02几何综合小题原卷版+解析

02几何综合小题一、单选题1．（2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为(

)．A． B． C． D．2．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图，在中，，，，，点E、F、G分别是、、上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，在矩形中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为（）A． B． C．3 D．4．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④5．（2023·江苏无锡·校考二模）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角．有下列四个结论：①；②点在线段上；③当时，平分；④若点在上以一定的速度由向运动，则点的运动速度是点运动速度的2倍．其中正确的结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（

）A． B．12 C． D．7．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为斜边作，使，，连接．则面积的最大值（

）A． B． C． D．8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，在边长为4的正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：①；②；③；④四边形的面积为；⑤．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为()A．6 B．4 C．4 D．610．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）在中，，为上一动点，若，，则的最小值为（

）A．5 B．10 C． D．11．（2023·江苏常州·校考一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（

）A． B． C． D．312．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（

）A． B． C． D．13．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（

） B． C． D．14．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（

）A． B．3 C． D．15．（2023·江苏苏州·校联考一模）王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；第二步：将和分别沿翻折，，重合于折痕EF上；第三步：将和分别沿翻折，重合于折痕上．已知，，则的长是（

）A． B． C． D．16．（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）如图，在中，，.分别以点C，A为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、填空题17．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，在矩形中，，，的顶点E在对角线上运动，且，，连接，则的最小值为____．18．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点F从点C出发，沿的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为，当点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的距离为__________.19．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，在正方形中，，点、分别在边、上，沿翻折，使点的对应点恰好落在边的中点处，若点的对应点为，则线段的长为________；若线段的垂直平分线分别交、于点、，则__________.20．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，点E是边上一点，以为直径在正方形内作半圆O，将沿翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则的长为______．21．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，正方形的边长为2，点E是边上的动点，连接、，将绕点E顺时针旋转得到，将绕点E逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为______．22．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，菱形的边长为10，，点M为边上的一个动点且不与点A和点D重合，点A关于直线的对称点为点，点N为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是________．23．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）如图，已知正方形中，，点E为边上一动点（不与点B、C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，设与相交于点G，连接、，当最小时，四边形的面积是__________．24．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为________．25．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，已知为等边三角形，，将边绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，点E为上一点，且．连接，则的最小值为__________________．02几何综合小题一、单选题1．（2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为(

)．A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作于点，连接，由，推出、、、四点共圆，再证为定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，然后求出与，即可解决问题．【详解】解：过点作于点，连接，如图所示：，、、、四点共圆，，，，，，，点在射线上运动，当时，的值最小，四边形是矩形，，，，，即，，在中，由勾股定理得：，的最小值．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理、四点共圆、圆周角定理，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．2．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图，在中，，，，，点E、F、G分别是、、上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点H，连接、，根据等腰三角形三线合一，可知，可证，进一步证明为等腰直角三角形，得到，所以，过点H作交于点，此时最小等于，求出的长度即为的最小值．【详解】解：∵，，∴为等腰直角三角形，取中点H，连接、，如图所示，∴（等腰三角形三线合一），，∵在和中，，∴，∴，，∵，∴，即为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，过点H作交于点，此时最小等于，∵，H为的中点，∴，∴，，∴的最小值为，故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形全等的判定及性质以及解直角三角形，正确判断最短距离时各点的位置是解答本题的关键．3．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，在矩形中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为（）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，根据已知得出，分别求得，进而求得，在中，勾股定理建立函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：如图所示，取的中点F，连接，作于H，作于T，设，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，∴，∴，，，，在中，∴当时，取得最小值，∵，∴的最小值为．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，由折叠得，根据等边对等角求出，得到，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可判断④．【详解】解：连接，∵四边形是菱形，∴，，∴是等边三角形，∵E是边的中点，∴，∴，由折叠得，∴，∵，∴，故①正确；∵，∴，∴，∴，即，故②正确；连接，由折叠得，∴，∵，∴，∴，故③正确；过点F作于点M，∵，∴，由折叠得，∴，∴，∵，∴，设，则，∴，，∵，∴，∴，∴四边形的面积，∴，故④错误；故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，三线合一的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．5．（2023·江苏无锡·校考二模）如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角．有下列四个结论：①；②点在线段上；③当时，平分；④若点在上以一定的速度由向运动，则点的运动速度是点运动速度的2倍．其中正确的结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：，从而可判定①；由可得，由正方形的性质可证明，可得，即有，再由可得，从而、分别平分、，即可判定③；连接交于点，由知，点的运动轨迹为线段，而点的运动轨迹为线段，即可判断②，由知，点的运动速度是点的运动速度的倍，即可判断④，因而可确定答案．【详解】解：四边形是正方形，是对角线，，，，是等腰直角三角形，，，，故①正确；、都是等腰直角三角形，，，，，，，即点E在线段上，故②正确；，，在和中，，，，，，，，、分别平分、，故③正确；如图，连接交于点，，当点与点重合时，点与点重合；当点与点重合时，点与点重合，点的运动轨迹为线段，而点的运动轨迹为线段，，且点与点的运动时间相同，，故④错误；故选：C．【点睛】本题是一个综合性较强的题目，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，点的运动路径的确定等知识，熟练运用这些知识是正确解答本题的关键．确定点E的运动路径是本题的难点所在．6．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（

）A． B．12 C． D．【答案】D【分析】如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、，根据菱形及等边三角形得性质可得，，可得出，可得必经过点，根据，可得点在以为直径的圆上，根据、的速度及菱形性质可得当点达到点时，点达到点，，可得点点运动路径长是的长，利用勾股定理可求出的长，根据圆周角定理可得，利用弧长公式即可得答案．【详解】如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、，∵菱形的边长为，，∴，是等边三角形，∵点为边的中点，∴，，，∵点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，∴，∵，∴，∴，∴，，∴必经过点，∵，，∴点在以为直径的圆上，且、、、四点共圆，∵当点达到点时，点达到点，，∴点点运动路径长是的长，∵，，∴，∴，即点点运动路径长是．故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧长公式，正确得出点的运动轨迹是解题关键．7．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为斜边作，使，，连接．则面积的最大值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过作，交的延长线于，易证得及，得到，，从而求得，，由面积公式求得，即可求解．【详解】解：过作，交的延长线于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即面积的最大值为，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的应用，解直角三角形；解题的关键是熟练掌握相似三角形的证明和性质．8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，在边长为4的正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：①；②；③；④四边形的面积为；⑤．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】连接，证明，再利用三角形的外角的性质即可判断①；利用四点共圆证明即可判断②；由正方形的边长为4，则，求出，即可判断③；根据正方形的性质推出，利用相似三角形的性质求得四边形的面积即可判断④；先求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可判断⑤．【详解】解：如图，连接，四边形是正方形，，，，点是边的中点，则，，，，，故①正确；如图，连接．，，，，，四点共圆，，，，故②正确；正方形的边长为4，点是边的中点，，，，，即，故③正确；，，是的中位线，，，，设边上的高为，边上的高为，，，，，，根据对称性可知，，，故④正确；，，，，，，，，，，即，解得：，故⑤错误，综上所述，正确的有①②③④，共4个，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为()A．6 B．4 C．4 D．6【答案】A【分析】如图（见解析），在AD边上取点H，使得，连接EH、FH，先根据正方形的性质得出，，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得，然后利用三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得取得最小值时，点E的位置，最后利用勾股定理求解即可得．【详解】如图，在AD边上取点H，使得，连接EH、FH四边形ABCD是正方形，，，即又，即由三角形的三边关系定理得：由题意得：点E的轨迹是在以点A为圆心，AE长为半径的圆上由两点之间线段最短可知，当点E位于FH与圆A的交点时，取得最小值，最小值为，在中，由勾股定理得即的最小值为故选：A．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系定理、两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．10．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）在中，，为上一动点，若，，则的最小值为（

）A．5 B．10 C． D．【答案】B【分析】以A为顶点，AC为一边在下方作45°角，过作于，过作于，交于，由，要使最小，只需最小，即BD的长，结合等腰三角形的判定和性质和解直角三角形求解．【详解】解：以为顶点，为一边在下方作，过作于，过作于，交于，如图：，要使最小，只需最小，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴最小即是最小，此时与重合，与重合，即最小值是线段的长度，∵，，∴，∵，∴，，又，∴，，∵，∴，而，∴，∴，∴的最小值是，故选：B．【点睛】本题考查线段和的最小值，解题的关键是做45°角，将求的最小值转化为求垂线段的长．11．（2023·江苏常州·校考一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据题中条件确定出点的轨迹是线段，则线段的最小值就转化为定点到点的轨迹线段的距离问题．【详解】解：与固定夹角是，，点的轨迹是线段，的轨迹也是一条线段．两点确定一条直线，取点分别与重合时，所对应两个点Q，来确定点的轨迹，得到如下标注信息后的图形：求的最小值，转化为点到点的轨迹线段的距离问题，,在中，,,，将逆时针绕点转动后得到，为等边三角形，,为的中点，根据三线合一知，,过点作的垂线交于点,在中，对应的边等于斜边的一半，，的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口．12．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．【详解】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD−DM＝3−1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴点D到BC的距离为．故答案为：C．【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．13．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，可得DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，由锐角三角函数可求BD＝a，CE＝a，由面积公式可求a的值，即可求解．【详解】解：如图，连接CE，延长EA交BC于F，∵AB＝2AC，设AC＝a，则AB＝2a，∴BC＝＝a，∵将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，∴DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ADB＝∠ADE，∴∠DEA＝∠DFA，∴DF＝DE＝a，又∵∠DAE＝90°，∴AF＝AE＝a＝AC，∴∠ECF＝90°，∵sin∠ACB＝sin∠CFE＝＝，∴＝，∴CE＝a，∵tan∠ACB＝tan∠CFE＝＝2，∴CF＝a，∴CD＝DF﹣CF＝a，∴BD＝BC+DC＝a，∴△BDE的面积＝×a×a＝×a×a×＝．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用参数解决问题是本题的关键．14．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（

）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】以点O为圆心，2为半径画⊙O，连接ON交⊙O于点，连接CM，

由点M为线段QP的中点，得，从而得点M在⊙O上，由勾股定理得，进而求得MN的最小值．【详解】解：以点O为圆心，2为半径画⊙O，连接ON交⊙O于点，连接CM，点M为线段QP的中点，，点M在⊙O上运动，N（4，3），，即，，MN的最小值为3，故选B．【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理，构造辅助线，找出点M的运动轨迹是解题的关键．15．（2023·江苏苏州·校联考一模）王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；第二步：将和分别沿翻折，，重合于折痕EF上；第三步：将和分别沿翻折，重合于折痕上．已知，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据矩形的性质及折叠的性质得出，，，，利用正方形的判定得出平行四边形为正方形，再由勾股定理得出，继续利用折叠的性质及等角对等边即可求解．【详解】解：∵四边形为矩形，，，∴，由第一步折叠得，，，由第一步折叠得，，∴，∴四边形为平行四边形，∵，，∴平行四边形为正方形，∴，∴在中，，根据第三步折叠可得，，∴，∴，∴，∴，∴故选：D．【点睛】题目主要考查矩形的折叠问题及其性质，勾股定理解三角形及等角对等边的性质，理解题意，结合图形运用这些知识点是解题关键．16．（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）如图，在中，，.分别以点C，A为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作，且，连接，，，证明，求出，再根据三角形三边关系，当、、在同一直线上时取最大值，进而可以解决问题．【详解】解：，则，设，，由，可得，则，作，且，连接，，，由可知，，∵，即，∴，∴，即，则：，∴，∵，∴，即：，∴，∴，∴，∵，∴，由题意可知，，当、、在同一直线上时取等号，即：的最大值为：，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是做辅助线构造．二、填空题17．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，在矩形中，，，的顶点E在对角线上运动，且，，连接，则的最小值为____．【答案】【分析】过点B作于点H，连接．由推出四点共圆，证明定值，推出点F在射线上运动，当时，的值最小，求出，，可得结论．【详解】解：过点B作于点H，连接，如图，∵，∴四点共圆，∴，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，∴∵∴，∴定值，∴点F在射线上运动，当时，的值最小，∵四边形是矩形，∴∴，∴，∵，∴，∴，∴的最小值．故答案为：【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、轨迹、三角形面积以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．18．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）如图，在矩形中，，，点E为线段的中点，动点F从点C出发，沿的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为，当点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的距离为__________.【答案】3或【分析】分点落在对角线上和点落在对角线上两种情况分别进行讨论求解，即可得出点F运动的距离．【详解】解：分两种情况：①当点落在对角线上时，连接，如图1所示：∵将矩形沿折叠，点C的对应点为点，且点恰好落在矩形的对角线上，∴，∵点E为线段的中点，∴，∴点D、C、在以E为圆心，DE为半径的圆上∴，即，∴，∴∴点F是的中点，∵在矩形中，，∴，∴，∴点F运动的距离为3；②当点落在对角线上时，作于H，则，四边形为矩形，如图2所示：在矩形中，∴∴∵∴∴∵四边形为矩形，∴∴∵∴∴点F运动的距离为综上所述：点F运动的距离为3或故答案为：3或【点睛】本题考查了几何变换综合题，需要利用翻折变换的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、圆周角定理的推论、解直角三角形等知识；熟练掌握矩形的性质，熟记翻折变换的性质是解题的关键．19．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，在正方形中，，点、分别在边、上，沿翻折，使点的对应点恰好落在边的中点处，若点的对应点为，则线段的长为________；若线段的垂直平分线分别交、于点、，则__________.【答案】5【分析】先根据正方形性质和中点定义求出的长，再由折叠性质得到，设，根据勾股定理列方程即可求出的长；过点作于，连接，通过勾股定理列出方程求出的长，从而求得的长，再根据垂直平分线的性质得出，，，从而再根据勾股定理列方程求出求出的长，进而即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵是的中点，∴，由折叠性质可知，设，则，由勾股定理得，即，解得，∴；如图，过点作于，连接，易知，，由折叠性质可知，，，设，则，由勾股定理得，即，解得，∴，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，，，设，则，∵，，∴，解得，∴，∴，在中，由勾股定理得．故答案为：5；．【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，熟练运用折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，并能够正确的作出辅助线是解题的关键，难度校大．20．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，点E是边上一点，以为直径在正方形内作半圆O，将沿翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则的长为______．【答案】/【分析】连接，，首先根据定理，可以判定，从而可以得到的度数，再根据折叠的性质可知，从而可以得到点O、F、E三点共线，然后根据勾股定理，即可求得的长，再根据折叠的性质，可得，利用解直角三角形，即可求解．【详解】解：如图：连接，，与相交于点G，四边形是正方形，将沿翻折得到，，，垂直平分，，在与中，，，，，又，，∴点O、F、E三点共线，设，则，，，，，，解得，即，垂直平分，，，，，，，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，求一个角的正弦值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，正方形的边长为2，点E是边上的动点，连接、，将绕点E顺时针旋转得到，将绕点E逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为______．【答案】【分析】连接并延长，过作，交的延长线于，根据正方形的性质，可证出，从而可证是的平分线，同理可证：是的平分线，可得出、的运动轨迹便可求解．【详解】解：如图，连接并延长，过作，交的延长线于，四边形是正方形，，，，在和中，即：是的平分线同理可证：是的平分线在上运动，在上运动当点与点重合时，则点与点重合；或当点与点重合时，则点与点重合；此时最长，当在的中点时，，此时、分别是、的中点，此时最小故答案：．【点睛】本题考查了以正方形为背景的旋转问题，三角形的全等的判定及性质、勾股定理、正方形的性质等，找出动点的运动轨迹是解题的关键．22．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，菱形的边长为10，，点M为边上的一个动点且不与点A和点D重合，点A关于直线的对称点为点，点N为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是________．【答案】【分析】根据关于直线对称，得到，取的中点K，是的中位线，则，作，根据可求出，在中，由勾股定理求得的值，再根据三角形的三边关系即可求出答案．【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接，作于H．∵四边形是菱形，∴，∵点A关于直线的对称点为点，∴，∵点N为线段的中点,点K是的中点，∴是的中位线，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得（负值舍去），∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最小值为，故答案为