4.2.1 指数函数的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教

4.2.1指数函数的概念【问题1】随着中国经济的高速增长,旅游人数不断增加,A、B两个景区自2001年起采取了不同的应对措施,A地提高了门票价格,B地则取消了门票.下表给了A、B两个景区2001~2015年的游客人次及逐年增加量.探究1比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？A景区B景区年份人次增加量人次增加量20016002782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111224126

画散点图

用什么方法更易发现规律分析：为了便于观察，可以先根据表格中数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连接起来，你发现了什么规律？思考:景区人次与年份是不是函数关系？如果是，你能用函数表达式表示吗？对于景区B呢?用同样方法可以求出函数关系吗？【探究】我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.那么能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？增加量=变后量-变前量从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到【结论】结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数.……增长率=增加量变前量=变前量变后量-变前量=变前量变后量-1

总结：B景区的游客人次的年增长率都约为0.11.增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长，因此，B景区的游客人次近似于指数增长.B景区：2001年的游客人次为278万；1年后，游客人次是2001年的1.11倍；2年后，游客人次是2001年的1.11²；3年后，游客人次是2001年的1.11³；············x年后，游客人次是2001年的1.11x；如果设x年后的游客人次是2001年的y倍，那么y=1.11x(x∈[0,+∞)).问题2从2021年3月20日起，国家考古队在三星堆又有一系列重大收获，如黄金面具、青铜神树、青铜纵目面具等，震惊了世界。据考古专家推断，三星堆文物距今已有3219年！如何推断的？【追问】当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按照确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期。按照上述变化规律，生物体内碳14与死亡年数之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，则死亡1年后，生物体内碳14含量为(1-p);死亡2年后，生物体内碳14含量为(1-p)2;……死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1-p)5730;死亡x年后呢？提炼：问题：以上两个式子有何共同特征？(1)均是幂形式；(2)底是一个常数；(3)自变量x在指数位置上；y=1.11x二、抽象特征，形成概念指数函数的定义

一般地：形如y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数.其中x是自变量,函数的定义域是R观察指数函数的特点:系数为1底数为正数且不为1x系数为1指数函数y=ax(a>0且a≠1)与幂函数y=xa有什么区别和联系？

01a当a=1时，ax

恒等于1，没有研究的必要.

当a<0时，ax有些会没有意义，如

当a=0时，ax有些会没有意义，如为了便于研究，规定：(a>0且a≠1)为什么概念中明确规定a>0,且a≠1？三、概念应用，加深理解例1已知指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值.

B景区：2001年的游客人次为278万；如果设x年后的游客人次是2001年的y倍，那么y=1.11x(x∈[0,+∞)).y=10x+600(x∈[0,+∞))(x∈[0,+∞))(x∈[0,+∞))

所以，生物死亡1000年以后，它体内碳14含量缩减为原来的约30%。小结：1、我们是如何引出指数函数概念的？四、课堂总结，提炼升华2、么样的函数是指数函数，其解析式有什么特征？实际问题数学问题指数函数的概念抽象归纳

(a>0且a≠1)

指数函数的概念

一般地，形如的函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是_____.复习1.用列表，描点法画出指数函数图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；2.通过观察、总结指数函数的图像与性质；掌握底数对指数函数图象的影响；3.学会利用指数函数单调性来比较大小；列表——描点——连线作出函数的图象，观察函数图像得到函数性质：１.如何来研究指数函数的性质呢？探究点

指数函数的图象-2-1.5-1-0.500.511.520.50.250.350.7111.4122.834011011x-2-1.5-1-0.500.511.5242.8321.4110.710.50.350.25011关于y轴对称…0.0370.110.3313927…y=3-x…279310.330.110.037…y=3x…3210-1-2-3…x(2)与的图象.

列表：图象011关于y轴对称011小结：底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称0110110101y=ax(0<a<1)y=ax(a>1)0101图象共同特征：（1）图象可向左、右两方无限伸展（3）都经过坐标为（0，1）的点（2）图象都在x轴上方图象在R上单调递增图象在R上单调递减（2）在R上是减函数（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1性质（0，+∞）

值域R定义域图象a>10<a<1探究点

指数函数的性质（2）在R上是增函数

0101例1.比较下列各题中两个值的大小解：(1)根据函数y=1.7x的性质：y=1.7x在R上单调递增，∵2.5<3∴1.72.5<1.73。(2)根据函数y=0.8x的性质：y=0.8x在R上单调递减，∵-0.1>-0.2∴0.8-0.1<0.8-0.2。(3)根据函数y=1.7x的性质，1.70.3>1.70=1，根据函数y=0.9x的性质，0.93.1<0.90=1，所以1.70.3>0.93.1根据指数函数的性质用“＞”或“＜”填空：＞＞＜＜【变式练习】1.函数y=ax-3+2（a＞0且a≠1）的图象一定经过点P，则P点的坐标为（）A.（-2，-3） B.（3，3） C.（3，2） D.（-3，-2）【解析】因为y=ax-3+2（a＞0且a≠1），所以当x-3=0，即x=3时，y=3，所以函数y=ax-3+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P（3，3）.【解析】ｃ,ｄ大于１且ｃ＞ｄａ,ｂ大于０小于１且ｂ＜ａ∴ｂ＜ａ＜１＜ｄ＜ｃ结论：在第一象限，离x轴越远底数越大2.如图,指数函数:A.y=axB.y=bxC.y=cxD.y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是________________.

xyBDCAOｂ＜ａ＜１＜ｄ＜ｃ3.如图的曲线是C1、C2、C3、C4是指数函数

的

图象，而

，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数图象的底数依次是________________解析：在第一象限，图象离x轴越远底数越大。4.若0<a<1，则关于x的不等式的解集为________________∴∵∴解：根据函数的性质：∵,∴在R上单调递减∴不等式的解集为5.若,求x的取值范围.解：根据函数的性质：（1）当

时,在R上单调递减，∵∴∴（2）当

时,在R