安徽省蚌埠市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题含解析

PAGEPAGE17安徽省蚌埠市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共12小题）.1．已知实数a，b满意a＜b，则下列不等式肯定成立的是（）A．＞ B．a2＜b2 C．ac＜bc D．a﹣c＜b﹣c2．求值：cos75°cos45°﹣sin75°sin45°＝（）A． B． C．﹣ D．﹣3．某校高一年级共有800名学生，随机编号为001，002，003，……，800，现拟对他们高二文理分科的意向进行调查，抽取编号尾数为3的80名学生作为样本．这种抽样方法是（）A．分层抽样 B．系统抽样 C．随机数法 D．抽签法4．七巧板是古代中国劳动人民的独创，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，明、清两代在中国民间广泛流传．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A． B． C． D．5．甲、乙两名篮球运动员在8场竞赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A．甲得分的极差是11 B．乙得分的中位数是18.5 C．甲有3场竞赛的单场得分超过20 D．甲的单场平均得分比乙高6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，假如acosB＝bcosA，那么△ABC肯定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．4 B．7 C．10 D．138．设x，y满意约束条件，则z＝2x+y的最大值是（）A．10 B．5 C．4 D．29．某工厂的每月各项开支x与毛利润y（单位：万元）之间有如表关系，y与x的线性回来方程，则a＝（）x24568y3040605070A．17.5 B．17 C．15 D．15.510．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，若＝，则＝（）A． B． C． D．11．从一批产品中随机抽取3件产品进行质量检测，记“3件产品都是次品”为事务A．“3件产品都不是次品”为事务B，“3件产品不都是次品”为事务C，则下列说法正确的是（）A．随意两个事务均互斥 B．随意两个事务均不互斥 C．事务A与事务C对立 D．事务A与事务B对立12．已知x+1＞y＞0，则x++的最小值为（）A．﹣1 B． C．2﹣1 D．3﹣1二、填空题（共4小题）.13．在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝，则公比q＝．14．已知tanα＝2，则cos2α+sin2α＝．15．不等式＞0的解集为．16．△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若a，b，c成等差数列，则+的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）＝，sin（α+β）＝﹣．（1）求sin（α﹣β）和cos（α+β）；（2）求角α．18．已知袋中装有5个小球，其中3个黑球记为A，B，C，2个红球记为a，b，现从中随机摸出两个球．（1）写出全部的基本领件；（2）求两个球中恰有一个黑球的概率；（3）求两个球中至少有一个黑球的概率．19．已知函数f（x）＝x2﹣（a+b）x+a．（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值；（2）当b＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0．20．如图，在平面四边形ABCD中，若∠ADC＝90°，sinA＝，AB＝8，BD＝6．（1）求∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．21．某校为了解高一年级学生的数学学科发展状况，随机抽取了100名学生，列出他们的高一其次学期期中考试数学成果的频率分布直方图如图，其中成果的分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）利用样本估计总体的方法，估计该校高一年级此次期中考试的平均分（同一分组的成果用该组区间的中点值做代表）；（3）若将分数从高分到低分排列，取前20%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中考试“优秀”档次的分数线．22．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满意an2+an﹣2Sn＝0（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{bn}的前n项和为Tn，若bn＝（2an﹣7）•2n，求Tn；（3）求数列{Tn}的最小项．

参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的A.B，C，D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.1．已知实数a，b满意a＜b，则下列不等式肯定成立的是（）A．＞ B．a2＜b2 C．ac＜bc D．a﹣c＜b﹣c【分析】依据条件，取a＝﹣1，b＝0，c＝0，则可解除错误选项．解：由实数a，b满意a＜b，取a＝﹣1，b＝0，c＝0，则ABC不成立．故选：D．2．求值：cos75°cos45°﹣sin75°sin45°＝（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】逆用两角和的余弦公式，即可求解．解：cos75°cos45°﹣sin75°sin45°＝cos（75°+45°）＝cos120°＝﹣cos60°＝﹣．故选：C．3．某校高一年级共有800名学生，随机编号为001，002，003，……，800，现拟对他们高二文理分科的意向进行调查，抽取编号尾数为3的80名学生作为样本．这种抽样方法是（）A．分层抽样 B．系统抽样 C．随机数法 D．抽签法【分析】依据系统抽样的定义可得到结论．解：高一年级共有800名学生，随机编号为001，002，003，……，800，抽取编号尾数为3的80名学生作为样本．则分成80组，间距10，每组10人，抽取编号尾数为3的学生即003，013，023，033，043……，依据间距抽取满意系统抽样的定义，故选：B．4．七巧板是古代中国劳动人民的独创，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，明、清两代在中国民间广泛流传．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A． B． C． D．【分析】依据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，即可得到结论．解：设正方形的边长为2，则阴影部分由2个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为2，则等腰直角三角形的边长为＝，对应每个小等腰三角形的面积S＝××＝．则阴影部分的面积为2×＝，又正方形的面积为4，∴该点取自图中阴影部分的概率是＝．故选：A．5．甲、乙两名篮球运动员在8场竞赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A．甲得分的极差是11 B．乙得分的中位数是18.5 C．甲有3场竞赛的单场得分超过20 D．甲的单场平均得分比乙高【分析】依据茎叶图，折线图整合数据，推断选项．解：甲的极差为28﹣9＝19，故A选项不符合题意．乙的中位数为＝16.5，故选项B不符合题意．甲得分的折线图可知甲运动员得分有2次超过20，故选项C不符合题意．故选：D．6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，假如acosB＝bcosA，那么△ABC肯定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【分析】依据图形得，在直角△ACD和直角△BCD中，两次利用正弦定理得到bsinA＝asinB，又因为bcosA＝acosB，所以得到tanA＝tanB，而∠A和∠B为锐角，所以∠A＝∠B，所以三角形为等腰三角形．【解答】解法1：过C作CD⊥AB，垂足为D，在直角△ACD中，依据正弦定理得：＝，解得CD＝bsinA，在直角△BCD中，依据正弦定理得：＝，解得CD＝asinB，所以bsinA＝asinB，又因为bcosA＝acosB两个等式联立得：tanA＝tanB，而∠A和∠B为锐角，所以∠A＝∠B，所以三角形为等腰三角形；解法2：∵acosB＝bcosA，∴＝，又依据正弦定理＝，∴＝，即sinBcosA﹣sinAcosB＝0，∴sin（B﹣A）＝0，又A和B都为三角形的内角，∴A＝B，即三角形为等腰三角形．故选：D．7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．4 B．7 C．10 D．13【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，满意条件x≤9，退出循环，输出x的值为10．解：初始x＝1，执行程序框图，第一次循环得到x＝x+3＝1+3＝4其次次循环得到x＝x+3＝4+3＝7第三次循环得到x＝x+3＝7+3＝1010≤9不成立，故输出结果为10，故选：C．8．设x，y满意约束条件，则z＝2x+y的最大值是（）A．10 B．5 C．4 D．2【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，4），化为z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+4＝10．故选：A．9．某工厂的每月各项开支x与毛利润y（单位：万元）之间有如表关系，y与x的线性回来方程，则a＝（）x24568y3040605070A．17.5 B．17 C．15 D．15.5【分析】求出对称中心，代入回来直线方程，得到a，即可．解：，＝50．因为y与x的线性回来方程为，代入（5，50），得a＝17.5．故选：A．10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，若＝，则＝（）A． B． C． D．【分析】依据题意，分析可得，又由等差数列的前n项和公式和等差数列的性质可得＝；即可得答案．解：依据题意，等差数列{an}和{bn}中，若＝，则有＝＝，又由＝＝＝＝；故＝；故选：B．11．从一批产品中随机抽取3件产品进行质量检测，记“3件产品都是次品”为事务A．“3件产品都不是次品”为事务B，“3件产品不都是次品”为事务C，则下列说法正确的是（）A．随意两个事务均互斥 B．随意两个事务均不互斥 C．事务A与事务C对立 D．事务A与事务B对立【分析】利用互斥事务、对立事务的定义干脆求解．解：从一批产品中随机抽取3件产品进行质量检测，记“3件产品都是次品”为事务A．“3件产品都不是次品”为事务B，“3件产品不都是次品”为事务C，对于A，事务B和事务C能同时发生，不是互斥事务，故A错误；对于B，事务A和事务C不能同时发生，是互斥事务，故B错误；对于C，事务A和事务C不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事务，故C正确；对于D，事务A与事务B事务A和事务C不能同时发生，能同时不发生，是互斥但不对立事务，故D错误．故选：C．12．已知x+1＞y＞0，则x++的最小值为（）A．﹣1 B． C．2﹣1 D．3﹣1【分析】依据题意，可得x++＝（+）+（+）﹣1，然后基本不等式求出（+）和（+）的最小值即可．解：依据题意，x++＝+++﹣1＝（+）+（+）﹣1，又x+1＞y＞0，则+≥2＝2，当且仅当x+y+1＝2时等号成立，+≥2＝，当且仅当x﹣y+1＝时等号成立，故x++＝（+）+（+）﹣1≥3﹣1，当且仅当x+1＝，y＝时等号成立．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案干脆填在答题卡上．13．在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝，则公比q＝．【分析】依据等比数列的通项公式即可得解．解：由等比数列的通项公式可知，a5＝a2•q5﹣2，即，所以q＝．故答案为：．14．已知tanα＝2，则cos2α+sin2α＝1．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．解：∵tanα＝2，∴cos2α+sin2α＝＝＝＝1．故答案为：1．15．不等式＞0的解集为（﹣1，2）∪（3，+∞）．【分析】先把分式不等式转化为高次不等式，从而可求．解：由＞0可得（x﹣2）（x﹣3）（x+1）＞0，解可得，﹣1＜x＜2或x＞3．故答案为：（﹣1，2）∪（3，+∞）16．△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若a，b，c成等差数列，则+的最小值为．【分析】由等差数列的性质可得a+c＝2b，则sinA+sinC＝2sinB＝2sin（A+C），利用和差化积与倍角公式变形，求得．再利用二倍角正切变形，通分后整理，利用基本不等式求+的最小值．解：a，b，c成等差数列，∴a+c＝2b．则sinA+sinC＝2sinB＝2sin（A+C），∴，∵0＜A+C＜π，∴0＜＜，则sin，即＝2cos，∴coscos+sinsin＝2coscos﹣2sin．即．+＝＝＝＝＝＝．当且仅当＝时，上式等号成立．∴+的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知＜β＜α＜，cos（α﹣β）＝，sin（α+β）＝﹣．（1）求sin（α﹣β）和cos（α+β）；（2）求角α．【分析】（1）依据角的范围，利用平方关系求出sin（α﹣β）和cos（α+β）；（2）可以将2α看成（α+β）+（α﹣β），利用两角和的正弦公式，求出sin2α，然后依据角的范围，求出α．解：（1）由＜β＜α＜得，sin（α﹣β）＜0，又cos（α﹣β）＝，∴．又，cos（α+β）＜0，又因为sin（α+β）＝﹣，∴．（2）sin2α＝sin[（α+β）+（α﹣β）]＝sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β）＝．∵，∴，∴．18．已知袋中装有5个小球，其中3个黑球记为A，B，C，2个红球记为a，b，现从中随机摸出两个球．（1）写出全部的基本领件；（2）求两个球中恰有一个黑球的概率；（3）求两个球中至少有一个黑球的概率．【分析】（1）袋中装有5个小球，其中3个黑球记为A，B，C，2个红球记为a，b，利用列举法能求出全部的基本领件．（2）记“两个球中恰有一个黑球”为事务M，利用列举法求出事务M包含的基本领件有6个，由此能求出两个球中恰有一个黑球的概率．（3）设“两个球中至少有一个黑球”为事务N，则事务N的对立事务为“两个球中没有黑球”，利用列举法求出事务包含的基本领件只有1个，由此能求出两个球中至少有一个黑球的概率．解：（1）袋中装有5个小球，其中3个黑球记为A，B，C，2个红球记为a，b，现从中随机摸出两个球．以有序实数对表示摸球的结果，全部的基本领件有10个，分别为：（A，B），（A，C），（A，a），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b）．（2）记“两个球中恰有一个黑球”为事务M，则事务M包含的基本领件有6个，分别为：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），∴两个球中恰有一个黑球的概率P（M）＝＝．（3）设“两个球中至少有一个黑球”为事务N，则事务N的对立事务为“两个球中没有黑球”，事务包含的基本领件有：（a，b），只有1个，∴两个球中至少有一个黑球的概率P（N）＝1﹣P（）＝1﹣＝．19．已知函数f（x）＝x2﹣（a+b）x+a．（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值；（2）当b＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0．【分析】（1）由题意可得，1，2是x2﹣（a+b）x+a＝0的两根，然后结合方程的根与系数关系可求；（2）当b＝1时由已知可得（x﹣a）（x﹣1）＞0，然后对a与1的大小进行探讨即可求解．解：（1）由题意可得，1，2是x2﹣（a+b）x+a＝0的两根，所以，所以a＝2，b＝1，（2）当b＝1时，f（x）＝x2﹣（a+1）x+a＞0可得（x﹣a）（x﹣1）＞0，当a＜1时，解可得x＜a或x＞1，当a＝1时，解可得，x≠1，当a＞1时，解可得x＜1或x＞a综上可得，当a＜1时，{x|x＜a或x＞1}，当a＝1时，{x|x≠1}，当a＞1时，{x|x＜1或x＞a}20．如图，在平面四边形ABCD中，若∠ADC＝90°，sinA＝，AB＝8，BD＝6．（1）求∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【分析】（1）在△ABD中，运用正弦定理，计算可得所求角；（2）在△BCD中，运用余弦定理计算可得所求值．解：（1）在△ABD中，sinA＝，AB＝8，BD＝6，可得＝，即有sin∠ADB＝＝＝，可得锐角ADB为60°；（2）在△BCD中，BD＝6，CD＝2，∠CDB＝90°﹣60°＝30°，可得BC2＝DB2+DC2﹣2DC•DBcos∠CDB＝36+12﹣2•2•6•＝12，可得BC＝2．21．某校为了解高一年级学生的数学学科发展状况，随机抽取了100名学生，列出他们的高一其次学期期中考试数学成果的频率分布直方图如图，其中成果的分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[9