2024-2025学年新教材高中数学第七章复数7.2.2复数的乘除运算课时素养检测含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养检测十八复数的乘、除运算(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2024·全国卷Ⅱ)设z=i(2+i),则QUOTE=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,则QUOTE=-1-2i.2.(2024·北京高考)在复平面内,复数QUOTE的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.复数z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,所以z的共轭复数QUOTE=QUOTE-QUOTEi,QUOTE对应的点为QUOTE,位于第四象限.3.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在其次象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1) B.(-∞,-1)C.(1,+∞) D.(-1,+∞)【解析】选B.(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,因为该复数对应的点在其次象限,所以QUOTE所以a<-1.4.若QUOTE+QUOTE=2,则n的值可能为()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选A.因为QUOTE=i,QUOTE=-i,所以in+(-i)n=QUOTEk∈N+,所以n的值可能为4.5.如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B,则QUOTE=()A.QUOTE+QUOTEi B.QUOTE+QUOTEiC.-QUOTE-QUOTEi D.-QUOTE-QUOTEi【解析】选C.由题图知,z1=-2-i,z2=i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE-QUOTEi.6.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“志向复数”.已知z=QUOTE+bi(a,b∈R)为“志向复数”,则()A.a-5b=0 B.3a-5b=0C.a+5b=0 D.3a+5b=0【解析】选D.z=QUOTE+bi=QUOTE+bi=QUOTE+QUOTEi.由题意,得QUOTE=-QUOTE-b,即3a+5b=0.二、填空题(每小题4分,共8分)7.若复数z满意:z·(1+i)=2,则|z|=________.

【解析】因为z·(1+i)=2,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i,故|z|=QUOTE.答案:QUOTE8.(2024·江苏高考)若复数z满意i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为________.

【解析】设z=a+bi,则i·(a+bi)=ai+bi2=ai-b=1+2i,故a=2,b=-1,故z=2-i,实部为2.答案:2三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知a∈R,复数z=QUOTE.(1)若z为纯虚数,求a的值;(2)在复平面内,若QUOTE对应的点位于其次象限,求a的取值范围.【解析】(1)z=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,因为z为纯虚数,所以QUOTE=0,且-QUOTE≠0,则a=1.(2)由(1)知,QUOTE=QUOTE+QUOTEi,则点QUOTE位于其次象限,所以QUOTE,得-1<a<1.所以a的取值范围是(-1,1).10.若f(z)=2z+QUOTE-3i,f(QUOTE+i)=6-3i,求f(-z).【解析】因为f(z)=2z+QUOTE-3i,所以f(QUOTE+i)=2(QUOTE+i)+(QUOTE)-3i=2QUOTE+2i+z-i-3i=2QUOTE+z-2i.又因为f(QUOTE+i)=6-3i,所以2QUOTE+z-2i=6-3i.设z=a+bi(a,b∈R),则QUOTE=a-bi,所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i,即3a-bi=6-i.由复数相等的定义,得QUOTE解得QUOTE所以z=2+i,故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.设z=QUOTE,则z的共轭复数为()A.-1+3i B.-1-3iC.1+3i D.1-3i【解析】选D.由z=QUOTE=QUOTE=1+3i,得QUOTE=1-3i.2.已知复数z满意z·i2020=1+i2019(其中i为虚数单位),则复数z的虚部是()A.-1 B.1 C.-i D.i【解析】选A.因为i4=1,所以i2020=i4×505=1,i2019=i4×504+3=-i,则z·i2020=1+i2019化为z=1-i,所以z的虚部为-1.3.(多选题)下列叙述正确的是()A.方程3x2-2x+1=0的两个根互为共轭虚数B.设i是虚数单位,则复数i3-QUOTE=iC.a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充要条件D.a=6是复数QUOTE为纯虚数的充要条件【解析】选ABD.方程3x2-2x+1=0的Δ<0,两个根为共轭虚数,选项A正确.i3-QUOTE=-i-QUOTE=-i-QUOTE=-i+2i=i,选项B正确.因为复数(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i为实数的充要条件是a=±1,所以a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充分不必要条件,选项C不正确.因为QUOTE=QUOTE,所以当a=6时,复数QUOTE为纯虚数,反之成立,选项D正确.4.已知集合M=QUOTE,i是虚数单位,Z为整数集,则集合Z∩M中的元素个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.由已知得M={-1,-i,0,2},Z为整数集,所以Z∩M={-1,0,2},即集合Z∩M中有3个元素.二、填空题(每小题4分,共16分)5.已知i为虚数单位,则QUOTE=________.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.答案:-16.已知i是虚数单位,z=QUOTE,则|z|=________.

【解析】因为QUOTE=QUOTE=i,所以z=QUOTE=QUOTE·QUOTE=i1009·QUOTE=i4×252+1·QUOTE=i·QUOTE=-QUOTE+QUOTEi,|z|=1.答案:17.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值是________.

【解析】由已知得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),依据=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以QUOTE解得QUOTE所以λ+μ=1.答案:18.计算QUOTE+QUOTE=________.

【解析】QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=-2.答案:-2三、解答题(共38分)9.(12分)已知复数z满意|z|=5,且(3+4i)z是纯虚数,求z.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),因为|z|=5,所以x2+y2=25,又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i是纯虚数,所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE,所以z=4+3i或z=-4-3i.10.(12分)(2024·三明高一检测)已知i是虚数单位,复数z=2-i+(4-2i)i.(1)求复数z的模|z|;(2)若z+mQUOTE+n=1+3i(m,n∈R,QUOTE是z的共轭复数),求m和n的值.【解析】(1)因为z=2-i+(4-2i)i,所以z=2-i+4i+2=4+3i,则|z|=QUOTE=5;(2)由(1)知z=4+3i,QUOTE=4-3i,所以z+mQUOTE+n=4+3i+m(4-3i)+n=1+3i,即4+4m+n+(3-3m)i=1+3i,所以QUOTE解得QUOTE11.(14分)若虚数z同时满意下列两个条件:①z+QUOTE是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题指南】假设存在虚数满意题意,设虚数的代数形式,代入运算,看解方程组是否有解.【解析】假设存在虚数z满意题意,设z=a+bi(a,b∈R且b≠0