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02几何综合小题一、单选题1.(2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测)如图,直角三角形顶点在矩形的对角线上运动,连接.,,,则的最小值为(
).A. B. C. D.2.(2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测)如图,在中,,,,,点E、F、G分别是、、上的动点,且,则的最小值为(
)A. B. C. D.3.(2023·江苏宿迁·统考一模)如图,在矩形中,,,P是上一个动点,过点P作,垂足为G,连接,取中点E,连接,则线段的最小值为()A. B. C.3 D.4.(2023·江苏扬州·统考一模)如图,在菱形纸片中,,E是边的中点,将菱形纸片沿过点A的直线折叠,使点B落在直线上的点G处,折痕为,与交于点H,有如下结论:①;②;③;④,上述结论中,所有正确结论的序号是(
)A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④5.(2023·江苏无锡·校考二模)如图,在正方形中,是边上一点,连接,以为斜边作等腰直角.有下列四个结论:①;②点在线段上;③当时,平分;④若点在上以一定的速度由向运动,则点的运动速度是点运动速度的2倍.其中正确的结论的个数为(
)A.1 B.2 C.3 D.46.(2023·江苏镇江·校联考一模)如图,菱形的边长为,,点为边的中点.点从点出发,以每秒个单位的速度向点运动,点同时从点出发,以每秒个单位的速度向点运动,连接,过点作于点.当点到达点时,点也停止运动,则点的运动路径长是(
)A. B.12 C. D.7.(2023·江苏泰州·模拟预测)如图,在中,,,,点是边上一动点,连接,以为斜边作,使,,连接.则面积的最大值(
)A. B. C. D.8.(2023·江苏连云港·统考一模)如图,在边长为4的正方形中,点是边的中点,连接、,分别交、于点、,过点作交的延长线于,下列结论:①;②;③;④四边形的面积为;⑤.其中正确的结论有(
)A.2个 B.3个 C.4个 D.5个9.(2023·江苏苏州·苏州中学校考一模)如图,正方形ABCD的边长AB=8,E为平面内一动点,且AE=4,F为CD上一点,CF=2,连接EF,ED,则EFED的最小值为()A.6 B.4 C.4 D.610.(2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测)在中,,为上一动点,若,,则的最小值为(
)A.5 B.10 C. D.11.(2023·江苏常州·校考一模)如图,在矩形中,,,点P在线段上运动(含B、C两点),连接,以点A为中心,将线段逆时针旋转60°到,连接,则线段的最小值为(
)A. B. C. D.312.(2023·江苏无锡·校考一模)如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连接BD,把△BDC沿BD翻折,得到△BDC′,DC'与AB交于点E,连接AC′,若AD=AC′=2,BD=3,则点D到BC的距离为(
)A. B. C. D.13.(2023·江苏苏州·模拟预测)如图,在中,,,将绕点顺时针旋转至,点刚好落在直线上,则的面积为(
) B. C. D.14.(2023·江苏苏州·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,点A,C,N的坐标分别为(2,0),(2,0),(4,3),以点C为圆心,2为半径画⊙C,点P在⊙C上运动,连接AP,交⊙C于点Q,点M为线段QP的中点,连接MN,则线段MN的最小值为(
)A. B.3 C. D.15.(2023·江苏苏州·校联考一模)王同学用长方形纸片折纸飞机,前三步分别如图①、②、③.第一步:将长方形纸片沿对称轴对折后展开,折出折痕;第二步:将和分别沿翻折,,重合于折痕EF上;第三步:将和分别沿翻折,重合于折痕上.已知,,则的长是(
)A. B. C. D.16.(2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模)如图,在中,,.分别以点C,A为圆心,以2和3为半径作弧,两弧交于点D(点D在的左侧),连接,则的最大值为(
)A. B. C. D.二、填空题17.(2023·江苏镇江·校联考一模)如图,在矩形中,,,的顶点E在对角线上运动,且,,连接,则的最小值为____.18.(2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测)如图,在矩形中,,,点E为线段的中点,动点F从点C出发,沿的方向在CB和BA上运动,将矩形沿EF折叠,点C的对应点为,当点C'恰好落在矩形的对角线上时(不与矩形顶点重合),点F运动的距离为__________.19.(2023·江苏无锡·统考一模)如图,在正方形中,,点、分别在边、上,沿翻折,使点的对应点恰好落在边的中点处,若点的对应点为,则线段的长为________;若线段的垂直平分线分别交、于点、,则__________.20.(2023·江苏泰州·模拟预测)如图,正方形的边长为2,点E是边上一点,以为直径在正方形内作半圆O,将沿翻折,点C刚好落在半圆O的点F处,则的长为______.21.(2023·江苏无锡·统考一模)如图,正方形的边长为2,点E是边上的动点,连接、,将绕点E顺时针旋转得到,将绕点E逆时针旋转得到,连接,则线段的取值范围为______.22.(2023·江苏盐城·校考二模)如图,菱形的边长为10,,点M为边上的一个动点且不与点A和点D重合,点A关于直线的对称点为点,点N为线段的中点,连接,则线段长度的最小值是________.23.(2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模)如图,已知正方形中,,点E为边上一动点(不与点B、C重合),连接,将绕点E顺时针旋转得到,设与相交于点G,连接、,当最小时,四边形的面积是__________.24.(2023·江苏宿迁·统考二模)如图,四边形为正方形,P是以边为直径的上一动点,连接,以为边作等边三角形,连接,若,则线段的最大值为________.25.(2023·江苏连云港·统考一模)如图,已知为等边三角形,,将边绕点A顺时针旋转,得到线段,连接,点E为上一点,且.连接,则的最小值为__________________.02几何综合小题一、单选题1.(2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测)如图,直角三角形顶点在矩形的对角线上运动,连接.,,,则的最小值为(
).A. B. C. D.【答案】D【分析】过点作于点,连接,由,推出、、、四点共圆,再证为定值,推出点在射线上运动,当时,的值最小,然后求出与,即可解决问题.【详解】解:过点作于点,连接,如图所示:,、、、四点共圆,,,,,,,点在射线上运动,当时,的值最小,四边形是矩形,,,,,即,,在中,由勾股定理得:,的最小值.故选:D.【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理、四点共圆、圆周角定理,熟练掌握矩形的性质,利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键.2.(2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测)如图,在中,,,,,点E、F、G分别是、、上的动点,且,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】取中点H,连接、,根据等腰三角形三线合一,可知,可证,进一步证明为等腰直角三角形,得到,所以,过点H作交于点,此时最小等于,求出的长度即为的最小值.【详解】解:∵,,∴为等腰直角三角形,取中点H,连接、,如图所示,∴(等腰三角形三线合一),,∵在和中,,∴,∴,,∵,∴,即为等腰直角三角形,∴,∵,∴,∴,过点H作交于点,此时最小等于,∵,H为的中点,∴,∴,,∴的最小值为,故选:B.【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形全等的判定及性质以及解直角三角形,正确判断最短距离时各点的位置是解答本题的关键.3.(2023·江苏宿迁·统考一模)如图,在矩形中,,,P是上一个动点,过点P作,垂足为G,连接,取中点E,连接,则线段的最小值为()A. B. C.3 D.【答案】A【分析】取AP的中点F,连接EF,作GH⊥AD于H,作ET⊥GH于T,根据已知得出,分别求得,进而求得,在中,勾股定理建立函数关系式,根据二次函数的性质即可求解.【详解】解:如图所示,取的中点F,连接,作于H,作于T,设,四边形是矩形,,,,,,,,,,,,∴,∴,,,,在中,∴当时,取得最小值,∵,∴的最小值为.故选:A.【点睛】本题考查了二次函数的应用,解直角三角形,矩形的性质,熟练掌握以上知识是解题的关键.4.(2023·江苏扬州·统考一模)如图,在菱形纸片中,,E是边的中点,将菱形纸片沿过点A的直线折叠,使点B落在直线上的点G处,折痕为,与交于点H,有如下结论:①;②;③;④,上述结论中,所有正确结论的序号是(
)A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④【答案】B【分析】连接,得到是等边三角形,根据三线合一的性质得到,由折叠得,求出的度数即可判断①;利用30度角的性质求出,勾股定理求出,即可判断②;连接,由折叠得,根据等边对等角求出,得到,即可判断③;过点F作于点M,先求出,由折叠得,,设,则,求出,再得到,根据求出四边形的面积,即可判断④.【详解】解:连接,∵四边形是菱形,∴,,∴是等边三角形,∵E是边的中点,∴,∴,由折叠得,∴,∵,∴,故①正确;∵,∴,∴,∴,即,故②正确;连接,由折叠得,∴,∵,∴,∴,故③正确;过点F作于点M,∵,∴,由折叠得,∴,∴,∵,∴,设,则,∴,,∵,∴,∴,∴四边形的面积,∴,故④错误;故选:B.【点睛】此题考查了菱形的性质,勾股定理,直角三角形30度角的性质,三线合一的性质,等边三角形的判定和性质,熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键.5.(2023·江苏无锡·校考二模)如图,在正方形中,是边上一点,连接,以为斜边作等腰直角.有下列四个结论:①;②点在线段上;③当时,平分;④若点在上以一定的速度由向运动,则点的运动速度是点运动速度的2倍.其中正确的结论的个数为(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得:,从而可判定①;由可得,由正方形的性质可证明,可得,即有,再由可得,从而、分别平分、,即可判定③;连接交于点,由知,点的运动轨迹为线段,而点的运动轨迹为线段,即可判断②,由知,点的运动速度是点的运动速度的倍,即可判断④,因而可确定答案.【详解】解:四边形是正方形,是对角线,,,,是等腰直角三角形,,,,故①正确;、都是等腰直角三角形,,,,,,,即点E在线段上,故②正确;,,在和中,,,,,,,,、分别平分、,故③正确;如图,连接交于点,,当点与点重合时,点与点重合;当点与点重合时,点与点重合,点的运动轨迹为线段,而点的运动轨迹为线段,,且点与点的运动时间相同,,故④错误;故选:C.【点睛】本题是一个综合性较强的题目,考查了正方形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,点的运动路径的确定等知识,熟练运用这些知识是正确解答本题的关键.确定点E的运动路径是本题的难点所在.6.(2023·江苏镇江·校联考一模)如图,菱形的边长为,,点为边的中点.点从点出发,以每秒个单位的速度向点运动,点同时从点出发,以每秒个单位的速度向点运动,连接,过点作于点.当点到达点时,点也停止运动,则点的运动路径长是(
)A. B.12 C. D.【答案】D【分析】如图,连接、、,设、交于点,交于点,连接,设中点为,连接、,根据菱形及等边三角形得性质可得,,可得出,可得必经过点,根据,可得点在以为直径的圆上,根据、的速度及菱形性质可得当点达到点时,点达到点,,可得点点运动路径长是的长,利用勾股定理可求出的长,根据圆周角定理可得,利用弧长公式即可得答案.【详解】如图,连接、、,设、交于点,交于点,连接,设中点为,连接、,∵菱形的边长为,,∴,是等边三角形,∵点为边的中点,∴,,,∵点的速度为每秒个单位,点的速度为每秒个单位,∴,∵,∴,∴,∴,,∴必经过点,∵,,∴点在以为直径的圆上,且、、、四点共圆,∵当点达到点时,点达到点,,∴点点运动路径长是的长,∵,,∴,∴,即点点运动路径长是.故选:D.【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧长公式,正确得出点的运动轨迹是解题关键.7.(2023·江苏泰州·模拟预测)如图,在中,,,,点是边上一动点,连接,以为斜边作,使,,连接.则面积的最大值(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】过作,交的延长线于,易证得及,得到,,从而求得,,由面积公式求得,即可求解.【详解】解:过作,交的延长线于,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,即面积的最大值为,故选:B.【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的应用,解直角三角形;解题的关键是熟练掌握相似三角形的证明和性质.8.(2023·江苏连云港·统考一模)如图,在边长为4的正方形中,点是边的中点,连接、,分别交、于点、,过点作交的延长线于,下列结论:①;②;③;④四边形的面积为;⑤.其中正确的结论有(
)A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【分析】连接,证明,再利用三角形的外角的性质即可判断①;利用四点共圆证明即可判断②;由正方形的边长为4,则,求出,即可判断③;根据正方形的性质推出,利用相似三角形的性质求得四边形的面积即可判断④;先求得,证明,利用相似三角形的性质求解即可判断⑤.【详解】解:如图,连接,四边形是正方形,,,,点是边的中点,则,,,,,故①正确;如图,连接.,,,,,四点共圆,,,,故②正确;正方形的边长为4,点是边的中点,,,,,即,故③正确;,,是的中位线,,,,设边上的高为,边上的高为,,,,,,根据对称性可知,,,故④正确;,,,,,,,,,,即,解得:,故⑤错误,综上所述,正确的有①②③④,共4个,故选:C.【点睛】本题考查了正方形的性质,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角形的中位线定理,勾股定理,三角形外角的性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考选择题中的压轴题.9.(2023·江苏苏州·苏州中学校考一模)如图,正方形ABCD的边长AB=8,E为平面内一动点,且AE=4,F为CD上一点,CF=2,连接EF,ED,则EFED的最小值为()A.6 B.4 C.4 D.6【答案】A【分析】如图(见解析),在AD边上取点H,使得,连接EH、FH,先根据正方形的性质得出,,再根据相似三角形的判定与性质得出,从而可得,然后利用三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得取得最小值时,点E的位置,最后利用勾股定理求解即可得.【详解】如图,在AD边上取点H,使得,连接EH、FH四边形ABCD是正方形,,,即又,即由三角形的三边关系定理得:由题意得:点E的轨迹是在以点A为圆心,AE长为半径的圆上由两点之间线段最短可知,当点E位于FH与圆A的交点时,取得最小值,最小值为,在中,由勾股定理得即的最小值为故选:A.【点睛】本题是一道较难的综合题,考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系定理、两点之间线段最短等知识点,通过作辅助线,构造相似三角形是解题关键.10.(2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测)在中,,为上一动点,若,,则的最小值为(
)A.5 B.10 C. D.【答案】B【分析】以A为顶点,AC为一边在下方作45°角,过作于,过作于,交于,由,要使最小,只需最小,即BD的长,结合等腰三角形的判定和性质和解直角三角形求解.【详解】解:以为顶点,为一边在下方作,过作于,过作于,交于,如图:,要使最小,只需最小,∵,,∴是等腰直角三角形,∴,∴最小即是最小,此时与重合,与重合,即最小值是线段的长度,∵,,∴,∵,∴,,又,∴,,∵,∴,而,∴,∴,∴的最小值是,故选:B.【点睛】本题考查线段和的最小值,解题的关键是做45°角,将求的最小值转化为求垂线段的长.11.(2023·江苏常州·校考一模)如图,在矩形中,,,点P在线段上运动(含B、C两点),连接,以点A为中心,将线段逆时针旋转60°到,连接,则线段的最小值为(
)A. B. C. D.3【答案】A【分析】根据题中条件确定出点的轨迹是线段,则线段的最小值就转化为定点到点的轨迹线段的距离问题.【详解】解:与固定夹角是,,点的轨迹是线段,的轨迹也是一条线段.两点确定一条直线,取点分别与重合时,所对应两个点Q,来确定点的轨迹,得到如下标注信息后的图形:求的最小值,转化为点到点的轨迹线段的距离问题,,在中,,,,将逆时针绕点转动后得到,为等边三角形,,为的中点,根据三线合一知,,过点作的垂线交于点,在中,对应的边等于斜边的一半,,的最小值为,故选:A.【点睛】本题考查了动点问题中,两点间距离的最小值问题,解题的关键是:需要确定动点的轨迹,才能方便找到解决问题的突破口.12.(2023·江苏无锡·校考一模)如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连接BD,把△BDC沿BD翻折,得到△BDC′,DC'与AB交于点E,连接AC′,若AD=AC′=2,BD=3,则点D到BC的距离为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】连接CC',交BD于点M,过点D作DH⊥BC'于点H,由翻折知,△BDC≌△BDC',BD垂直平分CC',证△ADC'为等边三角形,利用解直角三角形求出DM=1,C'M=DM=,BM=2,在Rt△BMC'中,利用勾股定理求出BC'的长,在△BDC'中利用面积法求出DH的长,则可得出答案.【详解】解:如图,连接CC',交BD于点M,过点D作DH⊥BC'于点H,∵AD=AC′=2,D是AC边上的中点,∴DC=AD=2,由翻折知,△BDC≌△BDC',BD垂直平分CC',∴DC=DC'=2,BC=BC',CM=C'M,∴AD=AC′=DC'=2,∴△ADC'为等边三角形,∴∠ADC'=∠AC'D=∠C'AC=60°,∵DC=DC',∴∠DCC'=∠DC'C=×60°=30°,在Rt△C'DM中,∠DC'C=30°,DC'=2,∴DM=1,C'M=DM=,∴BM=BD−DM=3−1=2,在Rt△BMC'中,BC'=,∵S△BDC'=BC'•DH=BD•CM,∴DH=3×,∴DH=,∵∠DCB=∠DBC',∴点D到BC的距离为.故答案为:C.【点睛】本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,勾股定理等,解题关键是会通过面积法求线段的长度.13.(2023·江苏苏州·模拟预测)如图,在中,,,将绕点顺时针旋转至,点刚好落在直线上,则的面积为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】由将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE,可得DE=BC=a,CA=AE=a,AB=AD=2a,∠ADE=∠ABC,∠DAE=∠BAC=90°,由锐角三角函数可求BD=a,CE=a,由面积公式可求a的值,即可求解.【详解】解:如图,连接CE,延长EA交BC于F,∵AB=2AC,设AC=a,则AB=2a,∴BC==a,∵将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE,∴DE=BC=a,CA=AE=a,AB=AD=2a,∠ADE=∠ABC,∠DAE=∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ADB=∠ADE,∴∠DEA=∠DFA,∴DF=DE=a,又∵∠DAE=90°,∴AF=AE=a=AC,∴∠ECF=90°,∵sin∠ACB=sin∠CFE==,∴=,∴CE=a,∵tan∠ACB=tan∠CFE==2,∴CF=a,∴CD=DF﹣CF=a,∴BD=BC+DC=a,∴△BDE的面积=×a×a=×a×a×=.故选:A.【点睛】本题考查了旋转的性质,锐角三角函数,勾股定理,等腰三角形的性质等知识,利用参数解决问题是本题的关键.14.(2023·江苏苏州·模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,点A,C,N的坐标分别为(2,0),(2,0),(4,3),以点C为圆心,2为半径画⊙C,点P在⊙C上运动,连接AP,交⊙C于点Q,点M为线段QP的中点,连接MN,则线段MN的最小值为(
)A. B.3 C. D.【答案】B【分析】以点O为圆心,2为半径画⊙O,连接ON交⊙O于点,连接CM,
由点M为线段QP的中点,得,从而得点M在⊙O上,由勾股定理得,进而求得MN的最小值.【详解】解:以点O为圆心,2为半径画⊙O,连接ON交⊙O于点,连接CM,点M为线段QP的中点,,点M在⊙O上运动,N(4,3),,即,,MN的最小值为3,故选B.【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理,构造辅助线,找出点M的运动轨迹是解题的关键.15.(2023·江苏苏州·校联考一模)王同学用长方形纸片折纸飞机,前三步分别如图①、②、③.第一步:将长方形纸片沿对称轴对折后展开,折出折痕;第二步:将和分别沿翻折,,重合于折痕EF上;第三步:将和分别沿翻折,重合于折痕上.已知,,则的长是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据矩形的性质及折叠的性质得出,,,,利用正方形的判定得出平行四边形为正方形,再由勾股定理得出,继续利用折叠的性质及等角对等边即可求解.【详解】解:∵四边形为矩形,,,∴,由第一步折叠得,,,由第一步折叠得,,∴,∴四边形为平行四边形,∵,,∴平行四边形为正方形,∴,∴在中,,根据第三步折叠可得,,∴,∴,∴,∴,∴故选:D.【点睛】题目主要考查矩形的折叠问题及其性质,勾股定理解三角形及等角对等边的性质,理解题意,结合图形运用这些知识点是解题关键.16.(2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模)如图,在中,,.分别以点C,A为圆心,以2和3为半径作弧,两弧交于点D(点D在的左侧),连接,则的最大值为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】作,且,连接,,,证明,求出,再根据三角形三边关系,当、、在同一直线上时取最大值,进而可以解决问题.【详解】解:,则,设,,由,可得,则,作,且,连接,,,由可知,,∵,即,∴,∴,即,则:,∴,∵,∴,即:,∴,∴,∴,∵,∴,由题意可知,,当、、在同一直线上时取等号,即:的最大值为:,故选:C.【点睛】本题考查了解直角三角形,相似三角形的判定与性质,解决本题的关键是做辅助线构造.二、填空题17.(2023·江苏镇江·校联考一模)如图,在矩形中,,,的顶点E在对角线上运动,且,,连接,则的最小值为____.【答案】【分析】过点B作于点H,连接.由推出四点共圆,证明定值,推出点F在射线上运动,当时,的值最小,求出,,可得结论.【详解】解:过点B作于点H,连接,如图,∵,∴四点共圆,∴,∵,∴,∵四边形是矩形,∴,∴∵∴,∴定值,∴点F在射线上运动,当时,的值最小,∵四边形是矩形,∴∴,∴,∵,∴,∴,∴的最小值.故答案为:【点睛】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、轨迹、三角形面积以及最小值问题等知识,本题综合性强,熟练掌握矩形的性质,利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键.18.(2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测)如图,在矩形中,,,点E为线段的中点,动点F从点C出发,沿的方向在CB和BA上运动,将矩形沿EF折叠,点C的对应点为,当点C'恰好落在矩形的对角线上时(不与矩形顶点重合),点F运动的距离为__________.【答案】3或【分析】分点落在对角线上和点落在对角线上两种情况分别进行讨论求解,即可得出点F运动的距离.【详解】解:分两种情况:①当点落在对角线上时,连接,如图1所示:∵将矩形沿折叠,点C的对应点为点,且点恰好落在矩形的对角线上,∴,∵点E为线段的中点,∴,∴点D、C、在以E为圆心,DE为半径的圆上∴,即,∴,∴∴点F是的中点,∵在矩形中,,∴,∴,∴点F运动的距离为3;②当点落在对角线上时,作于H,则,四边形为矩形,如图2所示:在矩形中,∴∴∵∴∴∵四边形为矩形,∴∴∵∴∴点F运动的距离为综上所述:点F运动的距离为3或故答案为:3或【点睛】本题考查了几何变换综合题,需要利用翻折变换的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、圆周角定理的推论、解直角三角形等知识;熟练掌握矩形的性质,熟记翻折变换的性质是解题的关键.19.(2023·江苏无锡·统考一模)如图,在正方形中,,点、分别在边、上,沿翻折,使点的对应点恰好落在边的中点处,若点的对应点为,则线段的长为________;若线段的垂直平分线分别交、于点、,则__________.【答案】5【分析】先根据正方形性质和中点定义求出的长,再由折叠性质得到,设,根据勾股定理列方程即可求出的长;过点作于,连接,通过勾股定理列出方程求出的长,从而求得的长,再根据垂直平分线的性质得出,,,从而再根据勾股定理列方程求出求出的长,进而即可求解.【详解】解:∵四边形是正方形,∴,,∵是的中点,∴,由折叠性质可知,设,则,由勾股定理得,即,解得,∴;如图,过点作于,连接,易知,,由折叠性质可知,,,设,则,由勾股定理得,即,解得,∴,∴,∴,∵是的垂直平分线,∴,,,设,则,∵,,∴,解得,∴,∴,在中,由勾股定理得.故答案为:5;.【点睛】本题考查了正方形的折叠问题,熟练运用折叠的性质,正方形的性质,勾股定理,并能够正确的作出辅助线是解题的关键,难度校大.20.(2023·江苏泰州·模拟预测)如图,正方形的边长为2,点E是边上一点,以为直径在正方形内作半圆O,将沿翻折,点C刚好落在半圆O的点F处,则的长为______.【答案】/【分析】连接,,首先根据定理,可以判定,从而可以得到的度数,再根据折叠的性质可知,从而可以得到点O、F、E三点共线,然后根据勾股定理,即可求得的长,再根据折叠的性质,可得,利用解直角三角形,即可求解.【详解】解:如图:连接,,与相交于点G,四边形是正方形,将沿翻折得到,,,垂直平分,,在与中,,,,,又,,∴点O、F、E三点共线,设,则,,,,,,解得,即,垂直平分,,,,,,,解得,,故答案为:.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理,求一个角的正弦值,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.21.(2023·江苏无锡·统考一模)如图,正方形的边长为2,点E是边上的动点,连接、,将绕点E顺时针旋转得到,将绕点E逆时针旋转得到,连接,则线段的取值范围为______.【答案】【分析】连接并延长,过作,交的延长线于,根据正方形的性质,可证出,从而可证是的平分线,同理可证:是的平分线,可得出、的运动轨迹便可求解.【详解】解:如图,连接并延长,过作,交的延长线于,四边形是正方形,,,,在和中,即:是的平分线同理可证:是的平分线在上运动,在上运动当点与点重合时,则点与点重合;或当点与点重合时,则点与点重合;此时最长,当在的中点时,,此时、分别是、的中点,此时最小故答案:.【点睛】本题考查了以正方形为背景的旋转问题,三角形的全等的判定及性质、勾股定理、正方形的性质等,找出动点的运动轨迹是解题的关键.22.(2023·江苏盐城·校考二模)如图,菱形的边长为10,,点M为边上的一个动点且不与点A和点D重合,点A关于直线的对称点为点,点N为线段的中点,连接,则线段长度的最小值是________.【答案】【分析】根据关于直线对称,得到,取的中点K,是的中位线,则,作,根据可求出,在中,由勾股定理求得的值,再根据三角形的三边关系即可求出答案.【详解】解:如图,连接,取的中点K,连接,作于H.∵四边形是菱形,∴,∵点A关于直线的对称点为点,∴,∵点N为线段的中点,点K是的中点,∴是的中位线,∴,∵,∴,在中,由勾股定理得,∴,解得(负值舍去),∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴的最小值为,故答案为
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