5.1.2弧度制课件高一上学期数学人教A版22

第五章三角函数5.1

任意角和弧度制5.1.2弧度制新教材人教版·高中必修第一册数学1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和

角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入

弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算、逻辑推理素养。目

录要

求M度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，且1米=3.28083989501英尺=1.0936133码度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，且1千克=2.2046226磅不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量是否也能用不同的单位制呢能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢前言角的计量单位是“度”,用符号““表示。把半固

分成180等份，每一份所对的角的大小是1度记作1目录

问题1初中学过哪些度量角的单位在初中学过角度制，单位：度(°)、分()、秒(")且1°=60',1'=60”,它反映了度分秒之间是60进制。周角的为1度的角，记作1°,即圆周的的圆弧所对的圆心角为1°的角。在钟表中，一周60个小格，秒针走一格为1秒，那么此时分针转了多少度复习引入目录M公元六世纪，印度数学家阿耶波多在创新制作正弦表时，就发现了有一个问题不好解释，比如sin30°=0.5,他发现了什么问题呢他发现等式右侧是10进制数，而等式左边是60进制数，两个不同单位的量，分布在了等式的两端，带来很尴尬的局面，阿耶波多就想能不能将角的度量也变成10进制的数这样后来角出现了新的度量单位，就是我们今天要学习的——弧度制。情景引入印度伟大的著名数学家

及天文学家阿耶波多▶

N目

录新知引入寻找度量角的10进制度量单位根据任意角的定义，射线OA

绕端点O

旋转到OB形成角α.在旋转过程中，射线OA上点P

(不同于端

点0)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角

a.记a=n°,OP=r,

点P所形成的圆弧PP₁

的长为l.概念引入(1)由初中所学知识可知于图5.1-9▶

N目录 问题2如图5.1-10,在射线OA上任取二点P、Q(不同于点O),0Q=r₁,OP=r₂.在旋转过程中，点Q、P所形成的圆弧QQ1、PP₁的长为l₁、l₂,l₁与r₁、l₂与r2的比值各是多少你能得出什么结论关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定。这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角。目录概念引入(1)可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有▶

N当弧长与半径相等时，

是一个定值1,此时圆心角等于

度，我们把的比值1记为1个单位的角，这样可以用

来度量角的大小.比

如

即

l=2r时，所对圆心角为2个单位的角；即

l=0.5r

时，所对圆心角为0.5个单位的角，这样可以用一来度量角的大小，这里一是一个实数，解决了用实数度量角的大小问题.这就是度量角的另一种单位制--弧度制.目

录

M概念引入(1)1弧度角的定义我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符

号

rad

表示，读作弧度。把半径为1的圆叫做单位圆，如图5.1-11,在单

位圆

0

中

，AB

的长等于1,∠AOB

就

是

1弧度的角。概念引入(1)目录

弦长

AB=1.9178图5.1-11 概念引入(1) 问题3任意角都可以用表示吗正角、负角和零规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l,那么角α的弧度数的绝对值是这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。逆时针转为正，顺时针旋转为负，当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或小于一2π的角，这样就可以得到弧度为任意大小的角.角的弧度数如何规定呢目录M一

般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负

数，零角的弧度数是0.即角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于

这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一

的-个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(图5.1-12).正实数0负实数图5.1-12目

录

▶

N概念的理解正角零

角负角公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.

欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在

他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提

出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的

●。这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算.概念的理解欧拉目录M角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算.如何换算呢当角是零角时，以度和弧度为单位数值相等，都是0;用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同，当角的终边旋转一周，角所对的弧长即周长=2π,角的弧度 ,而在角度制下为360°,即360°=2πrad,180°=πrad,概念引入(2)目录

概念引入(2)即有以下弧度与角度的换算关系：180°=π

rad目

录

M~1.178097245

rad≈1.178

rad目录

M例1按照下列要求，把67°30'化成弧度：(1)精确值；(2)精确到0.001的近似值.巩固与练习解(1)因为●≈179.9087477～179.909温馨提示：用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，

而只写该角所对应的弧度数，例如，角α=2就表示α是2

rad

的角.巩固与练习例2将3.14

rad

换算成角度(用度数表示，精确到0.001).解目录规律方法1.在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad=180°

是关键，由它可以得到：度数

×180=弧度数，弧度数度数。2.互化时注意两点：(1)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度。(2)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数。巩固与练习目录

温馨提示：

要想熟记这些特殊角度与弧度之间的转换，

归根结底还是熟记180°=π国为90目录度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π-6π-4|22π3345π6π3π22π巩固与练习填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：问

题44,证明：由公式

得

l=aR.下面证明(2)(3)半径为R,

圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是●2例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式：(1)l=aR;(2)

;(3).其中R

是圆的半径，a(0<a<2π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.巩固与练习目录

例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式：(1)l=aR;(2)

;(3)其中R是圆的半径，a(0<a<2π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.将n°转化为弧度，得于是将l=aR

代人上式，即得巩固与练习目录1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如a=k·360°),β=2kπ+60°(k∈Z)等写法都是不规范的。2、做一做(多选)下列命题中，正确的是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°

的角是周角的，1rad的角是周角的C.1

rad的角比1°的角要大D.

用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关答案

ABC目录

▶

N深化与思考(1)我们学习了任意角的新的度量制——弧度制①弧度制的本质是用线段的长度度量角的大小，如果半径为r

的圆的圆心角a所对弧的长为l,

那么角α的弧度数的绝对值是

a

的

正负由角a

的终边的旋转方向决定；②弧度单位用符号rad表示，读作弧度；③

任意角的弧度制和角度制之间可以互化.(2)数学知识大多来源于现实或自然科学中出现的问题，我们通过对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思

考问题、用数学的语言表达问题.小结目录1.

将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是()A.