2024-2025学年福建省福州一中九年级（上）适应性数学试卷（一）

第1页（共1页）2024-2025学年福建省福州一中九年级（上）适应性数学试卷（一）一.选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）△ABC∽△DEF，若AB＝1，DE＝2（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：22．（4分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形3．（4分）若△ABC∽△DEF且相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：14．（4分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，DE＝1.2，则EF的长为（）A．2.4 B．3 C．3.6 D．4.85．（4分）如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的（）A．点A B．点B C．点C D．点D6．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，若AB＝2，BC＝3（）A． B． C． D．7．（4分）下列说法正确的是（）A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 B．两个矩形一定相似 C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D．相似三角形一定不是全等三角形8．（4分）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a，宽BC＝b，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD与矩形ABCD相似（）A． B． C． D．9．（4分）正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则＝（）A． B． C． D．10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E，F分别是边AB，且AF⊥ME，G为垂足．若EB＝2，则四边形BFGE的面积为（）A． B． C． D．二.填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，DB＝6，则的值为．12．（4分）如图，△ABC和△DEF是位似三角形，点O是位似中心，DF＝3，OA＝6（）13．（4分）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB，且∠AED＝∠B，如果AD＝4，那么AC的长为．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C是以点C为位似中心的位似图形，则其相似比是．15．（4分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，且BC＝AC，AD＝2时，线段BD的长度为．16．（4分）如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，以AE，EF为边作矩形AEFG，则点G到AD距离的最大值是．三、解答题（86分）17．（8分）计算：．18．（8分）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，AF＝CE，求证AB＝CD．19．（8分）先化简，再求值：，其中．20．（8分）如图△ABC∽△ACD，∠D＝90°，AC＝，求AB及BC的长．21．（8分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形2＝AC•DB．（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．22．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE．（1）求证：AE2＝EF•BE；（2）若AE＝2，EF＝1，CF＝423．（10分）△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°1C1．（1）求∠BAC1的度数；（2）若，线段B1C1与AB，BC分别交于M、N，求MN的长．24．（12分）如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC中点，且∠AFE＝∠A，MD∥EF交AC于点M．（1）求证：DM＝DA；（2）点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图225．（14分）已知抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，BC，点D在点A（不与点A，C重合）．①当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；②若直线OD与抛物线的另一交点为E，点F在射线ED上，且点F的纵坐标为﹣2．

2024-2025学年福建省福州一中九年级（上）适应性数学试卷（一）参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）△ABC∽△DEF，若AB＝1，DE＝2（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴，即相似比为5：2；故选：A．2．（4分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形【解答】解：A、正三角形既是轴对称图形，错误；B、圆既是轴对称图形，正确；C、线段是轴对称图形，错误；D、平行四边形不是轴对称图形，错误；故选：B．3．（4分）若△ABC∽△DEF且相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的面积比为7：16，故选：C．4．（4分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，DE＝1.2，则EF的长为（）A．2.4 B．3 C．3.6 D．4.8【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，∴EF＝3.5，故选：C．5．（4分）如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：∵△MNP≌△MEQ，∴点Q应是图中的D点，如图，故选：D．6．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，若AB＝2，BC＝3（）A． B． C． D．【解答】解：∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∵∠BAC＝90°∴∠ADC＝∠BAC＝90°∵∠C＝∠C∴△ABC∽△DAC∴∵AB＝2，BC＝3∴AC＝∴∴DC＝．故选：D．7．（4分）下列说法正确的是（）A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 B．两个矩形一定相似 C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似 D．相似三角形一定不是全等三角形【解答】解：A、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，所以这两个等腰三角形相似，本选项符合题意；B、两个矩形一定相似，边不一定成比例；C、有一个角等于45°的两个等腰三角形相似，45°角不一定是对应角；D、相似三角形一定不是全等三角形，是全等三角形．故选：A．8．（4分）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a，宽BC＝b，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD与矩形ABCD相似（）A． B． C． D．【解答】解：∵b：＝a：b，∴a2＝2b2，∴a＝b，则a：b＝：1．故选：A．9．（4分）正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，AE＝BF，∠EAD＝∠B＝90°，∴△ADE≌△BAF．∴∠ADE＝∠BAF，∠AED＝∠BFA．∵∠DAO+∠FAB＝90°，∠FAB+∠BFA＝90°，∴∠DAO＝∠BFA，∴∠DAO＝∠AED．∴△AOD∽△EAD．所以＝＝．故选：D．10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E，F分别是边AB，且AF⊥ME，G为垂足．若EB＝2，则四边形BFGE的面积为（）A． B． C． D．【解答】解：过点M作MH⊥AB，垂足为H，∴∠MHB＝90°，∵点M是CD边的中点，∴DC＝2MC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC＝2MC，∴四边形MHBC是矩形，∴MH＝BC，MC＝BH，∵AB＝7BC，∴AB＝2MH，∵AF⊥ME，∴∠AGE＝90°，∴∠GAE+∠AEG＝90°，∵∠AEG+∠HME＝90°，∴∠GAE＝∠HME，∵∠MHE＝∠B＝90°，∴△ABF∽△MHE，∴＝，∴＝，∴HE＝，∵BE＝8，∴MC＝BH＝HE+BE＝2.5，∴AB＝2BH＝5，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣6＝3，∴AF＝＝＝，∵∠AGE＝∠B＝90°，∠GAE＝∠BAF，∴△AGE∽△ABF，∴＝＝，∴＝＝，∴AG＝，GE＝，∴四边形BFGE的面积＝△ABF的面积﹣△AGE的面积＝AB•BF﹣＝×5×1﹣××＝，故选：B．二.填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，DB＝6，则的值为．【解答】解：∵AD＝3，DB＝6，∴AB＝5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝故答案为：12．（4分）如图，△ABC和△DEF是位似三角形，点O是位似中心，DF＝3，OA＝6（）【解答】解：∵AC＝9，DF＝3，∴AC：DF＝2：1．∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，∴OA：OD＝3：8，∵OA＝6，∴DF的长为2．故选：A．13．（4分）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB，且∠AED＝∠B，如果AD＝4，那么AC的长为．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，∴，∴，解得AC＝．故答案为：．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C是以点C为位似中心的位似图形，则其相似比是2：1．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C是以点C为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△A5B1C，相似比为AB：A1B7＝2：＝2：1．故答案为2：1．15．（4分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，且BC＝AC，AD＝2时，线段BD的长度为．【解答】解：如图，在AB上截取AM＝AD＝2，把△AMN绕A逆时针旋转得△ADE，则MN⊥AC，DE＝MN，∴∠AED＝∠ANM＝90°，∵AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADCAC，∴tan∠BAC＝，∴BC：AC：AB＝6：4：5，∵MN∥BC，∴△ABC∽△AMN，∵△AMN∽△ADE，∴△ABC∽△ADE，∴，∴，又∵∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴，∵△AMN∽△ABC，∴，∴，∵∠BAC＝∠ADC，∴∠DAE＝∠ADC，∴AE∥CD，∴∠CDE+∠AED＝180°，∴∠CDE＝180°﹣∠AED＝90°，在Rt△CDE中，CE＝，∴BD＝CE＝．故答案为：．16．（4分）如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，以AE，EF为边作矩形AEFG，则点G到AD距离的最大值是1．【解答】解：如图所示：过点G作GH⊥AD于H．∵四边形AEFG是矩形，∴AG＝EF，AG∥EF，∵AD∥BC，∴∠GAH＝∠FEC，∵∠AHG＝∠C＝90°，∴△AGH≌△EFC（AAS），∴GH＝FC，设BE＝x，GH＝FC＝y，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC＝90°，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF（AA），∴，即，y＝，∵﹣＜0，∴x＝5时，y有最大值，故答案为1．三、解答题（86分）17．（8分）计算：．【解答】解：＝1﹣+（2﹣）＝3﹣+2﹣＝﹣．18．（8分）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，AF＝CE，求证AB＝CD．【解答】证明：∵AF＝CE，∴AF+EF＝CE+EF，即AE＝CF，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AB＝CD．19．（8分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：＝÷＝•＝2﹣m，当时，原式＝2﹣（＝6﹣+2＝6﹣．20．（8分）如图△ABC∽△ACD，∠D＝90°，AC＝，求AB及BC的长．【解答】解：∵△ABC∽△ACD，∴，∵AC＝，AD＝2，∴，解得：AB＝4.5，∵∠D＝90°，∴∠ACB＝∠D＝90°，∴BC＝＝．21．（8分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形2＝AC•DB．（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．【解答】（1）证明：∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠PCA＝∠BDP；∵CD2＝AC•DB∴PD•PC＝AC•DB，即，∵∠PCA＝∠BDP，∴△ACP∽△PDB；（2）解：∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠B；∵∠PDC＝∠B+∠BPD＝60°＝∠CPD，∴∠APB＝∠CPD+∠APC+∠BPD＝60°+∠B+∠BPD＝60°+60°＝120°．22．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE．（1）求证：AE2＝EF•BE；（2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ABE，∴∠DAC＝∠ABE，∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA，∴△EAF∽△EBA，∴EA：EB＝EF：EA，∴AE2＝EF•BE；（2）∵AE2＝EF•BE，∴BE＝＝6，∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝4，∵AE∥BC，∴＝，即＝，解得AF＝，∵△EAF∽△EBA，∴＝，即＝，∴AB＝．23．（10分）△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°1C1．（1）求∠BAC1的度数；（2）若，线段B1C1与AB，BC分别交于M、N，求MN的长．【解答】解：（1）∵∠B＝45°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，由旋转知：∠CAC1＝30°，∴∠BAC1＝∠BAC﹣∠CAC3＝75°﹣30°＝45°；（2）解：如图，过点M作MG⊥AB1于点G，作MH⊥BC于点H，由旋转知∠B1AC7＝∠BAC＝75°，∠B1＝∠B＝45°，，∴∠B1AM＝∠B2AC1﹣∠BAC1＝30°，∠B4MG＝∠B1＝45°，∴B1G＝GM，AM＝4GM，，∴，得：GM＝1，∴AM＝6GM＝2，，∴，∵∠B7＝∠B＝45°，∠AMB1＝∠NMB，∴∠MNB＝∠MAB1＝30°，∠BMH＝∠B＝45°，∴，∴，∴．24．（12分）如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC中点，且∠AFE＝∠A，MD∥EF交AC于点M．（1）求证：DM＝DA；（2）点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图2【解答】证明：（1）∵MD∥EF，∴∠DMA＝∠AFE；∵∠AFE＝∠A，∴∠DMA＝∠A，∴DM＝DA；（2）∵D、E分别是AB，∴BD＝AD，BE＝CE；∴∠C＝∠BED；∵MD∥EF，∴四边形DEFM为平行四边形，∴DM＝EF；由（1）知，DM＝DA，∴BD＝EF；∵∠BDG＝∠C，∠C＝∠BED，∴∠BDG＝∠BED；∵∠B＝∠EBD，∴△BED∽△BDG，∴，即DE•BD＝DG•BE；∴DE•EF＝DG•EC．25．（14分）已知抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，BC，点D在点A（不与点A，C重合）．①当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，