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文档简介
2022-2023学年高中毕业班阶段性测试(二)
理科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1,已知集合A小8E1八卬2-4叫,则(”)I)
A.[-1,2]B.[-2,1]C.[-2,1)D.[1,2]
【答案】C
【解析】
【分析】由题知A=[l,+»),B=[-2,2],再根据集合运算求解即可.
【详解】解:因为函数丁="71的值域为[L+8),所以A=1|y=JK}=[l,+8),
解不等式》2_4<0得—2WXW2,所以3={小2_4<0}=[—2,2],
所以(\A)I8=[—2,1).
故选:C
2.下列函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是()
1..1
A.y=——B.y=tanxC.y=x\x\+lD.)=户
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本初等函数、正切函数的单调性以及奇偶性,逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项,函数y=-工为奇函数,且在定义域上不单调,A不满足条件;
X
对于B选项,函数y=tanx为奇函数,且在定义域上不单调,B不满足条件;
对于C选项,设〃x)=xW+l,因为1)=0,/⑴=2,则/(—l)w—/⑴,
所以,函数y=%忖+1不是奇函数,c不满足条件;
1
对于D选项,函数>=也为奇函数,且在定义域上为增函数,D满足条件.
故选:D.
3.已知角d的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点>0),则()
A.cos20>0B.cos20<0C.sin20>0D.sin20<0
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出cosasin。,结合二倍角的正弦、余弦公式计算即可判断选项.
【详解】由题意知,设坐标原点为0,则0「=炉7,,〉0,
由三角函数的定义,得cos6=」一=—=,sine=M=^^,
OP#77OP#77
-2A/7
所以sin20=2sin。cos。=-----<0>
t+\
cos20=cos26-sin26=-~,
/+1
当0</<l时,cos2^<0;当/'Nl时,cos20>O.
故选:D.
4.在计算机尚未普及的年代,人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值,三角函数表的制作
最早可追溯到古希腊数学家托勒密.下面给出了正弦表的一部分,例如,通过查表可知T2'的正弦值为
0.0384,30?54'的正弦值为0.5135,等等,则根据该表,416.5?的余弦值为()
0,6'12,18'24'30'36'42'48'54'60'
0?0.00000017003500520070008701050122014001570175
1?01750192020902270244026202790297031403320349
2?03490366038404010419043604540471048805060523
.......
30?0.50005015503050455060507550905105512051355150
31?51505165518051955210522552405255527052845299
32?52995314532953445358537353885402541754325446
33?54465461547654905505551955345548556355775592
34?55925606562156355650566456785693570757215736
.......
A.0.5461B.0.5519C.0.5505D.0.5736
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式化简可得cos416.5°=sin33°30',结合题中的列表即可得出结果.
【详解】由题意得,
cos416.5°=cos56.5°=sin33.5°=sin33°30',
根据题中的列表,先看左边第一列找33°,再往右找对应第一行的30',
得sin33°30'=0.5519,即cos416.5°=0.5519.
故选:B.
5.一种在恒温大棚里种植的蔬菜的株高》(单位:cm)与温度x(单位:。C,0<X<30)满足关系式
y=H1.54--,市场中一吨这种蔬菜的利润z(单位:百元)与x,y的关系为z=10y—X,则z的最
x
大值为()
A.1095.4B.995.4C.990.4D.895.4
【答案】A
【解析】
【分析】代入y得z=H15.4-+x],结合均值不等式即可得最大值.
【详解】z=10y-x=1115.4-^—+^<1115.4-2^—=1095.4,
当且仅当期=xnx=10时,等号成立.
X
故选:A.
6.己知函数/■(>)=<2,在定义域上单调递增,则实数a的取值范围为()
A.(0,+oo)B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】要使分段函数在定义域上单调递增,需要在每一段上为单调递增函数,且左端点值小于等于右端
点的值,确定不等式组,求出实数。的取值范围
a>03
【详解】由题意得:<小小、'。,解得:a>~.
log2(2tz-l)>2-32
故选:D
7.下列条件是“过点(a,2)可以作两条与曲线相切的直线”的充分条件的是()
A.a<1B.a<2C.a>eD.a>In2
【答案】C
【解析】
【分析】画出草图,结合图像分析即可
由题知点在直线>=2上运动,y=2与>=2一的交点为4(2,2),由图像可知.
要使过点(a,2)有两条与曲线y=2a相切的直线,则点(a,2)只需要在A点的右侧
结合选项可知a〉e其充分条件
故选:C.
8.已知函数/(x)=sin1•,同<的一个极大值点为x=^,若/(x)在区间[―a,a](a>0)
上单调递增,贝心的最大值为()
兀兀兀2兀
A.-B.—C.-D.—
6323
【答案】A
【解析】
【分析】先根据极大值点的条件求出9,再根据单调性求出。的范围,从而得到。的最大值.
【详解】依题意=l=+于是0+”=2E+工,左GZ,即e=2E—4,kwZ,
<07<3J326
结合网<四可得,k=0,于是°=一3此时"X)=sin2x+1,根据正弦函数的单调递增区间得:
26I6J
/(X)的单调递增区间满足2所一二<2%+/K2E+3左wZ,即左兀一女〈%<E+二,4wZ,即/(%)
TVTV
在kn--,kn+-,左eZ上递增,令左=0,则/(x)在一二工上递增,又/(九)在区间
3o36
[―a,a](a>0)上单调递增,故-«>--,结合。〉0得0<。《殳.
636
故选:A
Q
9.已知函数y=3$111尤("<工<2])与y=------的图象交于点P,过点P作V轴的平行线,该直线与函
tanx
数丁=sinx+2后cosx的图象交于点Q,则俨。|=()
A.20B.72+1C.3-72D.&
【答案】A
【解析】
【分析】设P(x(),3sinxo),则0(%sin/+2j2cos/),根据3smxo="^------求出cos%,结合
tanXQ
TT<x0<2〃求出sinx0,计算|尸。|二|sinx0+2V2cosx0-3sinx0|即可.
【详解】由题意知,设点P(%,3sin%o),7t<Xo<?Ji,
Q
因为函数y=3sinx与函数y=------图象交于点P,
tan尤
所以3sin/=-------,gp8cosx-3sin2x=0,
tanXQ00
2
又sin2x0=1-cosx0,有3cos之x0+8cosx0-3=0,
解得=;或(舍去),所以2,
cos/85%=-3sin/=±<^l-cosx0=±2°
33
由万<%<2",得sin%=—2坐
又直线尸。_Lx轴,且与函数丁=sin%+2应cos%交于点。,
则。(%(),sinx0+272cosx0),
2A/24A/2
所以|「。|=|sinx0+2^2cosx0-3sinx0|=-----+------=2行.
33
故选:A.
10.若函数y(x)满足:对任意非零实数X,均有=-9,则我们称函数”X)为"倒数偶函
数”.若/(力=(%+.)(2%+?(1—%—2)是倒数偶函数,则了(力的所有极值点的乘积为()
A.-4B.4C.-1D.1
【答案】C
【解析】
【分析】利用/(x)=/1-可得出关于。、6的方程组,解出。、6的值,可得出函数的解析
式,利用导数求出了'(尤),根据极值点的定义可得结果.
(ax2)(^1+x-2x2j
由于/(x)=/,即(cT)仅%-2巧(%+。)(2%+3(£-x-2)
4
整理可得2x+(2.+/?—2)%3+(a/?_勿_/?一4)工2-^ab+^a+2b)x-2ab
=-2azzX。+(aZ?+4a++(aZ?——b—4)%?+(2—2^z—/?)%+2,
1
ab=-lab=-lci——
所以,即4解得《2
2a+b-2=ab+4a+2b2a+b=-l
b=-2
当〃=’,人=一2或〃=-1,>=1时,
2
/(%)=(2")(x-?「+l)(I)=(2——3x—2巾
7
则7•'(x)=(4x-3)[1-4]+N(2x2-3x-2)=4x-3-斗_=二卜+川4:-3x-4),
由/''(x)=0,可得4炉一3尤—4=0,A>0,
故方程4k一3%一4=0有两个不等的实根X]、巧,不妨设不<%,易知为<0<%2,
且当了<玉或。<犬<犬2时,rW<o;当玉v%v0或%>%时,rW>o.
因此,函数/(X)的极值点之积为毛%=-L
故选:C.
【点睛】易错点点睛:已知极值点求参数的值,先计算/'(x)=o,求得X的值,再验证极值点.由于导
数为0的点不一定是极值点,因此解题时要防止遗漏验证导致错误.
,、fexln%,0<x<1
n.已知函数"x)=「(i),x>i则方程2"(x)T+7/(x)+6=0在区间(0,4)上的实根个数为
A.9B.10C.11D.12
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数分析函数/(%)在(0,1]上单调性与极值,作出函数了(%)在(0,4)上的图象,由
2[/(x)]+7/(x)+6=0可得/(%)=-2或/(工)=一3,数形结合可得结果.
3
【详解】由2"(切9+7〃x)+6=0可得/(九)=-2或/(x)=—3,
当0<xWl时,/(x)=exlnx,则/>'(x)=e(lnx+l),
当0<x<,时,f(x)<0,此时函数了(无)单调递减,
e
当!<x〈l时,f(x)>0,此时函数/(X)单调递增,
e
且当0c时,/(x)mm=/Q^=-L
由题意可知,函数/(%)在区间(4〃+1](〃€1<'')上的图象可在/(%)在5—1,"]上的图
象先向右平移1个单位,再将所得图象的纵坐标伸长为原来的2倍得到,
作出函数“X)在(0,4)的图象如下图所示:
因此,方程2[/(切2+7〃力+6=0在区间(0,4)上的实根个数为0.
故选:C.
【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:
(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图
象,然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用;
(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;
(3)参变量分离法:由/(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线与函数
y=g(x)的图象的交点问题.
12.已知a=sinL匕=」~,c=ln(e+l)—1,则()
ee+1
A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c
【答案】B
【解析】
【分析】利用一些函数不等式放缩比较大小即可
r3
【详解】因为sinx〉x---,(x〉0),构造函数求导易证
ee6e3ee3e3
223232
e-l,e-l1e+e-e-l-ee-e-ln
e3e3e+1e3(e+1)e3(e+1)
所以。
c=ln(e+1)-1=ln^l+—
因为Inx..1-,,构造函数求导易证
_1八1e
二匚[、ic=In1—>1——=1-—=b
所以(e1+11+e1+e
e
所以c>6
因为
lnx<!,(x〉1),构造函数求导易证
2
所以。=归1
e+1
而…
ee6e
iiifiiY.iiii
e6e32(ee+1J2e6e32(e+1)2(ee+1
所以a>c
综上。<c<a
故选:B
【点睛】关键点点睛:熟悉一些常用函数放缩不等式是解决这类问题的关键
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数/(x)=Jlog2m的定义域为.
【答案】{R%<-1!
【解析】
【分析】根据根号下大于等于0,再跟对数型函数特点得到匚21,解出分式不等式即可.
X+1
【详解】由题意得logz^NO,则上土21,即土土—1»0,即二-20,贝Ux+l<0,
x+1x+1x+lX+1
所以定义域为{x|x<T},
故答案为:{x|x<-l}.
14.己知sina-2cosa=君,则tan]tz—=.
【答案】-3
【解析】
【分析】对sina—2cosa=两边同时平方化简可求出tana=-g,代入tan[c-即可得出答案.
【详解】对sina—2cosa=若两边同时平方可得:(sina—2cosa)2=5,
sin*12a+4cos2a-4sinacosa
•22—§,
sina+cosa
.tan2a+4—4tana「
所criN以-----------------二5,
1+tana
解得:tancr,
2
)tan67-1-
所以tana――=----------=-3.
<4)1+tan<7
故答案为:-3
15.已知函数及其导函数/'(%)的定义域均为R,若/(4r)+〃2+x)=6,附2)=1,且当
x<3时/'(龙)单调递减,则f'(x)<1的解集为.
【答案】[2,4]
【解析】
【分析】根据导数的运算法则可求出f'(2+x)=/'(4—x),据此可知y=/'(x)关于直线%=3对称,
再由/'(九)的单调性即可求出不等式的解集.
【详解】因为/(4—x)+〃2+x)=6,
所以[y(4—x)+/(2+x)]'=6=0,即—尸(4—x)+/'(2+x)=0,
所以尸(2+x)=/'(4—x),故y=7'(x)关于直线x=3对称,且广⑶=0,
因为当x<3时/'(x)单调递减,所以当x>3时/'(%)单调递增,
由/42)=1知,/(4)=/⑵=1,
所以由<1=/'(2)=/'(4)可知2<x<4,
故答案为:[2,4]
16.己知a,6,c分别为AABC的三个内角A,B,C的对边,JiL-y[2bsinC+czsinA=bsinB+csinC,则
sin2B+sin2C的最小值为.
【答案】1—走
2
【解析】
【分析】先算出A角,然后对所求结论进行降幕,再利用相应和差变形技巧化简即可
【详解】由正弦定理得—0灰+/=尸+°?
r-rpi+c?——yf2bcA/2福[、J43
所以cosAA=--------------=---------=-------,所以A=-71.
2bc2bc24
.2.2厂l-cos2Bl-cos2C1f
sinnD+sinC=-------------1----------------=1——(cos2B+cos2C)
222
=1-1(cos((B+C)+(B-C))+cos((B+C)-(B-C)))=1-cos(B+C)cos(B-C)
=1+cosAcos(B-C)=1-cos(B-C)
71TTrr7C7CA/?
因为3e(0,—)所以8—C=8—(——B)=2B——e(一一,一),所以注<(B-C)„l.
444442COS
所以1—专,,1—?cos(3—C)<;
所以sin2B+sin2C的最小值为1--
2
故答案为:1----
2
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.己知函数/(x)=2sin12x+W,将/(力的图象向右平移1个单位长度,再将所有点的横坐标伸长
为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.
(1)求g(x)的解析式;
(2)若函数°(x)=|g(x)kosx+6cos2x,求必尤)在区间[0,2兀|上的所有最大值点.
【答案】(1)g(x)=2sinx;
/、兀-2371
(2)一与——.
1212
【解析】
【分析】(1)先求出平移后的解析式,再求出伸缩变换后的解析式g(x)=2sin光;
(2)结合函数特点,分xe[O,兀|与%«兀,2句两种情况下进行求解.
【小问1详解】
“X)的图象向右平移专个单位长度,得到y=2sin12x-E+W=2sin2x,
再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(H=2sinx
【小问2详解】
^?(x)=|g(x)|cosx+A/3cos2x=2|sinx|COSX+A/3COS2X,
当无«0,兀|时,sin%>0,所以
=2sinxcosx+A/3COS2X=sin2x+A/3COS2X=2sin^2x+-1-^,
「i771c
因xe[0,7i],所以+,
故当2x+1=(即x=q■时,9(x)取得最大值,最大值为2;
当xe(兀,2兀]时,sinx<0,所以
0(x)=-2sinxcosx+A/3COS2X=-sin2x+Gcos2x=2cosf2x+-^-1,
,,/cill-c兀I13K25K
因为;T£(71,2TI],所以+;二,一厂,
6166
TT23冗
故当2x+^=4兀,即工=上时,财力取得最大值,最大值为2;
612
两者取到的最大值相同均为2,
Jr237r
综上:求e(x)在区间[0,2可上的所有最大值点有言与笠.
18.如图所示,A,B,C是相隔不远的三座山峰的峰顶,地理测绘员要在A,B,C三点进行测量在C点测
得2点的仰角为30。,B与C的海拔高度相差180m;在B点测得A点的仰角为45。.设A,B,C在同一水
平面上的射影为A,B,C',且NA'C'5'=NA'8'C'=30°.
(1)求A与C两点的海拔高度差;
(2)已知该地大气压强p(Pa)随海拔高度〃(m)的变化规律是p=p0e-幼(左=0.000126mT),P。
是海平面大气压强,设4C两处测得的大气压强分别为B,0,估计旦的值.
Pi
参考数据:ln0.95565«-0.04536,ln0.97758«-0.02268.
【答案】⑴360m
(2)0.95565
【解析】
【分析】(1)如图AC两点的海拔高度差为9+A石可求解;(2)利用公式即可求解.
【小问1详解】
如图,作CD,BB',ZBCD=30°,
BD
所以CB=CD=
tan30°
在^A'B'C中,因为ZAC'B'=ZAB'C=30°,
B'CAB'
所以NC'AB'=120°,由正弦定理得
sinZC'A'B'sinZA'C'B'
解得AB'ngOm,同理AC'=180m,
作BE,AA',NA5E=45°,
所以AE=BE=AB'=180m,
所以AC两点的海拔高度差为5D+AE=360m.
【小问2详解】
设A,C两处的海拔高度为九,/4,
-kh]
由题可知且=勺厂=/2砧=e—
APoe,2
由In0.95565»-0.04536得,e-004536=0.95565,
所以估计旦的值为0.95565.
Pi
已知函数
19./(x)=:(x+a)的图象关于原点对称.
x+bx+4
(1)求了(尤)的单调区间和最值;
(2)若存在实数天满足e,⑻-加=/(%),求实数加的取值范围.
【答案】⑴见解析(2)me[0,e2-2]
【解析】
【分析】(1)首先根据函数关于原点对称求出参数。,6的值,然后利用导数求解函数的最大值与最小值
即可.
(2)首先令/(%)=心将原式分参整理成机=e'T,然后构造新函数g(t)=e'T,通过导数求解g(f)
的值域,进而求出m的取值范围.
【小问1详解】
,."(X)关于原点对称,二/"(—%)=—/(X).
,.•/(0)=—=0,,\a=Q>
8x_-8x
x2+bx+A-x2-bx+4?
o
得〃无)=Yr^,经验证符合题意;
%-+4
.•・当一2(尤<2时,f^x)>0,
\/⑴在(-2,2)上单调递增;
•••当%<—2或x>2时,f\x)<0,
\"X)在(—8,—2)和(2,+8)上单调递减;
当x<0时,/(%)<0,当x>0时,/(%)>0,
二/(九)的最小值为-2,最大值为2.
【小问2详解】
fMw
由e-m=/(x0),得根=e/-/(玉)),
由(1)易知,-2</(x0)<2,
令/=/(%),,e[-2,2],
得〃?=e'—
令g(f)=e'T(-2W2),
g,(f)=e,-l,
•••当0<七2时,g'⑺>0,,g⑺在(0,2]上单调递增;
•••当—2</<0时,g'⑺<o,,g⑺在[—2,0)上单调递减;
g(-2)=e-2+2,g(0)=0,g(2)=©2—2,
•・・g(2)>g(-2),
「.g”)的值域为[。看―2],
/.mG^0,e2-2^].
20.在△A5C中,内角A,3,C的对边分别为a,b,c,已知
B.B7/------------
(1+sinB+cosB)cos----sin—=v2+2cosB.
2212
⑴求cosB;
OAT)
(2)若£r=三。为边AC上一点,且5。=人。.求"的值.
a3DC
7
【答案】(1)cos8=—
12
⑵洽之
【解析】
【分析】(1)运用倍角公式化简即可;
(2)根据cos/BRL+cosNBDC=0,利用余弦定理求解.
【小问1详解】
晶/立缶八T阳2Bc.B5VB.B}7.B7B
由彳口角么式倚2cos—F2sin—cos—cos----sin—=—J4cos2——cos一
(222[22J12V262
所以(cosO+sin马(cosO—sinO]7
I22人22J12
7
即cos2B-sin2B=—
12
7
即cosB=--
12
【小问2详解】
B
7
不妨设。=2,〃=3,则//=a2+c2-26/ccosB=9+4-12x一=6
12
所以6=",由题知BD=b=Jd
设AZ)=m,DC=〃,则m+n--^6①
BD2+AD2-AB26+m2-42+m2
在△A8D中由余弦定理得cosZBDA=
2BDAD2y/6m2^6m
BD2+CD2-BC26+ir-9n2-3
在M2BD中由余弦定理得cosZBDC=
2BDCD2s/6n2面n
因为ZBDA+ZBDC=7T,所以cosZBZM+cosZBDC=0
即受二+日”=0②,联立①②,解得机=蛀,a
246m246n33
”…ADm-
所以——=—二2
DCn
【点睛】关键点点睛:本题属于多三角形问题,关键要抓住多个三角形之间的联系.
21.已知函数/(X)=三-5f+5x+3.
(1)设曲线y=/(x)在点(3,/(3))处的切线为/,求/与坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若左<2,证明:曲线y=/(x)与直线”区―6仅有一个交点.
【答案】(1)9
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用导数求出直线/的方程,可求出该直线与两坐标轴的交点坐标,再利用三角形的面积公
式可求得结果;
⑵构造函数g(x)=/(£)—(乙—6),分左<一1、〈左<2两种情况讨论,利用导数分析函数
g(x)的单调性,结合零点存在定理可证得结论成立.
【小问1详解】
解:-./(%)=X3-5X2+5X+3,则/'(%)=3%2—10%+5,则/⑶=0,/(3)=2,
所以,直线/的方程为y=2(x—3),即2x—y—6=0,
在直线/的方程中,令无=0,可得y=-6,
所以,直线/分别交x、,轴于点(3,0)、(0,-6),
因此,直线/与坐标轴围成的三角形的面积为:x3x6=9.
【小问2详解】
角星:4'^(-^)=/(^)-(^-6)=x3-5X2+(5-A:)X+9,
g'(x)=3x2—10x+5—左,A=100—12(5—左)=12左+40.
⑴当左<—可时,A<0,则g'(x)»0,所以,函数g(x)在R上单调递增,
因为g(—1)=左一2<0,g(O)=9>。,
由零点存在定理,可知,函数g(x)在R上存在唯一零点;
(ii)当—g(左<2时,A>0,则方程g'(x)=o有两个不等实根,设为为、/(石<々)
10八
%+%2——>0§
由韦达定理可得《一,,所以,>—>x>0,且
5-k八3
玉%2=一~—>0
由g'(x)<。可得%1<XV%2'由8'(%)>。可得%<%1或%>%2,
所以,函数g(x)的单调递减区间为(七,%2),单调递增区间为(-°°,%)、(%2,+8),
因为g(%)=-^2-5%;+5%2-kx?+9=(石-5%2+5%)-(3%]-10%;+5%)+9
——2%2+5%2+9,
令/=%>|,内«)=一2r+5r+9,则”⑺=—6r+10r=-2f(31—5)<0,
所以,函数旗/)在||■,+00]上单调递减,故力⑺〉丸[■||=3'+9〉0,
即g«)>0,故当时,g(x)>g(X2)>0,且g(玉)>g(%2)>0,
又因为g(—1)=左—2<0,由零点存在定理可知,函数g(x)在(0,%)上存在唯一零点,
即函数g(力在R上存在唯一零点.
综上所述,当左<2时,曲线y=/(x)与直线,=依-6仅有一个交点
【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:
(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图
象,然后将问题转化为函数图象与%轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用;
(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;
(3)参变量分离法:由/(无)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线y与函数
y=g(x)图象的交点问题.
22.已知函数〃x)=(x
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