34-第三章第四节(概率统计)

3.4两个随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布内容简介:已经讨论过一个随机变量函数的分布问题,本节讨论两个随机变量函数的概率分布.两个随机变量函数的概率分布有许多的实际应用,其各个例题的处理方法具有代表性.

第三章多维随机变量及其分布3.4两个随机变量函数的分布3.4.1提出问题(1)设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从标准正态分布,Z=2X+Y概率分布怎样

?

(2)设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们的极大随机变量、极小随机变量的概率分布怎样

？3.4.2预备知识

1.一个随机变量函数的概率分布问题，二维随机变量的分布函数与概率密度的关系；

2.随机事件和的概率加法公式，随机变量独立的充分必要条件，反常二重积分计算，卷积公式

.

3.4.3方法应用

在2.5节中,已经讨论过一个随机变量函数的分布问题,本节讨论两个随机变量函数的分布,我们只就下面几个具体的函数关系来讨论,其中的处理方法具有普遍的代表性.

例3.4.1

设离散型随机变量(X,Y)的分布律为求随机变量Z=X+Y的分布律.解Z=X+Y的可能取值为0,1,2和3.

1.

随机变量和的分布:Z=X+Y

(1)

离散型随机变量情形

XY01201/41/61/811/41/81/12P{Z=0}=P{X=0,Y=0}=1/4,

因此,Z=X+Y的表格形式的分布律为

Z=X+Y0123PZ1/45/121/41/12P{Z=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=1/4+1/6=5/12,

P{Z=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=1,Y=1}=1/8+1/8=1/4,

P{Z=3}=P{X=2,Y=1}=1/12.

Z取各值的概率分别为

对于非负整数i,{Z=i}={X+Y=i}可按下列方式分解为若干个两两互不相容的事件之和:

证Z=X+Y的可能取值为0,1,2,….

例3.4.2设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为

P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…,P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,….证明随机变量Z=X+Y的分布律为

P{Z=i}=P{X=k,Y=i-k}=P{X=k}P{Y=i-k}=p(k)q(i-k),k=0,1,2,…,i.又由X,Y的独立性(3.3.1)式知

,

{Z=i}={X+Y=i} ={X=0,Y=i}∪{X=1,Y=i-1}∪

…∪{X=i,Y=0}.因此,

讲评例3.4.1和例3.4.2这种解决问题的方法具有一般性.用类似的方法同样可以求随机变量差X-Y,随机变量积XY,极大随机变量max{X,Y}和极小随机变量min{X,Y}等的分布律.

(2)

连续型随机变量情形

设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为(参见图3-5)固定z和y,对上述积分作变量变换,

图3-5积分区域G:x+y≤z令x=u-y,

得于是

由概率密度的定义,即得Z=X+Y的概率密度

由X,Y的对称性,fZ(z)又可写成

(3.4.1)和(3.4.2)式是两个随机变量和Z=X+Y的概率密度的一般计算公式.

特别地,当X和Y相互独立时,设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别为fX(x),fY(y),则(3.4.1)和(3.4.2)式化为这两个公式称为卷积公式,记为f

X*f

Y,即

例3.4.3

设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从标准正态分布N(0,1),其概率密度为,-∞<x<+∞和

,-∞<y<+∞.求Z=X+Y的概率密度.解

由(3.4.4)式知

定理1设X,Y相互独立且X~N(,),Y~N(,),则Z=X+Y仍服从正态分布,且有Z~N(+,+).

对于一般正态分布N(,

)和N(,),用同样的处理方法也有类似结论.即Z=X+Y服从N(0,2)分布.证明方法同例3.4.3,此处略.

这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之和的情况,即若Xi

~N(μi,σi2)(i=1,2,…,n),且它们相互独立,则它们的和Z=X1+X2+…+Xn仍然服从正态分布,且

更一般地,可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.即其中ci为常数,i=1,2,…,n.例如，根据上述结论可知，

★例3.4.4

(05考研数(三))设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

求：(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y);(2)Z=2X-Y的概率密度fZ(z);

(3)

解(1)当0<x<1时,

所以同理，当0<y<2时，

所以

(2)先求Z=2X-Y的分布函数：当z<0时，

当0≤z<2时,考虑2x－y≤z和f(x,y)≠0的定义范围,得到图3－6.图3－6积分区域和f(x,y)≠0的区域

当z≥2时，

所以,分布函数为

因此,概率密度为

(3)因为

又由于所以,所求概率为

(1)此题是2005年考研数(三)大题，也是常考题型；(2)此题是求解随机变量线性函数Z=2X-Y的概率密度，是本科知识求“和函数Z=X+Y的概率密度”的推广，用的是方法和学习能力；

(3)此题解法综合，全体同学应熟练掌握其解法.

讲评

2.极大随机变量和极小随机变量的分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y).现在来求极大随机变量M=max{X,Y}及极小随机变量N=min{X,Y}的分布函数.

由于M=max{X,Y}不大于z等价于X和Y都不大于z,故有P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}.

又由于X和Y相互独立,得到M=max{X,Y}的分布函数为

Fmax(z)=P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}

=P{X≤z}P{Y≤z}.即

Fmax(z)=FX(z)FY(z).

(3.4.7)

类似地,可得N=min{X,Y}的分布函数为

Fmin(z)=P{N≤z}=1-P{N>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}.即

Fmin(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)].(3.4.8)

以上结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况.

设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量.它们的分布函数分别为(i=1,2,…,n),则M=max{X1,X2,…,Xn}及N=min{X1,X2,…,Xn}的分布函数为Fmax(z)=

Fmin(z)=1-

特别地,当X1,X2,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,有Fmax(z)=[F(z)]n,

(3.4.11)Fmin(z)=1-[1-F(z)]n.(3.4.12)

例3.4.5

设X1,X2,…,Xn是相互独立的n个随机变量，若Y=min{X1,X2,…,Xn}.试在以下情况下求Y的分布.求:

(1)Xi～Fi(x),i=1,2,…,n;

(2)Xi同分布，即Xi～F(x),i=1,2,…,n;(3)Xi为连续型随机变量，且Xi同分布，即Xi的密度函数p(x),i=1,2,…,n;

(4)Xi～E(λ),i=1,2,…,n.解

(1)Y=min{X1,X2,…,Xn}的分布函数为

FY(y)=P{min{X1,X2,…,Xn}≤y}=1-P{max{X1,X2,…,Xn}>y}=1-P{X1>y,X2>y,…,Xn>y}=1-P{X1>y}P{X2>y}…P{Xn

>y}

(2)将Xi的共同分布函数F(x)代入上式得

FY(y)=1-[1-F(y)]n.

(3)Y的分布函数见上式，概率密度可对上式关于y求导，得到

(4)将E(λ)的分布函数和概率密度代入问题(2),(3),

得可以看出，min{X1,X2,…,Xn}仍服从指数分布，参数为.这个结果在例7.2.3要用到.3.4.4内容小结与思考

本次课主要介绍了

(1)两