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文档简介
专题二函数概念与基本初等函数I
第六讲函数综合及其应用
答案部分
1.A【解析】解法一根据题意,作出了(X)的大致图象,如图所示
当xWl时,若要恒成立,结合图象,只需工2一工.+32-(]+〃),即
Yy1
X2一一+3+。20,故对于方程/――+3+。=0,△=(——)2-4(3+a)W0,解得
222
47v7Y
;当x>l时,若要恒成立,结合图象,只需
即又'+222,当且仅当±=2,即x=2时等号成立,所以aW2,
2x2x2x
综上,a的取值范围是[-%>,2].选A.
16
111Y
解法二由题意/U)的最小值为1,此时%=-.不等式/(X)2|]+〃|在R上恒成立
r1I
等价于|4在R上恒成立.
当。二-2/"时,令x=L,
不符合,排除C、D:
2
当。=募时,令X=;,苴>不符合,排除已选A,
2.D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,A中乙车消耗1升汽油,
最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值,A错决B中以相同速度行驶相同路程,甲
燃油效率最高,所以甲最省油,B错误,C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,甲
车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km,消耗8升汽油,C错误,D中某城市
机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用
丙车比用乙车更省油,选D.
3.B【解析】由题意可知〃=HK+从+c过点(3,0.7),(4,0.8)(5,0.5),代入
”=〃2+4+C中可解得。=-02/=1.5,。=一2,・•・p=-0.2r2+1.5/-2=
-0.2(-3.75)2+0.8125,・••当[=3.75分钟时,可食用率最大.
4.D【解析】设年平均增长率为%,原生产总值为a,则(l+〃)(l+g)a=a(l+x)2,解得
x=J(l+p)(l+q)—1,Sfc®D.
5.①④[解析]①e/(x)=/.2Y=(,"在R上单调递增,故/(力二2-具有M性质;
②=夕・3T=(3在R上单调递减,故f(x)=37不具有M性质;
3
③〃*)=/♦£,令ga)=eJd,贝ijg'(4)=e*r3+/・3/=d/(九+2),
.•.当x>-2时,g<x)>0,当x<-2时,g,(x)<0,
,/(1)二d・炉在(-00,-2)上单调递减,在(一2,+8)上单调递增,
故/(x)=,*不具有M性质;
④exf(x)=ex(X2+2),令g(x)=ex(x2+2),
则/(x)=ex(x2+2)+^-2x=ex[(x+1)2+l]>0,
A//(x)=e\jc+2)在R上单调递增,故/(%)=<+2具有M性质.
6.8【解析】由丁f(x)e[0,l),则需考虑IWXVIO的情况,
在此范围内,xeQ且xwO时,设%=,,。应£1^,〃之2,且〃国互质,
若IgxsQ,则由lgx£(O/),可设lgx=^,肛〃EN*,机22,且根,〃互质,
m
10生=〃10"=("广
因此m“,则一,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,
pP
因此Igx任Q,
因此Igx不可能与每个周期内工£。对应的部分相等,
只需考虑1g1与每个周期X任。的部分的交点,
画出函数图象,图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x£。的
部分,
且4=1处(lgx)'==<1,则在》=1附近仅有一个交点,
xlnlOInlO
7.4/1?【解析】如图连接。£交AC于G,由题意OEJ.AC,设等边三角形48C的边
/3小
长为x(0<x<5),则GE=5-^X.
66
由题意可知三棱锥的高力=We-OG~=J(5-gxY一(gx?=^25-_^x
底面SSBC=。,'
4
三棱锥的体积为丫=%FX2XI25-fex4-x5,
34V312V3
设〃(幻=5/一史/,则”(尤)=20/一空/(o<x<5),
T
令/f(x)=O,解得x=4]当%w(0,4皿寸,h\x)>0,〃(为单调递增;
当兀w(443)时,h\x)<0,力。)单调递减,
所以尤=4#是以幻取得最大值力(4析=(4娟
所以丫=Yi5x产叼声户X(4^)2=4
8fx3-3x,x0
.2,(一8,-1).【解析】①若。=0,则fa)=〈,当x>0时,—2xv。;
\-2x,x>0
当x,,0时,/,(x)=3x2-3=3(x+l)(x-l),所以函数/(.r)在(-8,-1)上单调递
增,在(-1,0]上单调递减,所以函数/(x)在(-oo,0]上的最大值为〃-1)=2.
综上函数的最大值为2.
②函数y二尸一3x与y=-2x的大致图象如图所示
若/(x)无最大值,由图象可知一2。>2,即av-l.
『192=192
9.24【解析】由题意得〈刈,,即,所以该食品在33℃的保鲜时间是
[*3=48『
33k+bnkh
y=e=(e)^e=(L^193=24.
2
10.(2历⑥)【解析】函数g(x)的定义域为,根据已知得”")+&(')="x),
2
所以h(x)=2/(%)-g(x)=6x+2bJ4-d,h(x)>g(x)恒成立,
即6x+2h-V4-X2>A/4-X2,令、=3x+b,y=\j4-x2则只要直线y=3x+b
在半圆f+'2=4(》20)上方即可,由曳〉
2,解得b>2®(舍去负值),故实
V10
数h的取值范围是(2疝+8).
11.160【解析】设该容器的总造价为y元,长方体的底面矩形的长xm,因为无盖长方体
4
的容积为453,高为所以长方体的底面矩形的宽为_相,依题意,得
X
y=20x4+10(2x+2x4)=80+20a+力80+20x=160
TxVA
12.①③④【解析】对于①,根据题中定义,/a)wA=函数y=/(x),xcO的值域
为R,由函数值域的概念知,函数y=/(x),x£O的值域为R=Vb£尺ma£O
f(a)=b,所以①正确;对于②,例如函数/(冗)=(%"的值域©1]包含于区间[_?],
2
所以但/(x)有最大值1,没有最小值,所以②错误:对于③,若
/(x)+g(x)wB,则存在一个正数M,,使得函数f(x)+g(x)eB的值域包含于区间
[-所以一MiW/(x)+g(x)WM1,由g(x)cB知,存在一个正数M2,
使得函数g(x)的值域包含于区间[-加I,M?],所以-MzWg(幻亦有
-M2W-g{x}WM2,两式相加得—(陷+M2)^f(x)WM+"2,于是『(幻eB,
与已知A”矛盾,故/(x)+g(©任3,即③正确;对于④,如果。>0,
那么Xf+ooj(x)f+00,如果。<0,那么X->-2J(x)->+00,所以/(X)有最
大值,必须々=0,此时/(»=j在区间(一2,+0。)上,有一
d+l22
所以即④正确,敢填①®@.
13.【解析】(1)当0vxW30时,f(x)=30<40恒成立,公交群体的人均通勤时间不可能
少于自驾群体的人均通勤时间;
当30Vx<100时,例。<〃♦,即十二00-90>40,解微<20(舍)或45;
x
,当45<x<100时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;
(2)设该地上班族总人数为〃,则自驾人数为〃•1%,乘公交人数为〃-(1-x%).
[30•«•x%+40•n-(1-x%)
0<xW30
因此人均通勤时间g(x)=<iQnn〃
(2x+-90).«x%+40-n.(1-x%)
----------------------------------,30<x<100
n
[,40-±x,0<x^30
整理得:g(x)”110,
―2.5)+36.875,30<x<100
则当%w(0,30]U(30,32.5],即xe(0,32.5]时,g(x)单调递减;
当xw(32.5/00)时,g(x)单调递增.
实际意义:当有32.5%的上班族采用自驾方式时,上班族整体的人均通勤时间最短.适
当的增加自驾比例,可以充分的利用道路交通,实现整体效率提升;但自驾人数过多,则容
易导致交通拥堵,使得整体效率下降.
14.【解析】(1)连结尸。并延长交MN于H,则巴/_LMN,所以OH=10.
过O作OE_L8C于E,则。七〃MN,所以NCOE=6,
故OE=40cos&EC=40sin8
则矩形A8CO的面积为2x40cos6(40sin6M-10)=800(4sin6bos<%cos例,
bCDP的面积为[x2x40cos^40-40sin⑨=1600(cos^-sin^:osG).
2
过N作GN_LMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.
1TT
令NGOK=e,则sin8=,6>G(0,).
°040~6
当。时,才能作出满足条件的矩形ABCD,
°2-
所以sin的取值范围是J,l).
4
答:矩形ABCD的面积为800(4sinaos/cos份平方米,ACDP的面积为
1600(cos久sinaos⑨,sin弼取值范围是JJL).
4
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3,
设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为次(2>0),
则年总产值为4Ax800(4sinftosft-cos^)+3火xl600(cosQsina:os例
7T
=8000Msin6bos分cos⑨,猴[6,).
02
设/(4=sin&osa_cos。,5,
02
则=cos20-sin20-sine-(2sin2分sinQl)=-(2sin0-l)(sinft-l).
71
令/(4=0,得R
jr6
当失©,)时,f⑹>0,所以/(4为增函数;
06~
当鱼("」)虫,/(3<0,所以为减函数,
62
兀
因此,当必/时,/(仍取到最大值.
6
71
答:当图邛寸,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
6
/1S))()得।
15.【解析】(1)由log2(,上J亍+5>1,
解得工£(-00,-。(0,-KC).
【小
(2):+〃=(a-4)x+2〃-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,
x
当。=4时,x=-l,经检验,满足题意.
当。=3时,x1=x2=-l,经检验,满足题意.
当aw3且aw4时,♦=1,x,=-l,x.^Xy.
再是原方程的解当且仅当1+a>0,即。>2;
修是原方程的解当且仅当1+a>0,即a>l.
石
于是满足题意的4£(1,2].
综上,4的取值范围为(1,2]u{3,4}.
(3)当0c舌〈工2时,i+aA^+a,log
X-X-2X
所以/(x)在(o,y)上单调递减.
函数/(%)在区间[〃+1]上的最大值与最小值分别为了"),/(r+1).
/(,)_/(,+1)=1号]+[,lo耳'+a'f1即。厂+(a+1>一IN0>
对任意f£「1,/成立.
5J
因为。>0,所以函数yuar+Gz+l'T在区间「1/上单调递增,
m」
1时,y有最小值
:〃一|,由:々/NO,得
242423
故〃的取值范围为「2
,-K».
仁)
16.懒斤】(I)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).
〃=40
将其分别代入y==1000
二例a=0
।---------=2.5
I400+b
1000(1000)
(2)①由(1)知,y=(5<x<20),则点P的坐标为1,
2000
设在点p处的切线/交工,y轴分别于A,B点,y=-
10002000
则/的方程为y-=-(Zx-⑸0、B/o:°时
21
te5,2
故/(。=卜
②设g(1)=/2+4x1°,蛔。)=2"16>1。6令g()=0,解得r102.
-^5-=丁
当左(5,1()4)时,g'(z)<(),g(f)是减函数;
当't(ioGo)时,g'a)>o,g(。是增函数.
从而,当”10。时,函数g。)有极小值,也是最小值,所以g(,L=300,
此时=15旨.
答:当r=10例,公路/的长度最短,最短长度为153jr米.
17.廨析】(I)因为蓄水池侧面积的总成本为100・2万/2=200加7元,底面的总成本为
160/元,所以蓄水池的总成本为(200^/2+16(hr2)元.
又题意据200用为+160加2=12000加所以力二_(300-4r),
5r
从而V(r)=加2〃=%300r一4/).因/•>(),又由。>0可得,<5初"
故函数V(r)的定义域为(0,5/.
4jr
(II)因丫(厂)=_(300r—4力,故V'(r)=_(300—12/).令已⑺二o,
J~5
解得八=5,々=—5(因力二-5不在定义域内,舍去).
当「£(0,5)时,V\r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数:
当「£(5,56时,VV)<0,故V(r)在(5,近上为减函数.
由此可知,V(r)在「=5处取得最大值,此时力=8.
即当r=5,。=8时,该蓄水池的体积最大.
18.B®f](1)当匕=1,。=一1,〃...2时,f(x)=xn4-x-l.
V/(l)/(D=(1-1)xl<0,・・./。)在(1,1)内存在零点.
2T22
又当时,/(幻=电厂+1>0,・・・7(%)在J/)上是单调递增的,
22
・•・f(x)在区间(1,1)内存在唯一的零点;
2
⑵解法一由题意知上嘤/(T)1,即[。罂一。2,
-1W(1)1,-2^1b+c由图像知,b+3c在点
II0,
(0,-2)取得最小值-6,在点(0,0)取得最大值0.
b
解法二由题意知一1强犷(1)=1+匕+c1,即一2强必+c0.…①
一1领J/(一D=1—1,即-2?f+c?().…②
①x2+②得一6?2(当+c)+(-b+c)=b
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