教师招聘考试数学专业知识通版讲解

第一部分小学数学第一章数与代数第一节数的相识一、基础学问（一）整数：1.整数的读法和写法例：“”读作：三百一十二万一千七百2.整数的近似数“四舍五入”3.整数的运算加法：减法：乘法：除法：四则混合运算：4.自然数：5.数的整除：=1\*3①整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。=2\*3②假如数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。=3\*3③个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。④偶数、奇数⑤一个数，假如只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）⑥一个数，假如除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。留意：1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。=7\*3⑦每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。=8\*3⑧几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。=9\*3⑨公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种状况：1和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。=10\*3⑩几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。（二）小数：1.小数的读法和写法:2.小数的分类：=1\*3①纯小数、带小数=2\*3②有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数；无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。=3\*3③无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限.循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。（三）分数：1.分数的意义=1\*3①把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。=2\*3②在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。=3\*3③把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2.分数的分类=1\*3①真分数：=2\*3②假分数：=3\*3③带分数：3.约分和通分=1\*3①把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。=2\*3②分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。=3\*3③把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。4.百分数=1\*3①表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。=2\*3②百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。（四）常见的量1.时间2.长度3.面积4.体积5.容积6.质量二、实力训练1．一个九位数，最高位是是奇数中最小的合数，百万位上是最小的质数，万位上是最大的一位数，千位上是同时能被2和3整除的一位数，百位上是最小的合数，其余各位上都是最小的自然数，这个数写作，读作。2.三个连续奇数的和是645。这三个奇数中，最小的奇数是。3.在一条长50米的大路两旁，每隔5米栽一棵树（两端都要栽），一共可栽棵树。4.被减数减去减数，差是0.4，被减数、减数与差的和是2，减数是。5.两个数的积是45.6，一个因数扩大100倍，另一个因数缩小到原来的,积是。6.的分数单位是，它含有个这样的单位，它的倒数是。7.的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上。8.一个三位小数，保留两位小数取近似值后是5.60，这个三位小数最小是，最大是。9.5是8的，8是5的，5比8少，8比5多。10.自然数按因数的个数分，可以分为（）.A.奇数和偶数 B.素数和合数C.奇数、偶数和1 D.素数、合数、0和111.已知5，（a、b均为自然数），则a和b两个数的最大公因数是（）。A.5 D.112.分数单位是1/11的最大真分数和最小假分数的和是（）。A．21/11 B.2 C.20/11 D.113.下面各组数，一定不能成为互质数的一组是（）。A.质数与合数 B.奇数与偶数 C.质数与质数 D.偶数与偶数14.把210分解质因数是（）。A.210＝2×7×3×5×1 B.210＝2×5×21C.210＝3×5×2×7 D.210=2×5×21×115.两个奇数的和（）。A.是奇数 B.是偶数C.可能是奇数，也可能是偶数 D.一定不是奇数16.一个合数至少有（）个约数。A.1 B.2 C.3 D.417.有4、5、7、8这四个数，能组成（）组互质数。A.3 B.4 C.5 D.618.四位数“31”是9的倍数，则。19.能同时被2，3，5整除的最大三位数是。20.全部能被3整除的两位数的和是。三、拓展提高1.在10以内随意选两个不同的素数，就可以写一个分数，其中最小的是。2.假如A和B是自然数，并且A÷5.则A和B的最小公倍数是，5是的因数。3.两个素数的和是31，这两个素数的积是。4.将循环小数和转换成分数。5.有三十个数：1.64,1.64+，1.64+，……，1.64+，1.64+，假如取每个数的整数部分（例如：1.64的整数部分是1,1.64+的整数部分是2）。并且将这些的整数相加，则它们的和是多少？6.设一个五位数，其中3，若这个数能被11整除，则a的范围是，。7.能同时被2,5,7整除的最大五位数是。8.六位数X2010Y能被88整除，则X、Y的取值分别为多少？9，4 7，4 9，8 8，49.有一大筐苹果和梨分成若干堆，假如你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，最少要把这些苹果和梨分成堆。10.有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，如何利用他们从一桶油中倒出6升油来？要要点回顾第二节比与比例一、基础学问1.比的意义和性质（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。=1\*3①“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项（比的后项不能是零）。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。=2\*3②同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。=3\*3③比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。=4\*3④依据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。（2）比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。（3）求比值和化简比=1\*3①求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。=2\*3②依据比的基本性质可以把比化成最简洁的整数比。它的结果必需是一个最简比，即前、后项是互质的数。（4）比例尺=1\*3①数值比例尺：图上距离：实际距离=比例尺=2\*3②线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。2.比例的意义和性质（1）比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。（2）比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。（3）解比例依据比例的基本性质，假如已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。3.正比例和反比例（1）成正比例的量两种相关联的量，一种量变更，另一种量也随着变更，假如这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示(一定）（2）成反比例的量两种相关联的量，一种量变更，另一种量也随着变更，假如这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×(一定)二、实力训练1.在比例中，两个内项的积是6，其中一个外项是，另一个外项。2.假如5x，则x和y成比例。3.一幅地图上用5厘米表示实际距离20千米，这幅地图的比例尺是。4.1.2千克∶250克化成最简整数比是，比值是。5.一个三个角形三个内角度数的比是1∶4∶1，这是一个三角形。6.假如78y，则x∶。7.男生人数比女生多20％，则女生人数与男生人数的比是，女生比男生少。8.已知甲数的1/6相当于乙数的1/5，则甲数的一半相当于乙数的。9．把一堆化肥装入麻袋，麻袋的数量和每袋化肥的重量．（）A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例10．和一定，加数和另一个加数．（）A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例11．在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（），成反比例关系是（）．A．汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数．B．汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数．C．汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数．三、拓展提高1.把280棵树苗栽在两块长方形地上，一块长15米，宽8米；另一块长12米，宽4米，如按面积大小安排栽种，这两块地分别要栽多少棵？2.配制一种农药，其中药与水的比为1∶150。①要配制这种农药755千克，须要药和水各多少千克？②有药3千克，能配制这种农药多少千克？③假如有水525千克，要配制这种农药，须要放进多少千克的药？要要点回顾第三节计算和巧算一、基础学问1.运算定律（1）加法交换律：。（2）加法结合律：（)()。（3）乘法交换律：a××a。（4）乘法结合律：(a×b)××(b×c)。（5）乘法安排律：()×××c。（6）减法的性质：()。2.运算依次（1）小数四则运算的运算依次和整数四则运算依次相同。（2）分数四则运算的运算依次和整数四则运算依次相同。（3）没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。（4）有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最终算括号外面的。（5）第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。（6）第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。二、实力训练1.有13个自然数，小红计算它们的平均数精确到百分位是12.56，老师说最终一个数字写错了，则正确的答案应当是。2.干脆写出得数：（1） （2）8.5÷0.01（3）0.1×99-0.1 （4）（5）27.25×4÷27.25×4 （6）777×9+111×37（7）1÷0.625 （8）3.计算下列各题：（1）123+234+345+456+567+678 （2）789×788788-788×789789（3）1627+27018×25 （4）0.888×125×73+999×3（5）6789×6789-6790×6788三、拓展提高1.（1）（2）2.（1）（2）要要点回顾第二章空间与图形第一节平面图形一、基础学问1．长方形（1）特征：（2）计算公式：2()；。2．正方形（1）特征：（2）计算公式：4a，²。3．三角形（1）特征：（2）计算公式：2。（3）分类：=1\*3①按角分锐角三角形：直角三角形：钝角三角形：=2\*3②按边分不等边三角形：等腰三角形：等边三角形：4．平行四边形（1）特征：（2）计算公式：。5．梯形（1）特征：（2）计算公式：()26．圆（1）圆的相识圆心：半径：直径：（2）圆的画法：（3）圆的周长：C=πd，2πr（d是直径，r是半径）（4）圆的面积：πr27．扇形（1）扇形的相识：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。圆上两点之间的部分叫做弧，读作“弧”。(2)扇形面积计算公式：。8．环形(1)特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有多数条对称轴。(2)计算公式：∏(R²²）。9．轴对称图形特征：假如一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴。等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴。等腰梯形有一条对称轴，圆有多数条对称轴。菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。二、实力训练1.一个平行四边形底缩小10倍，高扩大10倍，这个平行四边形的面积()。A.大小与原来相等 B.缩小10倍C.扩大10倍 D.扩大100倍2.将一个长方形拉成一个平行四边形（四条边长度不变），它的面积()。A.比原来小 B.比原来大 C.与原来相等 D.无法比较3.两个完全一样的直角三角形，不行能拼成一个（）。A.梯形 B.正方形 C.三角形 D.平行四边形4.在面积为42平方米的平行四边形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是（）。A.21 B.30 C.14 D.425.周长都相等，（）的面积最大。A.正方形 B.长方形 C.圆 D.一样大6.面积都相等，（）的周长最大。A.正方形 B.长方形 C.圆 D.三角形7.下列叙述中，正确的是()A．只有一组对边平行的四边形是梯形B．矩形可以看作是一种特殊的梯形C．梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角D．梯形的对角互补8．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则底角的度数是()A．30º和150º B．45º和135ºC．60º和120º D．都是90º9．菱形和矩形一定都具有的性质是（）A．对角线相等． B．对角线相互平分．C．对角线相互垂直． D．每条对角线平分一组对角．10．下列说法正确的是（）A．对角线相互垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相互垂直的平行四边形是菱形C．对角线相互平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形三、拓展提高1.将一个平行四边形拼成一个长方形，面积，周长；将一个平行四边形拉成一个长方形，面积，周长。（填“增大”或者“减小”）A．变大 B.变小 C.不变 D.无法比较2.能拼成一个平行四边形的两个三角形必需具备()。A.面积相等 B.形态相同 C.完全一样 D.随意两个均可3.周长相等的一个正方形，一个长方形，一个平行四边形，()面积最大。A.正方形 B.长方形 C.平行四边形 D.无法比较4.把一个平行四边形随意分割成两个梯形，这两个梯形的()总是相等的。A.高 B.面积 C.上、下底的和 D.无法确定5.一个三角形和一个平行四边形底相等，面积也相等，假如平行四边形的高是6厘米，则三角形的高是()厘米。A.6 B.3 C.12 D.186.一个梯形的上底长36，假如补上一块底为64，面积为642的三角形，就变成了一个平行四边形，这个梯形的面积是()。A.2002 B.1362 C.2722 D.682要要点回顾第二节空间图形一、基础学问（一）长方体1．特征：2.计算公式：2()，，（a表示长，b表示宽，h表示高）。（二）正方体1.特征：2.计算公式：S表=6a²，³（a表示棱长）。（三）圆柱1.圆柱的相识：圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。圆柱两个底面之间的距离叫做高。2.计算公式：S表侧底×2，3。（四）圆锥1.圆锥的相识：2.计算公式：3。二、实力训练1.一个正方体的底面周长与高分别与一个圆柱体的底周长和高相等，则体积比较（）A.正方体大 B.圆柱体大 C.两者一样大 D.无法推断2.一个圆锥的底面半径和高都扩大2倍，体积扩大了（）A．12倍 B.8倍 C.4倍 D.6倍3.一个底面积为24平方厘米的圆锥体和一个棱长为4厘米的正方体的体积相等，圆锥的高是（）。A.3厘米 B.4厘米 C.8厘米 D.12厘米4.圆柱底面直径是圆锥底面直径的1/2，假如高相等，则圆锥的体积是圆柱体积的（）A. B. C. D.5.把一个棱长2分米的正方体锯成两个长方体，表面积总和（）。A.不变 B.增加4平方分米C.增加8平方分米 D.不一定要要点回顾第三章统计与可能性一、基础学问（一）统计：1.条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，依据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线依据一定的依次排列起来。优点：很简洁看出各种数量的多少。2.折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，依据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清晰地表示出数量增减变更的状况。3.扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点：很清晰地表示出各部分同总数之间的关系。4.平均数：中位数：众数：（二）可能性：随机事务的概率二、实力训练1.从标有1，2，3，4的四张卡片中任抽一张。（1）抽到卡片“1”的可能性是。（2）抽到卡片“2”、“4”的可能性是。（3）抽到数字小于4的卡片的可能性是。2.口袋里有大小相同的6个球，1个红球，2个白球，3个黄球，从袋中随意摸出一个球。（1）摸出什么颜色的球的可能性最大，是多少？（2）摸出什么颜色的球的可能性最小，是多少？（3）摸出不是红球的可能性是多少？3.盒子装有15个球，分别写着1—15各数。假如摸到是2的倍数，小刚赢，假如摸到不是2的倍数，小强赢。（1）这样约定公允吗？为什么？（2）小强一定会输吗？4.某商品实行促销活动，前100名的购买者可以抽奖，一等奖20个，二等奖30个，三等奖50个。（1）这次抽奖活动，中奖的可能性是。（2）第一个人抽奖中一等奖可能性是，中二等奖的可能性是，中三等奖的可能性是。（3）抽奖到一半，已经有8人中一等奖，15人中二等奖，24人中三等奖。这里李明第51个抽奖，中一等奖的可能性是，中三等奖的可能性是，中三等奖的可能性是。5.下面记录的是五（3）班第1组女生的一次跳远成果。（单位：m）2.833.322.753.172.582.653.243.293.413.262.983.52（1）这组数据的中位数，平均数各是多少？（2）用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适？（3）假如2.80m以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗？6.8个数的平均数是2.1，前3个数的平均数为2.6，后4个数的平均数为1.4，第四个数是多少？要要点回顾第四章实践与综合应用一、基础学问1.归一问题含义：在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题数量关系：总量÷份数＝1份数量1份数量×所占份数＝所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数解题思路：先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。2.归总问题含义：解题时，常常先找出“总数量”，然后再依据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。数量关系：1份数量×份数＝总量总量÷1份数量＝份数总量÷另一份数＝另一每份数量解题的思路和方法：先求出总数量，再依据题意得出所求的数量。3.和差问题含义：已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。数量关系：大数＝（和＋差）÷2小数＝（和－差）÷2解题思路和方法：简洁的题目可以干脆套用公式；困难的题目变通后再用公式。4.和倍问题含义：已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。数量关系：总和÷（几倍＋1）＝较小的数总和－较小的数＝较大的数较小的数×几倍＝较大的数解题思路和方法：简洁的题目干脆利用公式，困难的题目变通后利用公式。5.差倍问题含义：已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。数量关系：两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数较小的数×几倍＝较大的数解题思路和方法：简洁的题目干脆利用公式，困难的题目变通后利用公式。6.倍比问题含义：有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。数量关系：总量÷一个数量＝倍数另一个数量×倍数＝另一总量解题思路与方法：先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。7.相遇问题含义：两个运动的物体同时由两地动身相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。数量关系：相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间解题思路和方法：简洁的题目可干脆利用公式，困难的题目变通后再利用公式。8.追及问题含义：两个运动物体在不同地点同时动身（或者在同一地点而不是同时动身，或者在不同地点又不是同时动身）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。数量关系：追刚好间＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追刚好间解题思路和方法：简洁的题目干脆利用公式，困难的题目变通后利用公式。9.植树问题含义：按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。数量关系：线形植树 棵数＝距离÷棵距＋1环形植树 棵数＝距离÷棵距方形植树（端点不植树） 棵数＝距离÷棵距－4三角形植树（端点不植树） 棵数＝距离÷棵距－3面积植树 棵数＝面积÷（棵距×行距）解题思路和方法：先弄清晰植树问题的类型，然后可以利用公式。10.龄问题含义：这类问题是依据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的龄差不变，但是，两人龄之间的倍数关系随着龄的增长在发生变更。数量关系：龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着亲密联系，尤其与差倍问题的解题思路是一样的，要紧紧抓住“龄差不变”这个特点。解题思路和方法：可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。11.行船问题含义：行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。数量关系：（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2解题思路和方法：大多数状况可以干脆利用数量关系的公式。12.列车问题含义：这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要留意列车车身的长度。数量关系：火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速火车追及：追刚好间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）解题思路和方法：大多数状况可以干脆利用数量关系的公式。13.时钟问题含义：就是探讨钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。数量关系：分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。解题思路和方法：变通为“追及问题”后可以干脆利用公式。14.盈亏问题含义：依据一定的人数，安排一定的物品，在两次安排中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。数量关系：一般地说，在两次安排中，假如一次盈，一次亏，则有：参与安排总人数＝（盈＋亏）÷安排差假如两次都盈或都亏，则有：参与安排总人数＝（大盈－小盈）÷安排差参与安排总人数＝（大亏－小亏）÷安排差解题思路和方法：大多数状况可以干脆利用数量关系的公式。15.工程问题含义：工程问题主要探讨工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的详细数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。数量关系：解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以依据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量＝工作效率×工作时间工作时间＝工作量÷工作效率工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）解题思路和方法：变通后可以利用上述数量关系的公式。16.正反比例问题含义：两种相关联的量，一种量变更，另一种量也随着变更，假如这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），则这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等学问的综合运用。两种相关联的量，一种量变更，另一种量也随着变更，假如这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等学问的综合运用。数量关系：推断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。很多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。解题思路和方法：解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。17.按比例安排问题含义：所谓按比例安排，就是把一个数依据一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是干脆给出份数。数量关系：从条件看，已知总量和几个部重量的比；从问题看，求几个部重量各是多少。总份数＝比的前后项之和解题思路和方法：先把各部重量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再依据求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部重量的值。18.百分数问题含义：百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必需是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个特地的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。数量关系：驾驭“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数＝比较量÷标准量标准量＝比较量÷百分数解题思路和方法：一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：增长率＝增长数÷原来基数×100%合格率＝合格产品数÷产品总数×100%出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%出油率＝油的重量÷油料重量×100%废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%命中率＝命中次数÷总次数×100%烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%及格率＝及格人数÷参与考试人数×100%19.“牛吃草”问题含义：“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。数量关系：草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数解题思路和方法：解这类题的关键是求出草每天的生长量。20.鸡兔同笼问题含义：这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。数量关系：第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有 兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全都是兔，则有 鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）解题思路和方法：解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。假如先假设都是鸡，然后以兔换鸡；假如先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。21.方阵问题含义：将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），依据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。数量关系：（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）内边人数＝外边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4解题思路和方法：方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变更较多，其解答方法应依据详细状况确定。22.商品利润问题含义：这是一种在生产经营中常常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。数量关系：利润＝售价－进货价利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%售价＝进货价×（1＋利润率）亏损＝进货价－售价亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%解题思路和方法：简洁的题目可以干脆利用公式，困难的题目变通后利用公式。23.存款利率问题含义：把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有利率和月利率两种。利率是指存期一本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。数量关系：（月）利率＝利息÷本金÷存款（月）数×100%利息＝本金×存款（月）数×（月）利率本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋（月）利率×存款（月）数］解题思路和方法：简洁的题目可干脆利用公式，困难的题目变通后再利用公式。二、实力训练1.东西两城相距75千米，小东从东向西而走，每小时6.5千米；小希从西向东而走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西而行，每小时走15千米。三人同时动身，途中小辉遇见了小希即折回向东行；遇见了小东又折回向西而行；再遇见小希又折回向东行，这样来回始终到三人在途中相遇为止，小辉共行了多少千米？2.食堂运来一批蔬菜，原安排每天吃50千克，30天渐渐消费完这批蔬菜。后来依据大家的看法，每天比原安排多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？3.甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？4.甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？5.粮库有94吨小麦和138吨玉米，假如每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？6.凤翔县今苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？7.甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。8.兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发觉遗忘带课本，马上沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？9.孙亮准备上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发觉手表慢了10分钟，因此马上跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，假如孙亮从家一起先就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。10.一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？11.甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？12.甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？13.一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？14.四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？15.修一条马路，假如每天修260米，修完全长就得延长8天；假如每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？16.学校组织春游，假如每辆车坐40人，就余下30人；假如每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？17.一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，须要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，须要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？18.修一条马路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条马路总长是多少米？19.学校把植树560棵的任务按人数安排给五级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？20.从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的，二儿子分总数的，三儿子分总数的，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。21.红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？22.一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？23.一只船有一个漏洞，水以匀称速度进入船内，发觉漏洞时已经进了一些水。假如有12个人淘水，3小时可以淘完；假如只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？24.有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？25.有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？26.某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。27.李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。28.银行定期整存整取的利率是：二期7.92%，三期8.28%，五期9%。假如甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二期，到期后连本带利改存三期；乙直存五期。五后二人同时取出，则，谁的收益多？多多少元？三、拓展提高1.某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4小时，飞去时速度为900千米/小时，飞回时速度为850千米/小时。问该飞机最远飞出多少千米就返回？（保留整数）2.某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的平安地带奔跑，其奔跑速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问：导火线的长度至少多长才能确保平安？（精确到0.1米）3.老师在黑板上写了13个数，让小明求平均数（保留到两位小数），小明的答案是12.43。老师说最终一位数字错了，其他的都对。正确的答案是什么？4.小红看一本书，第一天看了全书的4/7，第二天看了剩下的3/5，还剩42页没有看，这本书共多少页？5.鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？6.一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，刘冬考了52分，你知道刘冬做对了几道题？第二部分中学数学第一章数与代数一、基础学问1.实数的分类2.数轴，一定值，相反数数轴：原点、正方向、单位长度。一定值：相反数：3.有理数的运算⑴加法法则：⑵减法法则：⑶乘法法则：⑷除法法则：4.整式（定义及运算）（1）单项式：都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。（2）多项式:几个单项式的和叫做多项式。（3）整式：单项式和多项式统称为整式。（4）同类项：（5）整式的乘法：5.平方（根）、立方（根）二、实力训练1．的一定值是（）A． B． C．﹣6 D．62．下列结论正确的是（）A.B.C.D.3．下列各组数中互为相反数的是（）A.B.C.D.4．假如代数式有意义，则x的取值范围是（）A．B．C．D．且5．若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≥－2B．x＞－2且x≠1C．x≤－2D．x≥－2且x≠16．有理数在数轴上表示的点如下图所示，则的大小关系是（）A. B.C. D.7．已知，则.8．如图是一个数值转换机．若输入数3，则输出数是．三、拓展提高1.32÷7商的小数点后面第2014位数是几？2.假如和2（23）2互为相反数，则x、y的值分别为.3.计算：30－［19.08＋（3.2－0.299÷0.23）］×0.54.某农具厂安排在6天内生产某种新式农具144件，第一天已生产了19件，后5天平均每天应当生产多少件？5.一列火车从甲地开往乙地，假如将车速提高20％，可以比原安排提前1小时到达；假如先以原速度行驶240千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及火车原来的速度。6．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获得利润，确定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？7．A、B两地相距169千米，甲以42千米/时的速度从A驶向B地，动身30分钟后因故障需停车修理，这时，乙车以39千米/时的速度B地向A地驶来。已知甲解除故障用了20分钟，问乙车动身后经过多少时间与甲车相遇？要要点回顾第二章方程与不等式一、基础学问（一）方程1.一元一次方程（1）定义：（2）解一元一次方程方法与步骤：2.二元一次方程组（1）定义：（2）二元一次方程组的解法：代入消元法：加减消元法：3.分式方程：4.一元二次方程（二）不等式：1.不等式定义：2.不等式性质性质1：假如a＞b,则＞，a–c＞性质2：假如a＞b,并且c＞0,则＞.性质3：假如a＞b，并且c＜0,则＜.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向变更。3.一元一次不等式（组）4.一元二次方程解法：二、实力训练1.因式分解：。2.因式分解：。3.解不等式组的解集是。4.已知，求代数式的值。5.解方程：.6.解方程：.7.先化简，再求值：，其中。8.先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值。9.解方程组10.求不等式组的整数解。三、拓展提高1.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是.2.阅读下列材料，然后解答后面的问题：利用完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或。从而使某些问题得到解决。问题：（1）已知，则.（2）已知，，求的值.某商店须要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：甲乙进价（元/件）1535售价（元/件）2045某商店安排销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？若商店安排投入的资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并干脆写出其中获利最大的购货方案。（获利=售价—进价）第三章空间与图形一、基础学问（一）直线、射线、线段直线射线线段图形端点个数长度表示方法（二）角1．角的相关概念角：平角：直角：锐角：钝角：余角:补角:2．角的表示①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠，∠，∠等。3．角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。1°=60’=60”4．角的平分线及其性质（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。（三）相交和平行1．相交线中的角（三线八角）对顶角：邻补角：同位角：内错角：同旁内角：2．垂线：直线，相互垂直，记作“⊥”垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：直线外一点与直线上各点连接的全部线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。3．平行线平行用符号“∥”表示，如“∥”。留意：同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。4．平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：假如两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线也相互平行。5．平行线的判定6．平行线的性质（四）投影与视图1．投影投影的定义：用光线照耀物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。2．视图主视图：俯视图：左视图：（五）三角形1．三角形的概念2．三角形中的主要线段（1）角平分线（2）三角形的中线（3）三角形的高线3．三角形的稳定性4.三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。（2）推论：三角形的两边之差小于第三边。5.三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。6.三角形的面积：7.三角形全等的判定（1）“”（2）“”（3）“”（4）“”8.全等变换（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。9.等腰三角形的性质10.三角形中的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。（六）多边形1.四边形①平行四边形定义、判定、性质②梯形定义、判定、性质③矩形定义、判定、性质④菱形定义、判定、性质⑤正方形定义、判定、性质2.多边形对角线条数3.多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；多边形的外角和定理：随意多边形的外角和等于360°。（七）三角形的相像1．相像三角形的概念2．三角形相像的判定3．相像三角形的性质4．位似图形假如两个图形不仅是相像图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，则这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相像比叫做位似比。性质：每一组对应点和位似中心在同始终线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小二、实力训练1.下列图案是轴对称图形的有（）A．1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为10，7，则的周长为()A.7 B.14 C.17 D.203.正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为()A.9 B.8 C.7 D.44.下列图形中，经过折叠不能围成一个立方体的是（）5.不一定在三角形内部的线段是（）A.三角形的角平分线 B.三角形的中线C.三角形的高 D.三角形的中位线6.若三角形两边长分别为2和6，则第三边可能是（）A.3 B.4 C.5 D.87.如图，在△中，，∠20°，则∠。8.直角三角形的斜边比始终角边长2，另始终角边边长为6，则它的斜边长（）A.4 B.8 C.10 D.129.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形10.已知3，且，以a、b、c为边组成的三角形的面积等于。11.如图，用高为6，底面直径为4的圆柱A的侧面积绽开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为()。A.24π³ B.36π³ C.36³ D.40³12.如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5.若一只蚂蚁从P点起先经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为。13.某盏路灯照耀的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高，底面半径。则圆锥的侧面积是平方米（结果保留π）。14.衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点B.点C处，且，侧面四边形为矩形．若测得，则=()A.35° B.40°C.55° D.7015.如图，平分于点A，点Q是射线上的一个动点，若2，则的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.416．如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形从三个不同方向看得到的图形，这些相同的小正方体的个数是（）A.4B.5C.6D.717．如图，由8个大小相同的正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．18．如图，由五个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（）19．如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（）A. B.C. D.三、拓展提高1.如图，梯形中，对角线、相交于点O，若∶＝2：3，＝4，则等于：（）A．12 B．8 C．7 D．62.如图，在边长为9的正三角形中，3，∠60°，则的长为。3.如图，线段、相交于点O，∥，.线段上的两点E、F关于点O成中心对称。求证：。4.如图，△中，，⊥于点E，⊥于点D，∠45°，与交于点F，连结。（1）求证：2；（2）若，求的长。5.如图1，在梯形中，∥，∠C＝90°，点E为的中点，点F在底边上，且∠＝∠．图1(1)请你通过视察、测量、猜想，写出∠的度数；(2)若梯形中，∥，∠C不是直角，点F在底边或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在(1)中得出的结论是否仍旧成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．图2图36.如图1，P是线段上的一点，在的同侧作△和△，使＝，＝，∠＝∠，连结，点E，F，G，H分别是，，，的中点，顺次连接E，F，G，H．图1(1)猜想四边形的形态，干脆回答，不必说明理由；(2)当点P在线段的上方时，如图2，在△的外部作△和△，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗说明理由；图2(3)如图3中，若∠＝∠＝90°，其他条件不变，先补全图3，再推断四边形的形态，并说明理由．图37.如图，在矩形中，12，6，点P沿边从点A起先向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿边从点D起先向点A以1厘米/秒的速度移动。假如Ｐ、Ｑ同时动身，用t秒表示移动的时间（0≤t≤6），则：（1）当t为何值时，三角形为等腰三角形？（2）求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论。（变式：当点Ｐ、Ｑ运动时，四边形的面积是否变更？若不变，求出它的面积；若变更，请说明理由。）（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△相像。8.王师傅有两块板材边角料，其中30，下底为一块是边长为60的正方形板子；另一块是上底为30，下底为120，高为60的直角梯形板子（如图①）．王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形围成的区域（如图②）．由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．（1）求的长；（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到边的距离x（）为多少时，矩形的面积y（2）最大？最大面积是多少？（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．第四章圆一、基础学问1.圆的定义2.弦、弧等与圆有关的定义（1）弦（2）直径（3）半圆（4）弧、优弧、劣弧3.垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。4.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（1）圆心角（2）弦心距（3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，假如两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都分别相等。5.圆周角定理及其推论（1）圆周角（2）圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：假如三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。6.点和圆的位置关系7.过三点的圆（1）过三点的圆：不在同始终线上的三个点确定一个圆。（2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。（3）三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点（4）圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补。（5）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点8.直线与圆的位置关系（1）相交：（2）相切：（3）相离：9.切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。10.切线长定理（1）切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。（2）切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。11.圆和圆的位置关系12.相关定理（1）相交弦定理：⊙O中，弦与弦相交与点E，则（2）弦切角定理：弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：∠∠（3）切割线定理：为⊙O切线，为⊙O割线，则二、实力训练1.如图，是⊙O的弦（非直径），C、D是上两点，并且，求证：．2.如图，是⊙O的直径，弦与成30°角，与⊙O切于C，交•的延长线于D，求证：。3.已知：如图，在△中，，以为直径的⊙O与交于点D，与•交于点E，求证：△为等腰三角形。4.如图，是☉O的直径，C是☉O上一点，⊥于D，平分∠，求证：是☉O的切线.5.☉O1与☉O2的半径分别为5和，且O2在☉O1上，A、B是☉O1上两点，∠O215,试推断直线O1B与☉O2的位置关系，为什么？三、拓展提高1．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣40的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为．2．如图，已知⊙O的半径为1，是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线，C是的中点，交⊙O于B点，四边形是平行四边形．（1）求的长；（2）是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．3．如图，为⊙O的直径，C为⊙O上一点，和过C点的直线相互垂直，垂足为D，且平分∠．（1）求证：为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，4，求的长．4.如图，是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交的延长线于点E，过点D作⊥于点F，交⊙O于点H，连接，．（1）求证：∠90°；（2）试推断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形态，并说明理由；（3）若2，求的长．第五章变量与函数一、基础学问（一）一次函数（二）反比例函数（三）二次函数1.定义：2.二次函数的图像与性质3.几种特殊的二次函数的图像特征如下：二、实力训练1.直线与轴的交点坐标是（）A. B. C. D.2.反比例函数的图像经过点，则的值是（）A.6 6 C. D.3.二次函数的图像的顶点坐标是（）A. B. C. D.4.将2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（）2x2+2 2（2）2（x﹣2）2 2x2﹣25.若函数，则当函数值时，自变量的值是（） B.4 C.或4 D.4或6.已知二次函数2（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）＞0B.当x＞1时，y随x的增大而增大＜0D.3是方程20的一个根7.二次函数的图象如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图象是（）8.在函数中，自变量的取值范围是。9.已知函数，则。10.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是。11.若点在第二象限，则的取值范围是。12.若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则的取值范围是。13.已知点在直线上，则.(填>,<或=)14.已知二次函数，当时，的值随值的增大而增大，则实数的取值范围是。15.已知一次函数的图像经过点A(1，0)和B（），且点B在反比例函数的图像上．（1）求一次函数的解析式；（2）若点M是轴上一点，且满意△是直角三角形，请干脆写出点M的坐标．16.某工厂设计了一款产品，成本价为每件20元．投放市场进行试销，得到如下数据：售价（元∕件）……30405060……日销售量（件）……500400300200……（1）若日销售量（件）是售价（元∕件）的一次函数，求这个一次函数解析式；（2）设这个工厂试销该产品每天获得的利润（利润=销售价－成本价）为W（元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？三、拓展提高1.若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（）A．＝lB．>lC．≥lD．≤l2.抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是()A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位3.已知二次函数的图像如图，其对称轴，给出下列结果①②③④⑤，则正确的结论是（）A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤4．如图，已知A点是反比例函数（k≠0）的图象上一点，⊥y轴于B，且△的面积为3，则k的值为．5．反比例函数y1=，y2=（k≠0）在第一象限的图象如图，过y1上的随意一点A，作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，若S△2，则．6．如图，A、B分别是反比例函数图象上的点，过A、B作轴的垂线，垂足分别为C、D，连接、，交于E点，△的面积为，四边形的面积为，则．7.已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C．(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)求△的面积；(3)求不等式<0的解集(干脆写出答案)．第六章解直角三角形一、基础学问（一）直角三角形的性质1．直角三角形的两个锐角互余2.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4．勾股定理：（二）直角三角形的判定1．有一个角是直角的三角形是直角三角形。2．假如三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。3．勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a，b，c有关系，则这个三角形是直角三角形。（三）解直角三角形1．在△中，∠90°①②③2．一些特殊角的三角函数值3.各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系（2）平方关系（3）倒数关系（4）弦切关系二、实力训练1．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△的三个顶点在图中相应的格点上，则∠的值为（）A. B. C. D.32．已知△中，∠90º，则表示（）的值A.B.C.D.3．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，则∠＝()A. B．2 C. D.4．若为一锐角，且，则．5．如图，在矩形中，2，4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，围着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与交于E，F两点，则∠的值为．6．（1）计算：（2）化简．7．已知：如图，斜坡的坡度为1：2.4，坡长为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面的距离；APBCAPBCQ8．如图，在梯形中，∥，过对角线的中点作，分别交边于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求四边形的面积．三、拓展提高1.如图，在△中，∠90°，∠30°，平分∠交于点D，E为上一点，连接，则下列说法错误的是（）A．∠30°B．C．2D．2．海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处望见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发觉此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。3.如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．（1）求证：；（2）假如，求的值．DDABCEF4.如图，在△中，是上的高，，(1)求证：；(2)若，12，求的长．第七章统计与概率一、基础学问（一）数据的收集、整理与描述1．总体：全部考察对象的全体2．个体：总体中每一个考察对象3．样本：从总体中所抽取的一部分个体4．样本容量：样本中个体的数目5．样本平均数：样本中全部个体的平均数6．总体平均数：总体中全部个体的平均数（二）数据分析1.平均数：2.加权平均数：假如n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），则，依据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。3.众数：4.中位数：5.方差：（三）频数与概率1.探讨频率分布的一般步骤①计算极差（最大值与最小值的差）②确定组距与组数③确定分点④列频率分布表⑤画频率分布直方图2.频率分布的有关概念①极差：最大值与最小值的差②频数：落在各个小组内的数据的个数③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。二、实力训练1.有一个正方体，6个面上分别标有1~6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是偶数的概率为（）A. B. C. D.2.为了防控输入性甲型H1N1流感，某市医院成立隔离治疗发热流涕病人防控小组，确定从内科5位骨干医师中（含有甲）抽调3人组成，则甲一定抽调到防控小组的概率是（）A. B. C. D.3.13布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中随意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是.4.晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面对上的概率为。5.汶川大地震时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B）的概率为，则与的半径之比为.AAB6.在一个不透亮的纸箱里装有红.黄.蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个.现有一张电影票，小明和小亮确定通过摸球嬉戏定输赢（赢的一方得电影票）.嬉戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球.若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢.这个嬉戏规则对双方公允吗？请你利用树状图或列表法说明理由.7.一只口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区分，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是.（1）取出白球的概率是多少？（2）假如袋中的白球有18只，则袋中的红球有多少只？8.一个不透亮的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4.小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球.（1）请你列出全部可能的结果；（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率.9.某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透亮的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”.“10元”.“20元”和“30元”的字样.规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）.商场依据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费.某顾客刚好消费200元.（1）该顾客至少可得到元购物券，至多可得到元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率。三、拓展提高1.一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同。（1）从箱子中随意摸出一个球是白球的概率是多少？（2）从箱子中随意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图。2.敬爱的同学，下面我们来做一个猜颜色的嬉戏：一个不透亮的小盒中，装有三张除颜色以外完全相同的卡片，卡片A两面均为红，卡片B两面均为绿，卡片C一面为红，一面为绿.（1）从小盒中随意抽出一张卡片放到桌面上，朝上一面恰好是绿色，请你猜猜，抽出哪张卡片的概率为0？（2）若要你猜（1）中抽出的卡片朝下一面是什么颜色，猜哪种颜色正确率可能高一些？请你列出表格，用概率的学问予以说明。3.某中学为了培育学生的社会实践实力，今“五一”长假期间要求学生参与一项社会调查活动.为此,小明在他所居住小区的600个家庭中，随机调查了50个家庭在新工资制度实施后的收入状况，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图（收入取整数，单位：元）.分组频数频率1000～120030.0601200～1400120.2401400～1600180.3601600～18000.2001800～200052000～220020.040合计501.000请你依据以上供应的信息，解答下列问题:（1）补全频数分布表和频数分布直方图；（2）这50个家庭收入的中位数落在小组；（3）请你估算该小区600个家庭中收入较低（不足1400元）的家庭个数大约有多少？4.国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”.为此，某市就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生.依据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组状况是：A.组：； B.组：C.组： D.组：请依据上述信息解答下列问题：（1）Ｃ组的人数是；（2）本次调查数据的中位数落在组内；（3）若该辖区约有24000名初中生，请你估计其中达国家规定体育活动时间的约有多少人？14014012010080604020ABCD组别人数第三部分中学数学第一章集合与简易逻辑第一节集合一、基础学问1.集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。2.集合与元素的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一。3.集合与集合的关系已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集。4.集合的运算二、实力训练1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知集合，，则集合（）A. B. C. D.3.若则满意条件的集合的个数是（）A.6 B.7 C.8 D.94.设，，则下列关系式中正确的是（）A. B. C. D.5.若，则有（）6.若集合有且仅有两个子集，则。7.不等式的解集是。三、拓展提高1.若集合，，且，则实数的可取值组成的集合是（）A.B.C.D.2.已知集合，，则中所含元素的个数为（）A.3B.6C.8D.103.已知集合，，则（）A.B.C.