合条件的点P恰有2个，求k的值．【答案】(1)(2)(3)当与相似，并且符合条件的点P恰有2个，则或2【分析】（1）根据对称轴为直线且抛物线过点求解可得；（2）由题意易得x轴平分，即，且点C在y轴的左侧，过点C作轴于点D，设，然后可得，进而问题可求解；（3）设抛物线的解析式为，知、、，再设，分和两种情况，由对应边成比例得出关于与的方程，利用符合条件的点恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【详解】（1）解：由题意知，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：由题意得：x轴平分，即，∵的内心恰好在x轴上，∴的三个内角的角平分线交点在x轴上，由此可知点C在y轴的左侧，过点C作轴于点D，如图所示：由题意知：，，∴，∴，设，则有，，∴，解得：（不符合题意，舍去），∴点；（3）解：如图2，设抛物线的解析式为，、、，设，①当时，，，①；②当时，，，②；（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，，解得：（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根，方程②有一个实数根，，（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：，解得：（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根、，方程②有一个实数根，，综上，当与相似，并且符合条件的点P恰有2个，则或2．【点睛】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角形的内心，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角形的内心是解题的关键．24．（2023·江苏常州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A和点，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且，点M在y轴正半轴，，线段是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)存在，18．【分析】(1)将点代入解析式计算即可．(2)分点P在x轴的上方和下方两种情况计算即可．(3)作线段的垂直平分线交x轴于点R，过点C作轴，交于点G，从而得到点Q在以垂直平分线上G点为圆心，且半径为5的圆上的第四象限部分的弧上运动，当M，G，Q三点一线时，取得最大值．【详解】（1）解：将点代入，∴，∴，∴．（2）令，则，∴，令，则，∴或，∴，∵，∴，如图1，当P点在x轴上方时，设与x轴的交点为点G，∵，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，设直线的解析式为，，∴，∴，联立方程组，∴（舍）或，∴；如图2，当P点在x轴下方时，∵，，∴，，∴，解得（舍去），∴；综上所述：P点坐标为或．（3）线段存在最大值，且为18．理由如下：作线段的垂直平分线交x轴于点R，过点C作轴，交于点G，则四边形是矩形，∴，∵，

∴，连接，则，以G点为圆心，半径为5的作，点，当点Q位于上时，作直径，连接，，，则，∵，，∴，∴，∴点G位于的第四象限部分的弧上运动，故当M，G，Q三点一线时，取得最大值．∵，∴，∴，，∴，，∴．【点睛】本题考查了二次函数的解析式确定，正切函数，余弦函数，勾股定理，圆的性质，熟练掌握待定系数法，三角函数，圆的性质是解题的关键．25．（2023·江苏苏州·统考一模）如图1，抛物线经过，且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接，直线l过点B、C．(1)填空：；直线l的函数表达式为：．(2)已知直线平行于y轴，交抛物线及x轴于点P、G．当时（如图2），直线与线段分别相交于E、F两点，试证明线段总能组成等腰三角形．(3)在（2）的条件下，如果此等腰三角形的顶角是的2倍，请求出此时t的值．【答案】(1)，(2)见解析(3)【分析】（1）先将点代入求得a的值，进而求得点C的坐标以及对称轴，再确定点B的坐标，然后运用待定系数法即可求得直线l的解析式；（2）先用待定系数法求得直线的解析式为，则点、点、点，进而得到、，然后再根据三角形三边关系列不等式即可证明；（3）由、C可得、；如图线段组成等腰三角形,与（2）中的相等，H为边上的高，再结合（2）可得；由等腰三角形的顶角是的2倍，即可得，然后再根据正弦的定义方程求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，∴，解得：；∴抛物线解析式为：，令，得：，即点C的坐标为；∵点，对称轴为直线，∴，∴点B的坐标为，设直线的解析式为：,∴，解得：，∴直线的解析式为：，即直线l的解析式为．故答案为，．（2）解：设直线的解析式为,∴，解得：，∴直线的解析式为：；∴点，点，点，∴，∴．，∴，∴当时，线段总能组成等腰三角形．（3）解：∵，C∴∴如图：线段组成等腰三角形,与（2）中的相等，H为边上的高由（2）可得：，∴∵等腰三角形的顶角是的2倍∴∴，∴,即，解得：．【点睛】本题主要考查了正弦函数、求二次函数解析式、二次函数的性质、用待定系数法求一次函数解析、等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，正确求得各函数的解析式是解答本题的关键．26．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）定义：对于某个函数y，若存在实数m，当其自变量时，其函数值，则称m为这个函数的三中值．在函数存在三中值时，该函数的最大三中值与最小三中值之差称为这个函数的三中横距．特别地当函数只有一个三中值时，其三中横距记为0．如下图中的函数有两个三中值0和1，那么它的三中横距等于1．(1)分别判断函数，是否有三中值？若有，直接写出三中横距；(2)函数．①若其三中横距为0，求b的值；②若，求其三中横距n的取值范围；(3)记函数（）的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为，由和两部分组成的图象所对应的函数记为，若函数的三中横距满足，求的取值范围．【答案】(1)没有，有，三中横距为3(2)①；②(3)或【分析】（1）根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有三中值，有三中值的可以求出相应的三中横距即可；（2）①根据题意可以求得相应的b的值即可；②根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；（3）首先根据题意可求得的解析式为，当时，得，解得，，得，，可得，再画出图象，分类讨论即可求得答案．【详解】（1）解：当时，该方程无解，故没有三中值；当时，解得或，故有三中值，三中值为0与3，故它的三中横距为3；（2）解：①令，解得或，其三中横距为0，，解得；②令，解得或，，，；（3）解：函数（）的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为，的顶点坐标为，的解析式为：，整理得：，当时，得，解得，，得，得，，如图：当，即时，，，，当，即时，，，①如图：当时，，，，此时，，不符合题意，舍去；②如图：当时，与都舍去，，，故此时不符合题意；③如图：当，与都舍去，，，故此时符合题意；④如图：当时，与图象G无交点，图象G无三中值，故此种情况不符合题意；综上，的取值范围为或．【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．27．（2023·江苏扬州·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线上，若的内心恰好在轴上，求出点的坐标；(3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第四象限和第二象限，连接，分别交轴、轴于点、，若，求证：直线经过一定点．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）把点A，B的坐标分别代入抛物线的解析式，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先作出点A关于y轴的对称点，然后连接并延长交抛物线于点P，根据对称性可知P为所求的点，内心在三角形三个内角的角平分线上，所以可考虑作点A关于y轴的对称点，再求得直线的解析式，联立成方程组，解方程组即可求解；（3）过点M作于点Q，过点N作轴，首先根据平移的性质，可求得抛物线的解析式为：，设点M的坐标为，点N的坐标为，设直线的解析式为，联立成方程组，可得，，再证得，可得，即可求得，，据此即可求解．【详解】（1）解：把点和点分别代入解析式，得：解得故抛物线的解析式为；（2）解：如图：