函数综合及其应用答案

专题二函数概念与基本初等函数I

第六讲函数综合及其应用

答案部分

1.A【解析】解法一根据题意，作出了(X)的大致图象，如图所示

当xWl时，若要恒成立，结合图象，只需工2一工.+32-(]+〃)，即

Yy1

X2一一+3+。20,故对于方程/――+3+。=0,△=(——)2-4(3+a)W0,解得

222

47v7Y

；当x>l时，若要恒成立，结合图象，只需

即又'+222,当且仅当±=2,即x=2时等号成立，所以aW2,

2x2x2x

综上，a的取值范围是[-%>,2].选A.

16

111Y

解法二由题意/U)的最小值为1,此时％=-.不等式/(X)2|]+〃|在R上恒成立

r1I

等价于|4在R上恒成立.

当。二-2/"时，令x=L,

不符合，排除C、D：

2

当。=募时，令X=；，苴>不符合，排除已选A，

2.D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油,

最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错决B中以相同速度行驶相同路程，甲

燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲

车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8升汽油，C错误，D中某城市

机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用

丙车比用乙车更省油，选D.

3.B【解析】由题意可知〃=HK+从+c过点(3,0.7),(4,0.8)(5,0.5),代入

”=〃2+4+C中可解得。=-02/=1.5,。=一2,・•・p=-0.2r2+1.5/-2=

-0.2(-3.75)2+0.8125,・••当[=3.75分钟时，可食用率最大.

4.D【解析】设年平均增长率为％,原生产总值为a,则(l+〃)(l+g)a=a(l+x)2,解得

x=J(l+p)(l+q)—1,Sfc®D.

5.①④[解析]①e/(x)=/.2Y=(，"在R上单调递增，故/(力二2-具有M性质；

②=夕・3T=(3在R上单调递减，故f(x)=37不具有M性质；

3

③〃*)=/♦£,令ga)=eJd,贝ijg'(4)=e*r3+/・3/=d/(九+2),

.•.当x>-2时，g<x)>0,当x<-2时，g,(x)<0,

，/(1)二d・炉在(-00,-2)上单调递减，在(一2,+8)上单调递增，

故/(x)=，*不具有M性质；

④exf(x)=ex(X2+2),令g(x)=ex(x2+2),

则/(x)=ex(x2+2)+^-2x=ex[(x+1)2+l]>0,

A//(x)=e\jc+2)在R上单调递增，故/(%)=<+2具有M性质.

6.8【解析】由丁f(x)e[0,l),则需考虑IWXVIO的情况，

在此范围内，xeQ且xwO时，设％=，，。应£1^,〃之2,且〃国互质，

若IgxsQ,则由lgx£(O/)，可设lgx=^，肛〃EN*,机22,且根,〃互质，

m

10生=〃10"=("广

因此m“，则一，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，

pP

因此Igx任Q,

因此Igx不可能与每个周期内工£。对应的部分相等,

只需考虑1g1与每个周期X任。的部分的交点，

画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x£。的

部分，

且4=1处(lgx)'==<1,则在》=1附近仅有一个交点，

xlnlOInlO

7.4/1?【解析】如图连接。£交AC于G,由题意OEJ.AC,设等边三角形48C的边

/3小

长为x(0<x<5),则GE=5-^X.

66

由题意可知三棱锥的高力=We-OG~=J（5-gxY一（gx?=^25-_^x

底面SSBC=。，'

4

三棱锥的体积为丫=%FX2XI25-fex4-x5,

34V312V3

设〃(幻=5/一史/，则”（尤）=20/一空/（o<x<5）,

T

令/f(x)=O,解得x=4]当％w(0,4皿寸，h\x)>0,〃(为单调递增;

当兀w(443)时，h\x)<0,力。)单调递减，

所以尤=4#是以幻取得最大值力(4析=(4娟

所以丫=Yi5x产叼声户X(4^)2=4

8fx3-3x,x0

.2,(一8,-1).【解析】①若。=0,则fa)=〈，当x>0时，—2xv。；

\-2x,x>0

当x,,0时，/,(x)=3x2-3=3(x+l)(x-l),所以函数/(.r)在(-8,-1)上单调递

增，在(-1,0］上单调递减，所以函数/(x)在(-oo,0］上的最大值为〃-1)=2.

综上函数的最大值为2.

②函数y二尸一3x与y=-2x的大致图象如图所示

若/(x)无最大值，由图象可知一2。>2,即av-l.

『192=192

9.24【解析】由题意得〈刈，，即，所以该食品在33℃的保鲜时间是

［*3=48『

33k+bnkh

y=e=(e)^e=(L^193=24.

2

10.(2历⑥)【解析】函数g(x)的定义域为,根据已知得”")+&(')="x),

2

所以h(x)=2/(%)-g(x)=6x+2bJ4-d，h(x)>g(x)恒成立，

即6x+2h-V4-X2>A/4-X2,令、=3x+b,y=\j4-x2则只要直线y=3x+b

在半圆f+'2=4(》20)上方即可，由曳〉

2,解得b>2®(舍去负值)，故实

V10

数h的取值范围是(2疝+8).

11.160【解析】设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长xm,因为无盖长方体

4

的容积为453,高为所以长方体的底面矩形的宽为_相，依题意，得

X

y=20x4+10(2x+2x4)=80+20a+力80+20x=160

TxVA

12.①③④【解析】对于①，根据题中定义，/a)wA=函数y=/(x),xcO的值域

为R,由函数值域的概念知，函数y=/(x),x£O的值域为R=Vb£尺ma£O

f(a)=b,所以①正确；对于②，例如函数/(冗)=(%"的值域©1]包含于区间[_?],

2

所以但/(x)有最大值1,没有最小值，所以②错误：对于③，若

/(x)+g(x)wB,则存在一个正数M,，使得函数f(x)+g(x)eB的值域包含于区间

[-所以一MiW/(x)+g(x)WM1,由g(x)cB知，存在一个正数M2，

使得函数g(x)的值域包含于区间[-加I,M?],所以-MzWg(幻亦有

-M2W-g{x}WM2,两式相加得—(陷+M2)^f(x)WM+"2，于是『(幻eB,

与已知A”矛盾,故/(x)+g(©任3,即③正确；对于④，如果。>0,

那么Xf+ooj(x)f+00,如果。<0，那么X->-2J(x)->+00,所以/(X)有最

大值，必须々=0,此时/(»=j在区间(一2,+0。)上,有一

d+l22

所以即④正确，敢填①®@.

13.【解析】(1)当0vxW30时，f(x)=30<40恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能

少于自驾群体的人均通勤时间；

当30Vx<100时，例。<〃♦，即十二00-90>40,解微<20(舍)或45；

x

，当45<x<100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；

(2)设该地上班族总人数为〃，则自驾人数为〃•1%,乘公交人数为〃-(1-x%).

[30•«•x%+40•n-(1-x%)

0<xW30

因此人均通勤时间g(x)=<iQnn〃

(2x+-90).«x%+40-n.(1-x%)

----------------------------------,30<x<100

n

[,40-±x,0<x^30

整理得：g(x)”110,

―2.5)+36.875,30<x<100

则当％w(0,30]U(30,32.5],即xe(0,32.5]时，g(x)单调递减；

当xw(32.5/00)时，g(x)单调递增.

实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短.适

当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容

易导致交通拥堵，使得整体效率下降.

14.【解析】(1)连结尸。并延长交MN于H,则巴/_LMN,所以OH=10.

过O作OE_L8C于E,则。七〃MN,所以NCOE=6,

故OE=40cos&EC=40sin8

则矩形A8CO的面积为2x40cos6(40sin6M-10)=800(4sin6bos<%cos例，

bCDP的面积为[x2x40cos^40-40sin⑨=1600(cos^-sin^:osG).

2

过N作GN_LMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.

1TT

令NGOK=e,则sin8=,6>G(0,).

°040~6

当。时，才能作出满足条件的矩形ABCD,

°2-

所以sin的取值范围是J,l).

4

答：矩形ABCD的面积为800(4sinaos/cos份平方米，ACDP的面积为

1600(cos久sinaos⑨，sin弼取值范围是JJL).

4

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3,

设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为次(2>0),

则年总产值为4Ax800(4sinftosft-cos^)+3火xl600(cosQsina:os例

7T

=8000Msin6bos分cos⑨,猴[6,).

02

设/(4=sin&osa_cos。，5,

02

则=cos20-sin20-sine-(2sin2分sinQl)=-(2sin0-l)(sinft-l).

71

令/(4=0,得R

jr6

当失©,)时，f⑹>0,所以/(4为增函数；

06~

当鱼("」)虫，/(3<0,所以为减函数，

62

兀

因此，当必/时，/(仍取到最大值.

6

71

答:当图邛寸，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

6

/1S))()得।

15.【解析】(1)由log2(,上J亍+5>1,

解得工£(-00,-。(0,-KC).

【小

(2):+〃=(a-4)x+2〃-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,

x

当。=4时，x=-l,经检验，满足题意.

当。=3时，x1=x2=-l,经检验，满足题意.

当aw3且aw4时，♦=1,x,=-l,x.^Xy.

再是原方程的解当且仅当1+a>0,即。>2；

修是原方程的解当且仅当1+a>0,即a>l.

石

于是满足题意的4£(1,2].

综上，4的取值范围为(1,2］u{3,4}.

(3)当0c舌〈工2时，i+aA^+a，log

X-X-2X

所以/(x)在(o,y)上单调递减.

函数/(%)在区间［〃+1］上的最大值与最小值分别为了"),/(r+1).

/(，)_/(，+1)=1号]+[,lo耳'+a'f1即。厂+(a+1>一IN0>

对任意f£「1,/成立.

5J

因为。＞0,所以函数yuar+Gz+l'T在区间「1/上单调递增,

m」

1时，y有最小值

：〃一|,由:々/NO,得

242423

故〃的取值范围为「2

,-K».

仁)

16.懒斤】(I)由题意知，点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).

〃=40

将其分别代入y==1000

二例a=0

।---------=2.5

I400+b

1000(1000)

(2)①由(1)知，y=(5<x<20),则点P的坐标为1,

2000

设在点p处的切线/交工,y轴分别于A,B点，y=-

10002000

则/的方程为y-=-(Zx-⑸0、B/o：°时

21

te5,2

故/(。=卜

②设g(1)=/2+4x1°，蛔。)=2"16>1。6令g()=0,解得r102.

-^5-=丁

当左(5,1()4)时，g'(z)<(),g(f)是减函数;

当't(ioGo)时，g'a)>o,g(。是增函数.

从而，当”10。时，函数g。)有极小值，也是最小值，所以g(，L=300,

此时=15旨.

答：当r=10例，公路/的长度最短，最短长度为153jr米.

17.廨析】(I)因为蓄水池侧面积的总成本为100・2万/2=200加7元，底面的总成本为

160/元，所以蓄水池的总成本为(200^/2+16(hr2)元.

又题意据200用为+160加2=12000加所以力二_(300-4r),

5r

从而V(r)=加2〃=%300r一4/).因/•>(),又由。>0可得，<5初"

故函数V(r)的定义域为(0,5/.

4jr

(II)因丫(厂)=_(300r—4力，故V'(r)=_(300—12/).令已⑺二o,

J~5

解得八=5,々=—5(因力二-5不在定义域内，舍去).

当「£(0,5)时，V\r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数：

当「£(5,56时，VV)<0,故V(r)在(5,近上为减函数.

由此可知，V(r)在「=5处取得最大值，此时力=8.

即当r=5,。=8时，该蓄水池的体积最大.

18.B®f](1)当匕=1,。=一1,〃...2时，f(x)=xn4-x-l.

V/(l)/(D=(1-1)xl<0,・・./。)在(1,1)内存在零点.

2T22

又当时，/(幻=电厂+1>0,・・・7(%)在J/)上是单调递增的,

22

・•・f(x)在区间(1,1)内存在唯一的零点；

2

⑵解法一由题意知上嘤/(T)1,即[。罂一。2,

-1W(1)1,-2^1b+c由图像知，b+3c在点

II0,

(0,-2)取得最小值-6,在点(0,0)取得最大值0.

b

解法二由题意知一1强犷(1)=1+匕+c1，即一2强必+c0.…①

一1领J/(一D=1—1，即-2?f+c?().…②

①x2+②得一6?2(当+c)+(-b+c)=b