浙江省温州市苍南县树人中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGE17-浙江省温州市苍南县树人中学2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由诱导公式可得，故选B.2.已知，，则向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的坐标运算可求得向量的坐标.【详解】由题意可得.故选：C.【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查计算实力，属于基础题.3.数列0，0，0，…下列说法正确的是（）A.为等差数列 B.为等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列 D.既是等差数列又是等比数列【答案】A【解析】【分析】题目给出的是无穷常数列，干脆运用等差数列和等比数列的定义即可得到正确答案.【详解】数列0，0，0，…是无穷数列，

从其次项起先起，每一项与它前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义，所以，数列0，0，0，…是等差数列，

依据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为0的项，所以，数列0，0，0，…不是等比数列.

故选：A.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义，理解和精确地运用是关键，属于基础题.4.已知，则的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】把已知条件两边平方得到，再利用公式和即可得到答案.【详解】解：，两边平方得：，，又，，.故选：B.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查学生对公式的驾驭程度，属于基础题.5.在中，，，所对的边分别为，，，，，，则的值为（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】干脆利用正弦定理计算得到答案.【详解】依据正弦定理：得到，，故或.故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算实力和应用实力.6.已知数列是公差为的等差数列，其前项和为；数列是公比为的等比数列，其前项和为，下列说法正确的是（）A.时，肯定存在最小值 B.存在最小值，C.时，肯定存在最大值 D.存在最大值时，【答案】C【解析】【分析】依据等差数列的前项和为二次函数模型，即可选出答案.【详解】由题意知,.A选项:当时，,若,单增，有最小值.若,单减，有最大值.错误.B选项:存在最小值,则,单调递增,当，时，满意题意.错误.C选项:当时,为开口向下的二次函数模型,即肯定存在最大值.正确D选项:当时,存在最大值.错误故选:C【点睛】本题考查等差数列的前项和的函数性质,属于基础题.7.在中，，，所对的边分别为，，，过作直线与边相交于点，，.当直线时，值为；当为边的中点时，值为.当，改变时，记（即、中较大的数），则的最小值为（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】当直线时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出，，再由基本不等式可得出，从而得出M的范围.当为边的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得，，由基本不等式可得出，从而得出的范围，可得选项.【详解】当直线时，因为，，所以，由等面积法得，因为有（当且仅当时，取等号），即，所以，所以（当且仅当时，取等号），当为边的中点时，因为，，所以，，因为有（当且仅当时，取等号），即，所以，所以（当且仅当时，取等号），当，改变时，记（即、中较大的数），则的最小值为（此时，）；故选：C【点睛】本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题.8.已知函数是偶函数，且当，恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据是偶函数,即可解出,即可解出的解集,再依据为解集的子集,列出等式,即可找到的最大值.【详解】因为是偶函数,即,对恒成立.即对恒成立即.又,即..又对于恒成立.所以当即当,当,所以当时,的最大值为.故选:B【点睛】本题结合恒成立综合考查了三角函数的性质,属于中档题.娴熟驾驭三角函数的基础性质是解本题的关键.9.已知平面对量，，满意：，，，则最大值为（）A.42 B.40 C.38 D.35【答案】D【解析】【分析】设，且在轴上，画出图形进行分析，由向量的数量积的定义和点到圆距离的最值，即可求出所求的最值.【详解】解：在直角坐标系中，不妨设，且在轴上，如图所示，则点在以原点为圆心，半径为2的圆上，点在以原点为圆心，半径为4的圆上，则，结合图形分析可知，的最大值为，的最大值为，所以的最大值为.故选:D.【点睛】本题考查了向量的几何运算，考查了平面对量的数量积公式，考查了数形结合.10.已知数列中，，，下列说法正确的是（）A.当时， B.当时，C.当最小时，有 D.当最大时，有【答案】A【解析】【分析】将递推关系转化为二次函数，结合二次函数图象，分析当的取值即可推断选项A,B；对时，求的值，结合二次函数图象，分析当的取值即可推断选项C；对时，求的值，举出反例即可推断选项D.【详解】令，由二次函数图象可知，当时，.当时，，故，所以，故A正确；当时，因为都小于4，所以，故B错误；当时，，故当时，，所以，由二次函数图象可知，当时，.所以当时，，故，故C错误；当时，所以，但当时，，且当时，，所以，故D错误.故选：A【点睛】本题主要考查数列与函数的关系，属于实力提升题.非选择题部分二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.11.已知为数列的前项和，且，则______，通项公式______.【答案】(1).10(2).【解析】【分析】（1）令中即可；（2）用公式即可得到答案.【详解】解：（1），当时，；（2）当时，；当时，，不满意上式；所以.故答案为：10；.【点睛】本题主要考查公式，属于基础题.12.函数最小正周期______，函数图像向左平移个单位（）得到函数图像，则实数______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】第一空干脆用求得，其次空则由变换得，故向左平移个单位.【详解】由，又，，由变换到，则，故向左平移个单位，即.故答案为：；【点睛】本题考查了正弦型函数最小正周期的求法，三角函数图象的相位变换，属于简单题.13.数列满意：，，则通项公式______；数列的前项和______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）采纳“累加法”求解数列的通项公式；（2）采纳“裂项相消法”求数列的前项和.【详解】（1），当时，，，又适合上式，所以；（2）.故答案为：（1）；（2）【点睛】本题主要考查了“累加法”求数列的通项公式，“裂项相消法”求和，考查了学生的运算求解实力，属于基础题.14.已知向量，，则与向量方向相同的单位向量为______，向量在向量方向上的投影为______.【答案】(1).(2).3【解析】【分析】由向量坐标可求出，从而可求出方向相同的单位向量；求出两向量的数量积，以及，即可求出投影.【详解】解：，所以，即与向量方向相同的单位向量为，，，所以，故答案为:;3.【点睛】本题考查了向量模的求解，考查了单位向量的求解，考查了向量投影的求解，属于基础题.15.已知，则______.【答案】【解析】【分析】将分子分母中三角函数利用二倍角公式化简即可【详解】解：故答案为：【点睛】此题考查三角函数恒等变换的二倍角公式和同角三角函数的关系，属于基础题.16.已知平面四边形中，四边分别为：，，，，则______.【答案】-7【解析】【分析】依据边长可转化为椭圆的问题，设出的坐标，表示出,依据数据即可发觉规律，结合平面对量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】由题意知，,所以可建立以B,D为焦点的椭圆，如图所示，设左右焦点坐标分别为，则椭圆方程为，设，则由得由得所以，所以故答案为：-7【点睛】本题主要考查椭圆的定义、两点间的距离公式及平面对量的数量积，属于实力提升题.17.等差数列满意：，则其公差的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由题意知，等差数列中的项肯定有正有负，分成首项大于零和小于零两种状况进行探讨，结合已知条件，可知或，从而可求出公差的取值范围.【详解】解：由题意知，等差数列中的项肯定有正有负，当时，由，则，由，则，所以，所以，即；当时，同理可求出，综上所述，公差的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的单调性.本题的易错点是未探讨首项的正负问题.三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.已知.（1）求的值；（2）求函数的单调增区间.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）先利用三角函数公式化简为，再将值代入求解；（2）由≤≤解出的范围就是所求的增区间.【详解】解：（1），∴.（2）由（1）知：，令≤≤，，∴≤≤∴的单调增区间为：，.【点睛】此题考查三角函数恒等变形公式，协助角公式，正弦函数的性质，属于基础题.19.在中，，，所对的边分别为，，，，，且满意：.（1）求角的大小；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用角化边将化为，继而再由余弦定理计算出的值，从而得出角的大小；（2）依据三角形面积公式计算即可.【详解】（1）由正弦定理有：，整理得：，由余弦定理有：，∴，又∵，∴；（2）由（1）及面积公式：.【点睛】本题考查利用正余弦解三角形，考查三角形面积公式的应用，考查逻辑思维实力和运算实力，属于常考题.20.已知数列，满意：，，且.，分别为数列，的前项和.（1）求数列的通项公式和的前项和；（2）已知当时，不等式恒成立，试比较与2的大小.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】(1)对已知式子取倒数整理变形可知，从而可证明是等比数列即，利用错位相减法可求出.(2)结合(1)以及已知可知恒成立，结合裂项相消的思想，从而可证明.【详解】解：（1）易知，两边取倒数得：，整理得：，∴是以首项为，公比为2的等比数列，∴，∴.又∵①∴②①-②得：.（2），理由如下：由（1）知：，又∵当时，，∴.i.当时，成立；ii.当时，.综上：.【点睛】本题考查了错位相减法，考查了构造新数列法求通项公式，考查了等比数列的定义，考查了裂项相消的思想.21.如图，在矩形中，，，为对角线上一点，且满意：，.（1）求，并干脆写出的最小值（不须要证明）；（2）求的值.【答案】（1）；.（2）.【解析】【分析】（1）依据平面对量三点共线的结论可得的值，将用和表示，将平方后再开方，利用可求得最小值；（2）将化为和表示后可求得结果.【详解】（1）∵、、三点共线，由平面对量三点共线的结论得：，∴因为四边形为矩形，所以，所以，因为，所以当时，取得最小值..（2）.【点睛】本题考查了平面对量三点共线的结论，考查了平面对量的线性运算，考查了求平面对量的模，属于基础题.22.数列满意：，.（1）求，；（2）求证：；（3）记，前项和为，求证：.【答案】（1