2023年二轮复习解答题专题十一：与圆的切线有关的证明与计算(原卷版+解析)

2023年二轮复习解答题专题十一：与圆的切线有关的证明与计算方法点睛与圆的切线有关问题的解题技巧典例分析类型一与圆的切线的性质有关的证明与计算例1（2022河南中考）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．（1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半经为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．类型二与圆的切线的判定有关的证明与计算例2（2022云南中考）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一点，连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD²=BC⋅BE．（1）请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若四边形ABCD是正方形，连接AC，当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得是否成立？请证明你的结论．专题过关1.（2022西宁中考）如图，在中，，点D在AB上，以BD为直径的与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．（1）求证：四边形EMFC是矩形；（2）若，的半径为2，求FM的长．2.（2022青海中考）如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：；（2）若，，，求BE的长．3.（2022大连中考）是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E．（1）如图1，求证；（2）如图2，连接，若的半径为2，，求的长．4.（2022天津中考）已知为的直径，，C为上一点，连接．（2）如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．5.（2022泸州中考）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．6.（2022达州中考）如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的⊙与相切于点D，分别交，边于点E，F．

（1）求证：平分；（2）若，，求⊙的半径．7.（2022邵阳中考）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．（1）求的度数；（2）若的半径为3，求圆弧的长．8.（2022黄冈中考）如图，是的外接圆，是的直径，与过点的切线平行，，相交于点．

（1）求证：；（2）若，求的长．9.（2022陕西中考）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P．（1）求证：；（2）若⊙的半径，求线段的长．10．（2022江西中考）（8分）课本再现（1）在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明；知识应用（2）如图4，若的半径为2，，分别与相切于点，，，求的长．11．（2022枣庄中考）（8分）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AD的长．12.（2022沈阳中考）如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，．（1）求证：是圆的切线；（2）连接，，，的长为______．13.（2022兰州中考）如图，是的外接圆，AB是直径，，连接AD，，AC与OD相交于点E．（1）求证：AD是的切线；（2）若，，求的半径．14.（2022宜宾中考）如图，点C是以AB为直径上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且．

（1）求证：DE是的切线；（2）若点F是OA的中点，，，求EC的长．15.（2022广安中考）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径．16．（2022南充中考）（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．17.（2022盘锦中考）如图，四边形是正方形，点A，点B在上，边的延长线交于点E，对角线的延长线交于点F，连接并延长至点G，使．（1）求证：与相切；（2）若的半径为1，求的长．18.（2022抚顺中考）如图，在中，，的顶点O，D在斜边上，顶点E，F分别在边上，以点O为圆心，长为半径的恰好经过点D和点E．

（1）求证：与相切；（2）若，求的长．19.（2022扬州中考）如图，为弦，交于点，交过点的直线于点，且．（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的长．20.（2022衡阳中考）如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．（1）直线与⊙相切吗？并说明理由；（2）若，，求的长．21.（2022十堰中考）如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．22.（2022齐齐哈尔中考）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．

（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．23．（2022桂林中考）（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；（3）在（2）的条件下，求的值．24.（2022北京中考）如图，是的直径，是的一条弦，连接（1）求证：（2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．2023年二轮复习解答题专题十一：与圆的切线有关的证明与计算方法点睛与圆的切线有关问题的解题技巧典例分析类型一与圆的切线的性质有关的证明与计算例1（2022河南中考）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．（1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半经为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．【答案】（1）见解析（2）50cm【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得，，根据，可得，过点作，根据平行线的性质可得，，进而即可得证；（2）过点作的平行线，交于点，交于点，由（1）得到，在，中，求得,进而求得，根据即可求解．【小问1详解】证明：⊙O与水平地面相切于点C，，，，AB与⊙O相切于点B，，，过点作，，，，，即∠BOC＋∠BAD＝90°．【小问2详解】如图，过点作的平行线，交于点，交于点，，则四边形矩形，，，，在中，，，（cm)，在中，，cm，(cm)，(cm)，(cm)，cm，(cm)．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．类型二与圆的切线的判定有关的证明与计算例2（2022云南中考）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一点，连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD²=BC⋅BE．（1）请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若四边形ABCD是正方形，连接AC，当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得是否成立？请证明你的结论．【答案】（1）DE是⊙O的切线，证明见解析；（2）成立，证明见解析【解析】【分析】（1）证明△BDC∽△BED，推出∠BCD=∠BDE=90°，即可证明DE是⊙O的切线；（2）延长PA至Q，使AQ=CP，则PA+PC=PA+AQ=PQ，证明△QAD≌△PCD(SAS)，再推出△PQD是等腰直角三角形，即可证明结论成立．【小问1详解】解：DE是⊙O的切线；理由如下：∵BD²=BC⋅BE，∴，∵∠CBD=∠DBE，∴△BDC∽△BED，∴∠BCD=∠BDE，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠BDE=90°，∴DE是⊙O的切线；【小问2详解】解：成立，理由如下：延长PA至Q，使AQ=CP，则PA+PC=PA+AQ=PQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∵四边形APCD是圆内接四边形，∴∠PAD+∠PCD=180°，∵∠QAD+∠PAD=180°，∴∠QAD=∠PCD，∴△QAD≌△PCD(SAS)，∴∠QDA=∠PDC，QD=PD，∴∠QDA+∠PDA=∠PDC+∠PDA=90°，∴△PQD是等腰直角三角形，∴PQ=PD，即PA+PC=PD，∴成立．【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．专题过关1.（2022西宁中考）如图，在中，，点D在AB上，以BD为直径的与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．（1）求证：四边形EMFC是矩形；（2）若，的半径为2，求FM的长．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出，由与AC相切于点E，利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出，进而可得出，结合再利用三个角都是直角的四边形是矩形，即可证出四边形EMFC是矩形．（2）在中，利用勾股定理可求出OA的长，进而可得出AB的长，由，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，进而可得出利用相似三角形的性质可求出AC的长，结合可求出CE的长，再利用矩形的对边相等，即可求出FM的长．【小问1详解】∵BD是的直径，∴，∴，∴与AC相切于点E，∴，∴，又∴，∴，∴四边形EMFC是矩形．【小问2详解】解：在中，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴四边形EMFC是矩形，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1）根据各角之间的关系，找出四边形EMFC的三个角均为直角．（2）利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC的长度．2.（2022青海中考）如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：；（2）若，，，求BE的长．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】（1）连接，根据平分，可得，从而得到，可得，再由切线的性质，即可求解；（2）由，可得，设为，可得，即可求解．【小问1详解】证明：连接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵为的切线，∴，∴．【小问2详解】解：由（1）得：，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，设为，∴，∴，解得：，即的长为2．【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．3.（2022大连中考）是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E．（1）如图1，求证；（2）如图2，连接，若的半径为2，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，，即可得出；（2）证明，求出OD，由勾股定理求出DB，由垂径定理求出BC，进而利用勾股定理求出AC，AD．【小问1详解】解：∵，∴，∵是的切线，∴，在和中，，，∴；【小问2详解】解：如图，连接AC．∵的半径为2，∴，，∵在和中，，，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理得：，∴．∵，经过的圆心，∴，∴．∵是的直径，C是上一点，∴，在中，由勾股定理得：，∴．在中，由勾股定理得：，∴．【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明求出OD的长度是解题的关键．4.（2022天津中考）已知为的直径，，C为上一点，连接．（2）如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．【答案】（2）【解析】【分析】（2）证明四边形为矩形，FD=CE=CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案．【小问2详解】∵是的切线，∴，即，∵，垂足为E，∴，同（1）可得，有，∴，∴四边形为矩形，∴，于是，在中，由，得，∴．5.（2022泸州中考）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接OD，由CD平分∠ACB，可知，得∠AOD=∠BOD=90°，由DF是切线可知∠ODF=90°=∠AOD，可证结论；（2）过C作CM⊥AB于M，已求出CM、BM、OM的值，再证明△DOF∽△MCO，得，代入可求．【小问1详解】证明：连接OD，如图，∵CD平分∠ACB，∴，∴∠AOD=∠BOD=90°，∵DF是⊙O的切线，∴∠ODF=90°∴∠ODF=∠BOD，∴DF∥AB．【小问2详解】解：过C作CM⊥AB于M，如图，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AB=．∴，即，∴CM=2，∴，∴OM=OB-BM=，∵DF∥AB，∴∠OFD=∠COM，又∵∠ODF=∠CMO=90°，∴△DOF∽△MCO，∴，即，∴FD=．【点睛】本题考查了圆的圆心角、弦、弧关系定理、圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握这些定理，灵活运用相似三角形的性质求解．6.（2022达州中考）如图，在中，，点O为边上一点，以为半径的⊙与相切于点D，分别交，边于点E，F．

（1）求证：平分；（2）若，，求⊙的半径．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到，继而证明，再根据等腰三角形的性质，进而得出，即可得出结论；（2）连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得，继而证明，根据相似三角形的性质及锐角三角函数即可求解．【小问1详解】

连接OD，，以为半径的⊙与相切于点D，，，，，，，平分；【小问2详解】

连接DE，AE是直径，，，，，，，，，解得，，⊙的半径为．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质及锐角三角函数，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键．7.（2022邵阳中考）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且．（1）求的度数；（2）若的半径为3，求圆弧的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）证明是等边三角形，得到，从而计算出的度数；（2）计算出圆弧的圆心角，根据圆弧弧长公式计算出最终的答案．【小问1详解】如下图，连接AO∵是的切线∴∴∵∴∵∴∴∴∴是等边三角形∴∵∴【小问2详解】∵∴圆弧的长为：∴圆弧的长为．【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形、等边三角形和圆的相关知识．8.（2022黄冈中考）如图，是的外接圆，是的直径，与过点的切线平行，，相交于点．

（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由切线的性质和可得，由垂径定理可得，从而得到垂直平分，最后利用垂直平分线的性质即可得证；（2）先利用勾股定理得到，然后利用两组对应角相等证明，从而得到，代入数据计算即可．【小问1详解】证明：∵直线切于点，是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴垂直平分，∴；【小问2详解】如图，连接，由（1）知：，，∴，∵，∴，在中，，∵是的直径，∴，∴，又∵，∴，又∵∴，∴，即，∴，即的长为．

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直平分线的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余等知识．通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．9.（2022陕西中考）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P．（1）求证：；（2）若⊙的半径，求线段的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据是的切线，得出．根据，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可；（2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可．【小问1详解】证明：∵是的切线，∴．∵∴，∴．∴．∵，∴．【小问2详解】解：如图，连接．∵为直径，∴∠ADB=90°，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴．∴．∴．∴．【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键．10．（2022江西中考）（8分）课本再现（1）在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明；知识应用（2）如图4，若的半径为2，，分别与相切于点，，，求的长．【分析】（1）①如图2，当点在的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当在的外部时，作直径，同理可理结论；（2）如图4，先根据（1）中的结论可得，由切线的性质可得，可得，从而得的长．【解答】解：（1）①如图2，连接，并延长交于点，，，，，，，；如图3，连接，并延长交于点，，，，，，，；（2）如图4，连接，，，，，，分别与相切于点，，，，，，．【点评】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．11．（2022枣庄中考）（8分）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AD的长．【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝12，再证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，∵OE＝6cm，∴AC＝12cm，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，即＝，∴AD＝．【点评】本题考查圆的切线及圆中的计算，涉及圆周角定理、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．12.（2022沈阳中考）如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，．（1）求证：是圆的切线；（2）连接，，，的长为______．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和，可得出，再根据是圆的直径，由切线的判定可得证；（2）延长交的延长线于点，由是圆的直径，可说明是直角三角形，从而得到，再证明，得到，代入数据即可得到答案．【小问1详解】证明：∵四边形内接于圆，∴，∵，∴，∴，∴，∵是圆的直径，∴是圆的切线．【小问2详解】解：延长交的延长线于点，∵是圆的直径，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∵四边形内接于圆，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识．通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．13.（2022兰州中考）如图，是的外接圆，AB是直径，，连接AD，，AC与OD相交于点E．（1）求证：AD是的切线；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】（1）先证∠BOC+∠AOD=90°，再因为，得出∠ADO+∠AOD=90°，即可得∠OAD=90°，即可由切线的判定定理得出结论；（2）先证明∠AED=∠DAE，得出DE=AD=，再证∠OAC=∠OCA，得tan∠OAC=tan∠OCA=,设OC=OA=R,则OE=R，在Rt△OAD中，由勾股定理，得，解之即可．【小问1详解】证明：∵，∴∠COD=90°，∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵，∴∠ADO+∠AOD=90°，∵∠ADO+∠AOD+∠OAD=180°，∴∠OAD=90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；【小问2详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，∴∠AED=∠OCB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AED=∠CAD，∴DE=AD=，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OC⊥OD，∴∠COE=90°，∴tan∠OAC=tan∠OCA=,设OC=OA=R,则OE=R，在Rt△OAD中，∠OAD=90°，由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，即，解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去）,∴⊙O的半径为2．【点睛】本师考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．14.（2022宜宾中考）如图，点C是以AB为直径上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且．

（1）求证：DE是的切线；（2）若点F是OA的中点，，，求EC的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连结OC，利用等腰三角形的性质和圆周角定理证，即可由切线的判定定理得出结论；（2）解，求出，从而求得，则可求得，再证，得，即可求得，即可由求解．【小问1详解】证明：如图，连结OC，

∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴DE是的切线；【小问2详解】解：在中，，，∴，∴，∴，∴，又∵点F为AO中点，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．15.（2022广安中考）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径．【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】（1）连接OD，只要证明，则有，即可证明结论成立；（2）由圆周角定理，求得，然后证明△ACD∽△DCB，求出CD的长度，再根据勾股定理，即可求出答案．【小问1详解】证明：连接OD，如图∵AB为⊙O的直径，∴，∴，∵OA=OD，∴，∵∠BDC=∠BAD，∴，∴，∴，∴CD是⊙O的切线．【小问2详解】解：∵，∴，∵△ABD是直角三角形，∴，∵，，∴△ACD∽△DCB，∴，∵，∴，∴，在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则，∴，解得：；∴⊙O的半径为；【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，从而进行解题．16．（2022南充中考）（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．【分析】（1）连接OC，证明OC⊥CD即可；（2）过点O作OH⊥BC于点H．由sin∠BAC＝＝，可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AC＝OC＝CE＝3k，用k表示出OH，EH，可得结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠OCB+∠DCB＝90°，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OH⊥BC于点H．∵sin∠BAC＝＝，∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AC＝OC＝CE＝3k，∵OH⊥BC，∴CH＝BH＝2k，∵OA＝OB，∴OH＝AC＝k，∴EH＝CE﹣CH＝3k﹣2k＝k，∴tan∠CEO＝＝＝．【点评】本题考查切线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．17.（2022盘锦中考）如图，四边形是正方形，点A，点B在上，边的延长线交于点E，对角线的延长线交于点F，连接并延长至点G，使．（1）求证：与相切；（2）若的半径为1，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)连接BE，根据四边形ABCD是正方形，得到∠BAE=90°，从而得到BE是圆O的直径，结合∠BAF+∠EAF=90°，∠EAF=∠EBF，，证明∠FBG+∠EBF=90°即可．（2）连接OA，OF，证明∠FED=45°，从而证明∠AOF=90°，实施勾股定理计算即可．【小问1详解】连接BE，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAE=90°，∴BE是圆O的直径，∵∠BAF+∠EAF=90°，∠EAF=∠EBF，，∴∠FBG+∠EBF=90°，∴∠OBG=90°，故BG是圆O的切线．【小问2详解】如图，连接OA，OF，

∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，∴∠EFD=90°，∠FDE=45°，∴∠FED=45°，∴∠AOF=90°，∵OA=OF=1，∴，∴AF=，AF=-（舍去）．【点睛】本题考查了圆的切线判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理是解题的关键．18.（2022抚顺中考）如图，在中，，的顶点O，D在斜边上，顶点E，F分别在边上，以点O为圆心，长为半径的恰好经过点D和点E．

（1）求证：与相切；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，先证明四边形AOEF是平行四边形，得到，即可证明∠OEB=∠ACB=90°，由此即可证明结论；（2）过点F作于点H，先解直角△CEF求出EF的长，再证明四边形AOEF是菱形，得到OA，AF的长，再解直角△AHF，求出AH，FH，进而求出OH，即可利用勾股定理求出OF．【小问1详解】证明：连接，∵四边形是平行四边形，∴；，

∵，∴；，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵∴，∴，∵是的半径，∴与相切；【小问2详解】解：过点F作于点H，∵四边形是平行四边形∴，∴，

∴，在中，，∵，∴，∵四边形是平行四边形，且，∴是菱形，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∵，∴．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．19.（2022扬州中考）如图，为弦，交于点，交过点的直线于点，且．（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的长．【答案】（1）相切，证明见详解（2）6【解析】【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形性质得出，，从而求出，再根据切线的判定得出结论；（2）分别作交AB于点M，交AB于N，根据求出OP，AP的长，利用垂径定理求出AB的长，进而求出BP的长，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．【小问1详解】证明：连接OB，如图所示：，，，，，，即，，，为半径，经过点O，直线与的位置关系是相切．【小问2详解】分别作交AB于点M，交AB于N，如图所示：，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路．20.（2022衡阳中考）如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．（1）直线与⊙相切吗？并说明理由；（2）若，，求的长．【答案】（1）相切，见解析（2）【解析】【分析】（1）先证得：，再证，得到，即可求出答案；（2）设半径为；则：，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．【小问1详解】（1）证明：连接．∵为切线，∴，又∵，∴，，且，∴，在与中；∵，∴，∴，∴直线与相切．【小问2详解】设半径为；则：，得；在直角三角形中，，，解得【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键．21.（2022十堰中考）如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，设，，根据已知条件以及直径所对的圆周角相等，证明，进而求得，即可证明是的切线；（2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形是正方形，进而求得的长，根据，，即可求解．【小问1详解】如图，连接，，则，设，，，，为的直径，，，即，，，，，，，，为的半径，是的切线；【小问2详解】如图，连接，是的切线，则，又，四边形是矩形，，四边形是正方形，，在中，，，，，由（1）可得，，，，解得．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦的定义，掌握切线的性质与判定是解题的关键．22.（2022齐齐哈尔中考）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作，且CF=CD，连接BF．

（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAC=45°，AD=4，求