2023年二轮复习解答题专题二十三：二次函数范围问题-公共点个数(原卷版+解析)

2023年二轮复习解答题专题二十三：二次函数范围问题——公共点个数典例分析例1：（2022开封一模）已知她物线的图象开口向上，且经过点、．（1）求抛物线的解析式：（2）用配方法求出抛物线的顶点坐标和对称轴，（3）若点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象M，若图象M向下平移个单位长度时与直线BC只有一个交点，求的取值范围．专题过关1.（2022长春中考）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式：（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接．当时，求点B的坐标；（3）若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；（4）当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．2.（2022永州中考）已知关于的函数．（1）若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；（2）若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围．（3）阅读下面材料：设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需．综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为：请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围．3.（2022湘潭中考）已知抛物线．（1）如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围．4．（2022天门中考）（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．5.（2022大庆中考）已知二次函数图象的对称轴为直线．将二次函数图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．（1）求b的值；（2）①当时，图象C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图象C中时，结合图象求x的取值范围；（3）已知两点，当线段与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．6.已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求点A，点B的坐标；（2）如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．7.（2022河南邓州一模）已知二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B、C，且，点A坐标为．

（1）求出该二次函数表达式，并求出顶点坐标．（2）将该函数图象沿x轴翻折，如图①，①请直接写出翻折后的图象对应的函数表达式；②翻折前后的函数图象在一起构成轴对称图形，请写出对称轴．（3）将两图象在x轴上方的部分去掉，如图②，当直线与两抛物线所剩部分有4个交点时，请求出k的取值范围．8.（2022河南邓州二模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．（1）请求出抛物线对称轴及A、B两点坐标；（2）直接写出不等式时的解集；（3）已知线段的两个端点坐标、，当该抛物线与线段有交点时，求a的取值范围．9.（2022安阳一模）如图，二次函数的图象过点，．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若一次函数的图象与二次函数的图象有交点，求的取值范围；（3）过点作轴的平行线，以为对称轴将二次函数的图象位于上方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴，直接写出的取值范围．10.（2022北京顺义二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．（1）当时，①求抛物线的对称轴；②若点，都在抛物线上，且，求的取值范围；（2）已知点，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．11.（2022北京人大附中一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2时，①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．12.（2022北京门头沟二模）在平面直角坐标系中xOy中，已知抛物线（）．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当时，求抛物线的表达式；（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M．①直接写直线与图形M公共点的个数；②当直线（）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．13.（2022人大附中一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．（1）求此二次函数的解析式；（2）当时，求二次函数的最大值和最小值；（3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．①求的取值范围；②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围．14.（2022郑州枫杨外国语二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（–3，5），B（0，5）．抛物线y=-x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（-3，0）两点，交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的积；（3）连接AB，若二次函数y=-x2+bx+c的图象向上平移m(m>0)个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．15.（2022河南上蔡二模）如图，在平面直角坐标系中，，．已知抛物线．（1）求抛物线的对称轴．（2）若当时，函数的最大值为10，求a的值．（3）若抛物线的顶点在的内部（不含边界），求a的取值范围．16.（2022河南上蔡三模）已知抛物线过点，交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且对于任意实数m，恒有成立．（1）求抛物线的解析式．（2）作直线BC，点是直线BC上一点，将点E向右平移2个单位长度得到点F，连接EF．若线段EF与抛物线只有1个交点，求点E横坐标的取值范围，（3）若，，三点都在抛物线上且总有，直接写出n的取值范围．17.（2022驻马店二模）已知二次函数．

（1）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不列表，用黑色水笔画图）；（3）当时，结合图象直接写出函数y的取值范围；（4）设抛物线与x轴分别交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点为C，将点C向右平移3个单位得到点D．若抛物线与线段CD恰好有一个交点，求m的取值范围．18.（2022河南西华二模）如图，直线与x轴和y轴交点分别为A，B，抛物线经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将点B向右平移4个单位长度得到点C，若抛物线与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．19.（2022周口川汇区一模）如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．（1）求b和k的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x2+bx的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．20.（2022信阳三模）如图，直线与x轴和y轴交点分别为A，B，抛物线经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将点B向右平移4个单位长度得到点C，若抛物线与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．21.（2022郑州外国语一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．

（1）求抛物线的解析式；（2）已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图像G，若图像G向下平移t（）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．22.（2022郑州二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中a为常数，点在此抛物线上．（1）求此时抛物线的解析式及点A的坐标；（2）设点为抛物线上一点，当时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；（3）已知点为平面直角坐标系内两点，连接．若抛物线向上平移c个单位的过程中，与线段恰好只有一个公共点，请直接写出c的取值范围．23.（2022河南永城一模）如图，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣4与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（－2，0）．（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；（2）若抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当直线y＝x＋b与新图象只有1个公共点时，求b的取值范围．24.（2022河南商城一模）如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的表达式；（2）P（x1，y1），Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点的横坐标x1的取值范围；（3）点M为直线AB上一动点，将点M沿与y轴平行的方向平移一个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．25.（2022河南西平一模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，该抛物线的对称轴与x轴交于点A．（1）求C，A两点的坐标，并用含m的式子表示出抛物线的顶点坐标M；（2）若，抛物线上有两点，，且，则n的取值范围是______．（3）将点A向右移动2个单位长度，再向上移动3个单位长度得到点B，若抛物线与线段AB没有公共点，求B点的坐标，并直接写出m的取值范围．26.（2022河南商水二模）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线经过点A、点B．（1）求该抛物线的解析式．（2）根据图象直接写出的解集；（3）将点B向右平移4个单位长度得到C，若拋物线与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．27.（2022商丘二模）在平面直角坐标系中，抛物线解析式为，直线l：y=－x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．（3）如图2，点C（－2，0），若抛物线与线段AC只有一个公共点，求m取值范围．28.（2022三门峡二模）已知抛物线经过点．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）点是y轴上的一个动点，过点P作垂直于y轴的直线交抛物线于点和点，且．①若，求m的值；②把直线PB上方的函数图象，沿直线PB向下翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当新图象与x轴有四个交点时，直接写出m的取值范围．29.（2022平顶山三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求抛物线顶点坐标和对称轴方程；（3）若点与在（1）中的抛物线上，且，将抛物线在PQ上方的部分沿PQ翻折180°，抛物线的其他部分保持不变，得到一个新图象，当这个新图象与过（0，-3）且平行于x轴的直线恰好只有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．30.（2022平顶山二模）已知，抛物线交x轴于C，D两点，交y轴于点E，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）当时，求y的取值范围；（3）连接AB，若抛物线向下平移个单位时，与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，直接写出k的取值范围．31.（2022南阳卧龙二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中a为常数，点在此抛物线上．（1）求抛物线解析式及点A的坐标；（2）设点为抛物线上一点，当时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；（3）已知点，为平面直角坐标系内两点，连接PQ．将线段PQ向下平移t个单位，在平移的过程中，要使线段PQ与抛物线始终只有一个公共点，则t的取值范围是______．32.（2022南阳方城二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（–3，5），B（0，5）．抛物线y=-x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（-3，0）两点，交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的积；（3）连接AB，若二次函数y=-x2+bx+c图象向上平移m(m>0)个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．33.（2022洛阳一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）抛物线的对称轴是：直线______；（2）若，为抛物线上两点，满足，，当时，判定与的大小关系，请直接写出结果；（3）已知点D的横坐标为1，且点D在直线上．点C的坐标为，若抛物线与线段CD恰有一个公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．34.（2022河南淮滨三模）如图，直线与x轴和y轴交点分别为A，B，抛物线经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将点B向右平移4个单位长度得到点C，若抛物线与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．35.（2022濮阳一模）在平面直角坐标系xOy中，已知一个二次函数图象上部分点，横坐标x与纵坐标y的对应值满足下表：x…012…y…50…（1）求这个二次函数的表达式；（2）点和在这个二次函数的图象上，且，则的取值范围是______；（3）若直线与x轴、y轴分别交于点M和点N，线段MN与二次函数的图象只有一个交点，直接写出b的取值范围．36.（2022南阳淅川一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．（1）求A，B两点的坐标．（2）结合函数图象写出关于x的不等式的解集．（3）已知点，，若该抛物线与线段MN只有一个公共点，直接写出的取值范围．37.（2022洛阳二模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点的坐标为（1）求抛物线过点时顶点的坐标（2）点的坐标记为，求与的函数表达式；（3）已知点的坐标为，当取何值时，抛物线与线段只有一个交点38.（2022焦作二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，且点B的坐标为，点，且．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）在抛物线上存在一点P，满足，对应的y的取值范围为，求t的值；（3）若点，线段EF与该抛物线只有一个交点，请直接写出m的取值范围．2023年二轮复习解答题专题二十三：二次函数范围问题——公共点个数典例分析例1：（2022开封一模）已知她物线的图象开口向上，且经过点、．（1）求抛物线的解析式：（2）用配方法求出抛物线的顶点坐标和对称轴，（3）若点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象M，若图象M向下平移个单位长度时与直线BC只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）

（2）顶点坐标（1，2），对称轴x=1

（3）1＜t≤7【解析】【分析】（1）把点A(0，3)和B代入，得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；

（2）利用配方法得到，求出抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）画出抛物线，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+2，再利用平移的性质得到图象M向下平移1个单位时，点A在直线BC上；图象M向下平移7个单位时，点D在直线BC上，由于图象M向下平移t(t>0）个单位后与直线BC只有一个公共点，即可得答案．【小问1详解】解：把点A(0，3)和B代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】∵，∴抛物线的顶点坐标（1，2），对称轴x=1；【小问3详解】点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，所以C点坐标为(2，3)，抛物线如下图，

设直线BC的解析式为y=mx+n，把B，C(2，3)代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y=x+2，∵抛物线，当x=4时，=16-2×4+3=11，∴点D的坐标为（4，11），∵直线y=x+2，当x=0时，y=x+2=2，当x=4时，y=x+2=4，∴如下图，点E的坐标（0，2），点F的坐标（4，4），设点A平移后的对应点为点，点D平移后的对应点为点，当图象M向下平移至点与点E重合时，点在直线BC上方，此时t=1，

当图象M向下平移至点与点F重合时，点在直线BC下方，此时t=11-4=7，

结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1<t≤7．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换，解题的关键是利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．专题过关1.（2022长春中考）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式：（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接．当时，求点B的坐标；（3）若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；（4）当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．【答案】（1）（2）（3）或（4）或或．【解析】【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式即可求解；（2）设，根据对称性可得，根据，即可求解；（3）根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形点在轴上时，此时与点重合，当经过抛物线的对称轴时，进而观察图象即可求解；（4）根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线（b是常数）经过点∴解得【小问2详解】如图，由则对称轴为直线，设，则解得【小问3详解】点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴，且在轴上，如图，①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形点在轴上时，此时与点重合，的解析式为，将代入即解得观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当经过抛物线的对称轴时，解得，观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；综上所述，m的取值范围为或【小问4详解】①如图，设正方形与抛物线的交点分别为，当时，则是正方形的中心，即②如图，当点在抛物线左侧，轴右侧时，交点的纵坐标之差为，的纵坐标为的横坐标为在抛物线上，解得③当在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为，，设直线交轴于点，如图，则即设直线解析式为则解得直线解析式为联立解得（舍去）即的横坐标为，即，综上所述，或或．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．2.（2022永州中考）已知关于的函数．（1）若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；（2）若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围．（3）阅读下面材料：设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需．综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为：请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）或，0（2）（3）或【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值；（2）利用函数的图象与轴有交点△≥0，即可得出结论；（3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴画出草图，结合图象分析即可．【小问1详解】根据题意，得解之，得，所以函数的表达式或，当时，的最小值是-8．【小问2详解】根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以．【小问3详解】函数的图象图1：即，所以，的值不存在．图2：即的值.图3：即所以的值不存在图4：即所以的值不存在．图5：即所以值为图6：函数与轴的交点为所以的值为0成立．综上所述，的取值范围是或．【点睛】本题考查二次函数的应用．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中掌握二次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；（3）中需注意分类讨论，结合图象分析更加直观．3.（2022湘潭中考）已知抛物线．（1）如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围．【答案】（1）①，②存在，点P坐标为(2，-3)或（，-），理由见解析（2）b<或b>【解析】【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．【小问1详解】①解：把，代入，得，解得：，∴②解：存在，理由如下，设直线AB的解析式为y=kx+b，把，代入，得，解得，∴直线AB的解析式为y=x-3，设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，即或，解得：m=2或m=或m=3，经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=∴点P坐标为(2，-3)或（，-）【小问2详解】解：把点D（-3，0）代入直线，解得n=4，∴直线，当x=0时，y=4，即点C（0，4）∴CD==5，∵四边形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴点E（5，4）∵点在抛物线上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴，∵该抛物线与线段没有交点，分情况讨论当CE在抛物线内时52+5b+3b-9<4解得：b<当CE在抛物线右侧时，3b-9>4解得：b>综上所述，b<或b>【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．4．（2022天门中考）（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可；（2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；（3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣）②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），则可求≤n≤4．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点A（1，﹣4），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵CB∥x轴，∴B（2，﹣3），设直线AC解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，①当m＞1时，x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，x＝1时，q＝﹣4，x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，x＝1时，q＝﹣4，x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1，综上所述：m的值﹣1或+1；（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣3，①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣5，联立方程组，整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣）②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，解得k＝0（舍）或k＝3，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），∴≤n≤4．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．5.（2022大庆中考）已知二次函数图象的对称轴为直线．将二次函数图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．（1）求b的值；（2）①当时，图象C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图象C中时，结合图象求x的取值范围；（3）已知两点，当线段与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）（2）①，②或或（3）或【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴为直线，求出值即可；（2）①由（1）知，二次函数的解析式为，令，则，可得，令，则，求出，，则，，，证明，则，即，整理得，，求出满足要求的的值即可；②由①可知，二次函数解析式为，轴左侧图象的解析式为，可画图象C如图所示，令，则，求出满足要求的值，令，则，求出满足要求的值，然后结合图求x的取值范围即可；（3）由题意知，二次函数的解析式为，为平行于轴的线段，由题意知，分两种情况求解：①当线段与图象在轴左侧有一个交点时，线段与图象在轴右侧有一个交点，即令，，当时，根据的取值范围求的取值范围，当时，根据的取值范围求的取值范围，然后取公共部分即可；②当线段与图象在轴左侧没有交点，线段与图象在轴右侧有两个交点，即令，，当时，根据的取值范围求的取值范围，当时，根据的取值范围求的取值范围，然后取公共部分即可．【小问1详解】解：由题意知，二次函数对称轴为直线，解得，∴的值为．【小问2详解】①解：由（1）知，二次函数的解析式为，令，则，∴，令，则，解得，或，∴，，∴，，，∵为直角三角形，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，即，整理得，，解得，或（不合题意，舍去），∴的值为．②解：由①可知，二次函数解析式为，∴轴左侧图象的解析式为，与轴的交点坐标为，∴图象C如下所示，∴令，则，解得，或（不合题意，舍去），令，则，解得，或，∴由图象可知求x的取值范围为或或．【小问3详解】解：由题意知，二次函数解析式为，为平行于轴的线段，∴由线段与图象恰有两个公共点可知，①当线段与图象在轴左侧有一个交点时，线段与图象在轴右侧有一个交点，即令，，∴当时，，有，当时，，有，∴；②当线段与图象在轴左侧没有交点，线段与图象在轴右侧有两个交点，即令，，∴当时，，有或，当时，，有，∴；综上所述，的取值范围为或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的翻折，二次函数综合，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．6.已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求点A，点B的坐标；（2）如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）（2）-3（3）或或【解析】【分析】（1）令，由抛物线解析式可得，解方程即可确定点A，点B的坐标；（2）由抛物线解析式确定其对称轴为，可知点P（1，m），再将直线l与抛物线解析式联立，解方程组可确定点C坐标，由列方程求解即可；（3）根据题意先确定点M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，根据一元二次方程的根的判别式为可知，然后分情况讨论时以及结合图像分析a的取值范围．【小问1详解】解：抛物线解析式，令，可得，解得，，故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；【小问2详解】对于抛物线，其对称轴，∵点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m，∴P（1，m），将直线l与抛物线解析式联立，可得，可解得或，故点C坐标为（4，-5），∴，，当时，可得，解得；【小问3详解】将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，结合（1），可知M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，其判别式为，①当时，解得，此时抛物线与线段MN只有一个交点；②当即时，解方程，可得，即，，若时，如图1，由，可解得，

此时有，且，解得；②当时，如图2，由，可解得，

此时有，且，解得；综上所述，当抛物线与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求二次函数与x轴的交点、利用二次函数解决图形问题等知识，解题关键是熟练运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．7.（2022河南邓州一模）已知二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B、C，且，点A坐标为．

（1）求出该二次函数表达式，并求出顶点坐标．（2）将该函数图象沿x轴翻折，如图①，①请直接写出翻折后的图象对应的函数表达式；②翻折前后的函数图象在一起构成轴对称图形，请写出对称轴．（3）将两图象在x轴上方的部分去掉，如图②，当直线与两抛物线所剩部分有4个交点时，请求出k的取值范围．【答案】（1）；顶点坐标为（1，4）；（2）①；

②直线，直线（或x轴）；（3）.【解析】【分析】（1）先求解C的坐标，再求解B的坐标，设，再利用待定系数法求解抛物线的解析式，再配方可得答案；（2）①根据关于x轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数直接得到答案；②结合原图象与翻折后的图象可得对称轴；（3）先判断直线与图象只有3个交点时，的值，再结合函数图象可得答案．【小问1详解】解：由令则则B（3，0），而点A坐标，设，把C（0，3）代入，得，∴，∵，∴顶点坐标为（1，4）；【小问2详解】①把关于x轴翻折可得：整理得：，②翻折后关于抛物线的对称轴对称，此时对称轴为直线，同时两个图象关于两个图象的交点所在的中线对称，此时对称轴为：直线（或x轴）；【小问3详解】解：当直线过点A时，则有3个交点，把代入，得，当直线与抛物线只有一个交点（相切）时，则有3个交点．则，则，即，解得，由图像知：若有4个交点，则．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式、二次函数图象的性质、二次函数的图形与直线的交点坐标问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．8.（2022河南邓州二模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．（1）请求出抛物线对称轴及A、B两点坐标；（2）直接写出不等式时的解集；（3）已知线段的两个端点坐标、，当该抛物线与线段有交点时，求a的取值范围．【答案】（1）；A（-1，0），B（3，0；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）将抛物线化为两根式求解即可．（2）根据抛物线经过定点A，B，结合函数图象求解即可；（3）根据抛物线经过定点A，B，通过抛物线与直线x=2交点坐标以及抛物线顶点坐标，列不等式组求解．【小问1详解】∵y=ax2-2ax-3a=a（x2-2x-3）=a（x-3）（x+1），∴抛物线的对称轴为：；令y=0，则a（x-3）（x+1）=0∵∴（x-3）（x+1）=0∴x=3或x=-1，∵点A在点B左侧∴点A（-1，0），B（3，0；【小问2详解】当时，抛物线开口向上，恒过点（-1，0）和（3，0）两点，如图，结合图象可得：不等式时的解集为：或；【小问3详解】当时，抛物线开口向上，大致图象如图所示，设直线x=2与抛物线的交点为点G，则点G的坐标为（2，-3a），要使抛物线与CD只有交点，则点G必在CD上方或与点D重合，顶点在CD的下方或CD上∴∴又∴【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数的两根式解析式，通过数形结合的方法求解是解答本题的关键．9.（2022安阳一模）如图，二次函数的图象过点，．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若一次函数的图象与二次函数的图象有交点，求的取值范围；（3）过点作轴的平行线，以为对称轴将二次函数的图象位于上方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）当时，翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）联立一次函数与二次函数解析式得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可；（3）设抛物线对称轴与x轴交于F，与抛物线交于E，设原二次函数与y轴交点为C，分别求出当翻折后E与F重合，C与O重合时p的值，即可得到答案．【小问1详解】解：∵二次函数的图象过点，，∴，∴，∴二次函数解析式为；【小问2详解】解：联立得，∵一次函数的图象与二次函数的图象有交点，∴方程有实数根，∴，∴；【小问3详解】解：设抛物线对称轴与x轴交于F，与抛物线交于E，设原二次函数与y轴的交点为C，∴点C的坐标为（0，2），∵抛物线解析式为，∴点E的坐标为（1，3），∴EF=3，当经过翻折后所得部分与轴恰好只有一个交点时，即点E翻折后与点F重合，∴此时MN垂直平分EF，∴，当经过翻折后所得部分与x轴的一个交点恰好为原点时，即点C翻折后与原点重合，此时MN垂直平分OC，∴，∴当时，翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴的正半轴．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数与x轴的交点问题，翻折的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．10.（2022北京顺义二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．（1）当时，①求抛物线的对称轴；②若点，都在抛物线上，且，求的取值范围；（2）已知点，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．【答案】（1）①直线；②（2）或或【解析】【分析】（1）①将代入解析式即可求解．根据二次函数的性质求得对称轴；②根据抛物线的开口向上，根据点与对称轴的距离越大函数值越大，即可求解．（2）根据题意画出函数图象，结合函数图象即可求解．【小问1详解】①当时，，对称轴为直线；②抛物线的对称轴为直线，开口向上，则点与对称轴的距离越大函数值越大，点，都在抛物线上，且，，，，【小问2详解】点，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．则,，，当抛物线经过时，，解得，当抛物线的顶点在上时，，，则，即，解得或，当抛物线经过点时，，解得，此时与抛物线有2个交点，则当时，符合题意，综上所述，结合函数图象，得或或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．11.（2022北京人大附中一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2时，①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．【答案】（1）①n﹣1；②x2＜﹣2或x2＞4；（2）m≤﹣2或m＝2或．【解析】【分析】（1）①把m＝2代入抛物线解析式，利用x＝−，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含n的式子表示出顶点的纵坐标；②利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；（2）把n＝3代入，再分抛物线经过点Q，抛物线经过点P（−1，2），抛物线的顶点在线段PQ上，三种情况分类讨论，得出相应的m值，从而得结论．【详解】解：（1）①∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣2x+n．∵x1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∵当线x＝1时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，∴顶点的纵坐标为：n﹣1．②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，x＝﹣2到x＝1的距离为3，∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，故答案为：x2＜﹣2或x2＞4．（2）∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q．∴点Q的坐标为（3，2），∵n＝3，抛物线为y＝x2﹣mx+3．当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得；当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；当抛物线的顶点在线段PQ上时，2，解得m＝±2．结合图象可知，m的取值范围是m≤﹣2或m＝2或．故答案为：m≤﹣2或m＝2或．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题，属于中等难度的题目．12.（2022北京门头沟二模）在平面直角坐标系中xOy中，已知抛物线（）．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当时，求抛物线的表达式；（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M．①直接写直线与图形M公共点的个数；②当直线（）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．【答案】（1）x=1（2）（3）k>2或【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式直接求解；（2）把m=1代入解析式即可；（3）①因为和y=x+1与x轴均交于（-1，0），而直线y=x+1过一、二、三象限，故可知新图形M与直线y=x+1有三个公共点；②分k>0和k<0分析，当k>0时，直线y=k(x+2)-1在过点A和点B的直线间时，与图形M有两个公共点；当直线y=k(x+2)-1与抛物线（-1≤x≤3）相切时有两个公共点；当k<0，易知与图象M无公共点或有1个公共点．【小问1详解】解：抛物线的对称轴是．【小问2详解】解：当x=1时，．【小问3详解】解：①如图，当x=0，y=-3，当y=0，x=-1或x=3，∴与坐标轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），（0，-3）∴抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折得到的图象与y轴交于（0，3），则解析式为（-1≤x≤3）又∵y=x+1与x轴交于（-1，0），k>0，∴直线y=x+1过一、二、三象限，∴新图形M与直线y=x+1有三个公共点；②当k>0时，如图3，若直线y=k(x+2)-1经过点A时，0=k-1，k=1，即y=x+1，经过点B时，0=5k-1，k，即，∴当k=1时，直线y=k(x+2)-1与图形M有三个公共点，当k时，直线y=k(x+2)-1与图形M有一个公共点，当时，直线y=k(x+2)-1与图形M有两个公共点；若直线y=k(x+2)-1与抛物线（-1≤x≤3）相切时，如图4，则，∴，即∴△=解得k=2，k=10，当k=2时，y=2x+3，与抛物线切于（0，3），当k>2时，直线y=k(x+2)-1与图形M有两个公共点；当k<0时，∵直线y=k(x+2)-1=kx+2k-1过二、三、四，∴由图象可知与图形M没有公共点或有一个公共点，综上所述，当k>2或时，直线y=k(x+2)-1与图形M有两个公共点．【点睛】本题考查了二次函数的性质，折叠的性质，直线与抛物线的交点，分类讨论，并根据题意正确画出图形是解题关键．13.（2022人大附中一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．（1）求此二次函数的解析式；（2）当时，求二次函数的最大值和最小值；（3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．①求的取值范围；②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围．【答案】（1）；（2）最大值为；最小值为－2；（3）①；②或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解．（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．（3）①由求出取值范围，②通过数形结合求解．【详解】解：（1）将，点代入得：，解得，∴．（2）∵，∵抛物线开口向上，对称轴为直线．∴当时，取最小值为－2，∵，∴当时，取最大值．（3）①，当时，，的长度随的增大而减小，当时，，的长度随增大而增大，∴满足题意，解得．②∵，∴，解得，如图，当时，点在最低点，与图象有1交点，增大过程中，，点与点在对称轴右侧，与图象只有1个交点，直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为，∴时，与图象有2个交点，当时，与图象有1个交点，综上所述，或时，与图象交点个数为1，时，与图象有2个交点．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．14.（2022郑州枫杨外国语二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（–3，5），B（0，5）．抛物线y=-x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（-3，0）两点，交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的积；（3）连接AB，若二次函数y=-x2+bx+c的图象向上平移m(m>0)个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【答案】（1），（2）（3），或【解析】【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合的取值范围求解．（3）结合图象，分别求出抛物线顶点在上，经过点，时的值，进而求解．【小问1详解】解：将，代入得，解得，，抛物线顶点坐标为．【小问2详解】解：抛物线开口向下，顶点坐标为，函数最大值为，对称轴为直线，，时，为函数最小值，当时，的最大值与最小值的积为．【小问3详解】解：二次函数的图象向上平移个单位后解析式为，抛物线顶点坐标为，当顶点落在线段上时，，解得，当抛物线向上移动，经过点时，，解得，当抛物线经过点时，，解得，当，或时，函数图象与线段有一个公共点．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．15.（2022河南上蔡二模）如图，在平面直角坐标系中，，．已知抛物线．（1）求抛物线的对称轴．（2）若当时，函数的最大值为10，求a的值．（3）若抛物线的顶点在的内部（不含边界），求a的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】【分析】（1）将抛物线的一般式转化成顶点式即可求出对称轴；（2）讨论和两种情况，分析函数增减性可知：当时，函数最大值在处取到，得到；当时，函数最大值在处取到，得到；（3）由（1）可知顶点坐标，求出直线AB，OB的解析式，利用顶点坐标在内部，结合图象即可求出a的范围【小问1详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为：直线；【小问2详解】解：当时，开口向上，由函数增减性可知：时，y随x的增大而减小；，y随x的增大而增大；且到对称轴的距离较远，∴函数最大值在处取到，得到；当时，开口向下，由函数增减性可知：时，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小；∴函数最大值在处取到，得到；综上所述：或；【小问3详解】解：由（1）可知顶点坐标为，设直线AB解析式为，将A，B点坐标代入可得：，解之得，故AB解析式：，同理可得直线OB解析式为：，∵顶点坐标在内部，且当时，，∴，解之得：，∴a的取值范围为．【点睛】本题考查二次函数，一次函数综合问题，熟练掌握二次函数图象和性质，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．16.（2022河南上蔡三模）已知抛物线过点，交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且对于任意实数m，恒有成立．（1）求抛物线的解析式．（2）作直线BC，点是直线BC上一点，将点E向右平移2个单位长度得到点F，连接EF．若线段EF与抛物线只有1个交点，求点E横坐标的取值范围，（3）若，，三点都在抛物线上且总有，直接写出n的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】【分析】（1）分析可知：点是拋物线的顶点．即，，求出即可求出解析式；（2）求出点，，，顶点坐标为，进一步可知直线BC的解析式为．分情况讨论：当点F与抛物线顶点重合时，当点E与点C重合时，当点E与点B重合时，结合图象求解即可；（3）分析可知点不可能在抛物线的对称轴上，点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧且点到对称轴的距离比点近．故可得，解得．再利用点在对称轴的左侧，且点到对称轴的距离比点近．可知，解得．故可知n的取值范围为．【小问1详解】解：∵对于任意实数m，恒有成立，且抛物线过点，∴点是拋物线的顶点．∴，，即，解得或．∵，∴．∴抛物线的解析式为．【小问2详解】解：令，解得：，，∴，，令，可得：，∴，∵，∴抛物线的顶点坐标为，∴设直线BC的解析式为，将，代入可得：，解得：，∴直线BC的解析式为．①当点F与抛物线顶点重合时，如解图1所示，此时点F的坐标为．结合平移的性质，可知此时点E的坐标为．∴点E在直线BC上，且线段EF与抛物线只有1个交点．②当点E与点C重合时，如解图2所示，此时点，点．∴点F在抛物线上，此时线段EF与抛物线有2个交点③当点E与点B重合时，如解图3所示，此时线段EF与抛物线只有1个交点．综上所述，当线段EF与抛物线只有1个交点时，点E横坐标的取值范围为或．【小问3详解】解：．理由：当抛物线开口向下时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，且抛物线上的点到对称轴的距离越近，其对应的y值越大．结合题意，可知点不可能在抛物线的对称轴上，点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧且点到对称轴的距离比点近．∴，解得．∴点在对称轴的左侧，且点到对称轴的距离比点近．∴，解得．∴n的取值范围为．【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数性质，以及平移的性质．17.（2022驻马店二模）已知二次函数．

（1）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不列表，用黑色水笔画图）；（3）当时，结合图象直接写出函数y的取值范围；（4）设抛物线与x轴分别交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点为C，将点C向右平移3个单位得到点D．若抛物线与线段CD恰好有一个交点，求m的取值范围．【答案】（1）该抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-4）；（2）见解析；（3）；（4）-3<m<0或m=1【解析】【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）利用图象分别得到x=-1及x=2的函数值，即可得到此时y的取值范围；（4）由（2）得，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），由平移得到D（3，-3），当抛物线向上移动时，计算当x=1时y=-3，即1-2-3+m=-3，得m=1；当抛物线向下移动时，分别求出抛物线过点C，点D时，的m值，即可得到，m的取值范围．【小问1详解】解：，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-4）；【小问2详解】当y=0时，即x2-2x-3=0，∴x1=-1，x2=3，∴图象与x轴的交点是（-1，0），（3，0），当x=0时，y=-3，∴图象与y轴的交点是：（0，-3）；如图所示，【小问3详解】由图象得，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=-3，且图象的顶点坐标为（1，-4），∴当时，【小问4详解】由（2）得，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），将点C向右平移3个单位得到点D，故D（3，-3），当抛物线向上移动时，若抛物线与线段CD恰好有一个交点，则抛物线的顶点在线段CD上，∴当x=1时y=-3，即1-2-3+m=-3，得m=1；当抛物线向下移动时，当抛物线过点C（0，-3）时，-3+m=-3，得m=0，当抛物线过点D（3，-3）时，9-6-3+m=-3，得m=-3，∴若抛物线与线段CD恰好有一个交点，则-3<m<0，综上，m的取值范围为-3<m<0或m=1．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，与坐标轴的交点求法，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后画出函数图象找出自变量x的范围，锻炼了学生数形结合的思想方法．18.（2022河南西华二模）如图，直线与x轴和y轴交点分别为A，B，抛物线经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将点B向右平移4个单位长度得到点C，若抛物线与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由直线与x轴和y轴交点分别为A，B，可求出A、B坐标，再代入二次函数表达式求解即可；（2）先求出C点坐标，再结合图形，根据线段端点带值进行判断即可．【小问1详解】解：直线与x轴和y轴交点分别为A，B，当时，，即A，当时，，即B，∵抛物线经过A，B两点，代入坐标可得，，解得，∴抛物线解析式为：．【小问2详解】由已知，将点B向右平移4个单位长度得到点C，∴C的坐标为，抛物线顶点坐标为，∵平移之后，抛物线与线段BC恰好有一个交点，当顶点坐标在BC上时，即平移之后抛物线顶点为，∴此时m＝1；当平移之后抛物线经过C点时，代入C点坐标，得：，解得，故m的取值范围是：或．【点睛】本题考查了待定系数求解析式，二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元一次方程，待定系数法求解析式．19.（2022周口川汇区一模）如图，抛物线y＝x2+bx与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．（1）求b和k的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x2+bx的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．【答案】（1）b=2，k=1（2）（3）或【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)首先求出点B的坐标，再观察函数图象即可求解；(3)画出图，根据图进而求解即可．【小问1详解】解：把点A（﹣2，0）代入y＝x2+bx得0=4-2b，解得b=2把点A（﹣2，0）代入y＝kx+2得0=-2k+2，解得k=1故b=2，k=1【小问2详解】解：由(1)知抛物线与直线的解析式分别为：y＝x2+2x，y＝x+2由解得或(舍去)故点B的坐标为(1,3)故由图象可知：不等式kx+2＞x2+bx的解集为【小问3详解】解：如图：设直线与y轴的交点为点E，抛物线的顶点为点C，对称轴所在直线与直线的交点为点D当点M在点A的左侧或点B的右侧时，线段MN与抛物线没有公共点在y＝x+2中，令x=0，则y=2，则点E(0,2)，OE=2y＝x2+2x=(x+1)2-1，故点C(-1,-1)当x=-1时，y＝x+2=-1+2=1则DC=1+1=2故当点M在点D、E之间时，将点M向下平移2个单位长度得到点N，线段MN与抛物线没有公共点故当或时，线段MN与抛物线有公共点【点睛】本题考查了利用选定系数法求二次函数及一次函数的解析、利用图象求不等式的解集，坐标与图形，画出图形确定点M的位置是解题的关键．20.（2022信阳三模）如图，直线与x轴和y轴交点分别为A，B，抛物线经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将点B向右平移4个单位长度得到点C，若抛物线与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由直线与x轴和y轴交点分别为A，B，可求出A、B坐标，再代入二次函数表达式求解即可；（2）先求出C点坐标，再结合图形，根据线段端点带值进行判断即可．【小问1详解】解：直线与x轴和y轴交点分别为A，B，当时，，即A，当时，，即B，∵抛物线经过A，B两点，代入坐标可得，，解得，∴抛物线解析式为：．【小问2详解】由已知，将点B向右平移4个单位长度得到点C，∴C的坐标为，抛物线顶点坐标为，∵平移之后，抛物线与线段BC恰好有一个交点，当顶点坐标在BC上时，即平移之后抛物线顶点为，∴此时m＝1；当平移之后抛物线经过C点时，代入C点坐标，得：，解得，故m的取值范围是：或．【点睛】本题考查了待定系数求解析式，二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元一次方程，待定系数法求解析式．21.（2022郑州外国语一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．

（1）求抛物线的解析式；（2）已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图像G，若图像G向下平移t（）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组求得b、c的值，即可得到抛物线的解析式；（2）利用配方法可得，则抛物线的对称轴为直线，然后根据点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，即可求得点C的坐标；（3）画出图象，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为，再利用平移的性质得到图象G向下平移1个单位时，点A的直线BC上；图象G向下平移3个单位时，点D在直线BC上；然后根据图像G向下平移t（）个单位后与直线BC只有一个公共点即可求得答案.【小问1详解】解：把点和代入得：，解得：，所以抛物线解析式为；小问2详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，∴C点坐标为；【小问3详解】解：如图，设直线BC的解析式为，

把，代入，得：，解得：，∴直线BC的解析式为，当时，，∴图象G向下平移1个单位时，点A的直线BC上，当时，，∵时，，∴图象G向下平移3个单位时，点D直线BC上，∴当时，图象G向下平移t（）个单位后与直线BC只有一个公共点．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.也考查了待定系数法求函数解析式.解题的关键是利用数形结合思想，把抽象问题直观化.22.（2022郑州二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中a为常数，点在此抛物线上．（1）求此时抛物线的解析式及点A的坐标；（2）设点为抛物线上一点，当时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；（3）已知点为平面直角坐标系内两点，连接．若抛物线向上平移c个单位的过程中，与线段恰好只有一个公共点，请直接写出c的取值范围．【答案】（1）．点A的坐标为（2）9（3）或【解析】【分析】（1）将点的坐标代入解析式中求解得出a的值即可；（2）根据抛物线的开口方向以及对称轴方程可得x=﹣1时y取最小值，x=2时y取最大值，进而求解；（3）分类讨论抛物线顶点落在PQ上，点P和点Q落在抛物线上的临界值，通过数形结合求解即可．【小问1详解】解：把点代入抛物线解析式，得，解得，抛物线的解析式为．点A的坐标为，【小问2详解】抛物线的对称轴为直线，且，当时，，当时，；当时，，，点M纵坐标y的最大值与最小值的差为，．【小问3详解】解：由题意可知，PQ∥x轴，抛物线开口向上，对称轴为直线x=﹣1，抛物线顶点坐标为（﹣1，c－7），当抛物线落在PQ上时，满足题意，把Q（2,3）代入，得，解得：c=﹣5，把P（﹣2，﹣3）代入得，解得：c=3，∴0＜c＜3满足题意，综上所述，或．【点睛】本题考查二次函数的性质，利用待定系数法求函数解析式，能够掌握二次函数与方程的关系，并通过数形结合方法求解是解决本题的关键．23.（2022河南永城一模）如图，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣4与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（－2，0）．（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；（2）若抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当直线y＝x＋b与新图象只有1个公共点时，求b的取值范围．【答案】（1）（4，0），（2）或【解析】【分析】（1）运用待定系数法求得抛物线解析式，再令y=0，解得B点坐标．（2）运用数形结合的方法，找到符合题意的b的取值范围．【小问1详解】解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣4与x轴交于A点，点A的坐标为（－2，0），∴将A（－2，0）代入抛物线y＝mx2﹣2mx﹣4中，解得，．故抛物线解析式为，．令y=0，解得，，，∵点A的坐标为（－2，0），∴点B的坐标为（4，0）．综上，B的坐标（4，0），抛物线解析式为，．【小问2详解】解：∵抛物线解析式为，，令x=0，解得y=-4，即点C（0，-4），∴直线l的解析式为y=-4．由题意得，新函数的解析式为，，如图1，当直线y＝x＋b过点C（0，-4）时，b=-4，此时，直线y＝x＋b与新图象有2个公共点，如图2，当直线y＝x＋b与（x≥0）只有一个交点时，直线y＝x＋b与新图象有2个公共点，令，整理得，，令，得，，解得，，综上，当或时，直线y＝x＋b与新图象只有1个公共点．【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，以及与二次函数相关的新函数的图象性质，通过数形结合的方法找到图象交点的特殊位置是解题的关键．24.（2022河南商城一模）如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的表达式；（2）P（x1，y1），Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点的横坐标x1的取值范围；（3）点M为直线AB上一动点，将点M沿与y轴平行的方向平移一个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．【答案】（1）点B（0，2），抛物线；（2）P点的横坐标x1的取值范围；（3）点M的横坐标的取值范围点M的横坐标的取值范围或．【解析】【分析】（1）先根据直线与x轴交于点A（3，0）求出，得出直线，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）Q（4，y2）两点均在该抛物线上，求出；然后当y=-6时，，求出时的横坐标，根据函数的增减性得出P点的横坐标x1的取值范围；（3）设点N在抛物线上N（x,），点M（x,），MN=，根据MN=1，得出方程，解方程求出，得出点M的横坐标的取值范围或．【小问1详解】解：∵直线与x轴交于点A（3，0），∴，解得，∴直线，∵直线，与y轴交于点B，∴x=0，y=2，∴点B（0，2），∵抛物线经过点A（3，0），点B（0，2），∴，解得：，∴抛物线；【小问2详解】解：Q（4，y2）两点均在该抛物线上，∴；当y=-6时，，因式分解得解得或，∴（），Q（4，-6），∵a=＜0，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵y1≥y2，∴P点的横坐标x1的取值范围；【小问3详解】解：设点N在AB上方抛物线上N（x,）为满足条件的极高点，点M（x,）∴MN=∵MN=1，∴∴，∴当点N在AB下方抛物线上N（x,）为满足条件的极低点，点M（x,）∴MN=∵MN=1，∴∴，∴∵线段MN与抛物线只有一个公共点，∴点M的横坐标的取值范围或．【点睛】本题考查直线上点的特征，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，两点距离，一元二次方程，掌握直线上点的特征，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，两点距离，一元二次方程是解题关键．25.（2022河南西平一模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，该抛物线的对称轴与x轴交于点A．（1）求C，A两点的坐标，并用含m的式子表示出抛物线的顶点坐标M；（2）若，抛物线上有两点，，且，则n的取值范围是______．（3）将点A向右移动2个单位长度，再向上移动3个单位长度得到点B，若抛物线与线段AB没有公共点，求B点的坐标，并直接写出m的取值范围．【答案】（1）；；（2）（3）；m的取值范围是或【解析】【分析】（1）由抛物线的解析式经过变形后可得结论；（2）利用抛物线的对称性即可得到答案；（3）分为和两种情况结合函数图象讨论求解即可．【小问1详解】∵，∴当时，，∴点坐标为．抛物线的对称轴是直线．∴．∵，∴抛物线的顶点坐标为．【小问2详解】∵，∴抛物线开口向下，∵抛物线的对称轴是直线，∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；∵点，都在抛物线上，∴点关于直线对称的点的坐标为，∵，∴，∴取值范围是．【小问3详解】将点向右移动2个单位长度，上移动3个单位长度，可得点．∵抛物线与线段AB没有公共点，故分为和两种情况讨论：①当时，抛物线开口朝上，如图1所示．∵当时，，∴．∴．∴．②当时，抛物线开口朝下，如图2所示．由（1）知，抛物线顶点坐标为，∴．∴．∴．综上所述：m的取值范围为或．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，待定系数法求二次解析式，增减性，平移的规律等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数平移变换的特点是解题的关键．26.（2022河南商水二模）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线经过点A、点B．（1）求该抛物线的解析式．（2）根据图象直接写出的解集；（3）将点B向右平移4个单位长度得到C，若拋物线与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．【答案】（1）（2）或（3）或【解析】【分析】（1）求出A、B的坐标，再代入二次函数解析式，即可求解；（2）将所求表达式变形为，结合函数图象