2024-2025学年新教材高中数学第五章数列5.3等比数列5.3.1.2等比数列的性质课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE八等比数列的性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知等比数列{an}中,a3a13=16,则a8的值等于A.4 B.8 C.±4 【解析】选C.因为QUOTE=a3a13=16,所以a8=±4.2.已知等比数列QUOTE满意a5+a8=2,a6·a7=-8,则q3= ()A.-QUOTE B.-2C.-QUOTE或-2 D.2【解析】选C.由等比数列的性质可知,a5·a8=a6·a7=-8,又因为a5+a8=2,所以a5=4,a8=-2,或a5=-2,a8=4,所以q3=QUOTE=-2或-QUOTE.3.(2024·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8= ()A.12 B.24 C.30 【解析】选D.设等比数列QUOTE的公比为q,则a1+a2+a3=a1QUOTE=1,a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1qQUOTE=q=2,因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5QUOTE=q5=32.4.设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,那么a3·a6·a9·…·a30等于 ()A.210 B.220 C.216 【解析】选B.设A=a1a4a7…a28,B=a2a5C=a3a6a9…公比为q10=210,由条件得A·B·C=230,所以B=210,所以C=B·210=220.5.在等比数列QUOTE中,a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,则a8等于 ()A.1 B.-1 C.±1 【解析】选B.因为a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,所以a4+a12=-3,a4a12=1,所以a4<0,a12又QUOTE是等比数列,所以QUOTE=a4a12=1,而等比数列QUOTE中全部偶数项同号,所以a8=-1.6.某家庭确定要进行一项投资活动,预料每年收益5%.该家庭2020年1月1日投入10万元,依据复利(复利是指在每经过一个计息期后,都将所得利息加入本金,以计算下期的利息)计算,参考数据:1.058≈1.48,1.059≈1.55,1.0510≈1.63,1.0511≈1.71A.14.8万元 B.15.5万元C.16.3万元 D.17.1万元【解析】选C.由题意知,该家庭2024年1月1日本金加收益和为10·(1+5%)=10×1.05,2024年1月1日本金加收益和为10×1.052,2024年1月1日本金加收益和为10×1.053……2030年1月1日本金加收益和为10×1.0510≈10×1.63=16.3.所以到2030年1月1日,该家庭在此项投资活动的资产总额大约为16.3万元.二、填空题(每小题5分,共10分)7.等比数列{an}中,a1=3,q=2,则a4=________,an=________.

【解析】a4=a1q3=3×23=24,an=a1qn-1=3×2n-1.答案:243×2n-18.在等比数列{an}中,若a1a2a3a4=1,a13a14a15【解析】设等比数列{an}的公比为q,a1a2a3a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=QUOTE·q6=1,①a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=QUOTE·q54=8,②②÷①得q48=8,q16=2,所以a41a42a43a44=a1q40·a1q41·a1q42·q1q43=QUOTE·q166=QUOTE·q6·q160=(QUOTE·q6)(q16)10=210=1024.答案:1024三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=2QUOTE,a3+a4+a5=64QUOTE,求{an}的通项公式.【解析】设数列{an}的公比为q(q>0).因为a1+a2=2·QUOTE,所以a1+a1q=2·QUOTE,即a1=QUOTE.①又因为a3+a4+a5=64QUOTE,所以a3(1+q+q2)=64·QUOTE,即a3=QUOTE.②联立①②,解得q=2,a1=1,故an=QUOTE(n∈N*).10.在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an;(3)试比较an与Sn的大小.【解析】(1)因为bn=log2an,所以bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2QUOTE=log2q(q>0)为常数,所以数列{bn}为等差数列且公差d=log2q.(2)因为b1+b3+b5=6,所以(b1+b5)+b3=2b3+b3=3b3=6,即b3=2.又因为a1>1,所以b1=log2a1又因为b1·b3·b5=0,所以b5=0,即QUOTE即QUOTE解得QUOTE因此Sn=4n+QUOTE(-1)=QUOTE.又因为d=log2q=-1,所以q=QUOTE,b1=log2a1=4,即a1=16,所以an=QUOTE(n∈N*).(3)由(2)知,an=QUOTE>0,当n≥9时,Sn=QUOTE≤0,所以当n≥9时,an>Sn.又因为a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=QUOTE,a7=QUOTE,a8=QUOTE,S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4,所以当n=3,4,5,6,7,8时,an<Sn;当n=1,2或n≥9,n∈N*时,an>Sn.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在数列{an}中,a1=2,当n为奇数时,an+1=an+2;当n为偶数时,an+1=2an-1,则a12等于()A.32 B.34 C.66【解析】选C.依题意,a1,a3,a5,a7,a9,a11构成以2为首项,2为公比的等比数列,故a11=a1×25=64,a12=a11+2=66.2.等差数列QUOTE的首项为1,公差不为0,若a2,a3,a6成等比数列,则数列QUOTE的前8项的和S8为 ()A.64 B.22 C.-48【解析】选C.等差数列QUOTE的首项为1,设公差为d(d≠0).若a2,a3,a6成等比数列,则QUOTE=a2a6,即QUOTE=QUOTE,解得d=-2,所以QUOTE的前8项和为S8=8×1+QUOTE×QUOTE=-48.3.已知等比数列{an}满意an>0,且a5·a2n-5=QUOTE(n≥3),则当n≥3时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于 ()A.2n B.2n2 C.n2 【解析】选C.log2a1+log2a3+…+log=log2(a1a3·…·a2n-1=log2QUOTE=log2QUOTE=log2QUOTE=log2QUOTE=n2.4.等比数列{an}的各项均为正数,已知向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且a·b=4,则log2a1+log2a2+…+log2a10A.12 B.10 C.5 D.2+log【解析】选C.向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且a·b=4,所以a4a7+a5a由等比数列的性质可得:a1a10=…=a4a7=a5则log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2·a10)=log2(a1a10)5二、填空题(每小题5分,共20分)5.在3和一个未知数间填上一个数,使这三个数成等差数列,若中间项减去6则成等比数列,则此未知数是________.

【解析】设此三数为3,a,b,则QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以这个未知数为3或27.答案:3或276.在QUOTE和8之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积为________.

【解析】设插入的3个数依次为a,b,c,即QUOTE,a,b,c,8成等比数列,由等比数列的性质可得b2=ac=QUOTE×8=4,因为a2=QUOTEb>0,所以b=2(负值舍去).所以这3个数的积为abc=4×2=8.答案:87.数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn=QUOTE,若b10·b11=2,则a21=__________.

【解题指南】解答本题首先要留意b1·b2·b3·…·b20=QUOTE·QUOTE·QUOTE·…·QUOTE=QUOTE=a21,另外要留意依据b10·b11=2用等比数列性质求b1·b2·b3·…·b20.【解析】因为bn=QUOTE,所以b1=QUOTE,b2=QUOTE,b3=QUOTE,…,b20=QUOTE.以上各式相乘,得b1·b2·b3·…·b20=QUOTE·QUOTE·QUOTE·…·QUOTE=QUOTE=a21,因为数列{bn}为等比数列,所以b1·b20=b2·b19=b3·b18=…=b10·b11=2,所以a21=b1·b2·b3·…·b20=210=1024.答案:10248.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=QUOTE,a8a9=-QUOTE,则QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=________.

【解析】因为a7+a8+a9+a10=QUOTE,a8·a9=a7·a10=-QUOTE,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE【一题多解】因为a7+a8+a9+a10=QUOTE,a8a9=-QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE,即QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=-QUOTE.又a7a10=a8a所以QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=-QUOTE.所以QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3的值.(2)设bn=an+3,证明数列{bn}为等比数列,并求通项公式an.【解析】(1)由已知,当n=1时,a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,当n=2时,S2=2a2-3×2=a1+a2,解得a2=9,当n=3时,S3=2a3-3×3=a1+a2+a3,解得a3=21.(2)因为Sn=2an-3×n,所以QUOTE=2QUOTE-3×(n+1),两式相减得QUOTE=2an+3,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,又因为b1=a1+3=6,所以{bn}是首项为6,公比为2的等比数列,bn=6×QUOTE,所以an=bn-3=6×QUOTE-3=3(2n-1).【补偿训练】设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中k是常数.(1)求a1及an;(2)若对于随意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.【解析】(1)由Sn=kn2+n,得a1=S1=k+1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2kn-k+1.阅历证,n=1时,上式也成立,所以an=2kn-k+1.(2)因为am,a2m,a4m成等比数列,所以QUOTE=am·a4m,即(4mk-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),整理得mk(k-1)=0.因为对随意的m∈N*成立,所以k=0或k=1.10.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=QUOTE,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项公式.【解析】设{an}的公差为d.由S3=QUOTE,得3a2=QUOTE,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列,得QUOTE=S1S4.又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时Sn=0,不符合题意;若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0,或d=2.因此{an}的通项公式为an=3或an=2n-1(n∈N*).11.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+5n,数列{bn}中,b1=8,64bn+1-bn=0,问是否存在常数c,使得对随意的正整数n(n∈N*),an+logcbn恒为常数m?若存在,求出常数c和m的值;若不存在,请说明理由.【解题指南】先求出an与bn,假设存在c与m,利用n的随意性建立c,m的方程,推断解是否存在.【解析】因为Sn=3n2+5n,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+2,而a1=S1=8适合上式.所以an=6n+2,由64bn+1-bn=0得QUOTE=QUOTE,所以{bn}是首项为8,公比为8-2的等比数列.所以bn=8×(8-2)n-1=83-2n.假设存在常数c和m,使an+logcbn=m恒成立,则6n+2+logc83-2n=m,即(6-2logc8)n+(2+3logc8)=m,对随意n∈N*恒成立.所以QUOTE解得QUOTE所以存在常数c=2,使得对随意n∈N