2024-2025学年黑龙江省双鸭山市建新高级中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省双鸭山市建新高级中学高二（上）开学数学试卷一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。1.已知某扇形的圆心角为80°，半径为6cm，则该圆心角对应的弧长为(

)A.480cm B.240cm C.8π3cm 2.设复数z=−i2+i−1−iA.1 B.−1 C.i D.−i3.已知函数f(x)是(−∞,+∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则f(2017)+f(2018)的值为A.−2 B.−1 C.0 D.14.下列说法中，正确的个数有(    )个

①圆柱的侧面展开图是一个矩形；

②圆锥的侧面展开图是一个扇形；

③圆台的侧面展开图是一个梯形；

④棱锥的侧面为三角形．A.1 B.2 C.3 D.45.已知向量a，b满足b=(3,1)，b=λa(λ∈R)A.14 B.12 C.2 6.已知AB是圆O：x2+y2=1的直径，C、D是圆O上两点，且∠COD=60°，则A.0 B.−3 C.−3 7.函数f(x)=1−ex1+A. B.

C. D.8.已知四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1−DEBC，M为A1C的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是(

)

①MB//平面A1DE；

②三棱锥M−DEC的体积最大值为22A.①② B.①②③ C.①③ D.①②③④9.已知向量a=(sinωx,sinωx−cosωx)，b=(23cosωx,sinωx+cosωx)(ω>0).设函数f(x)=a⋅bA.f(x)=2sin(2x−π6)

B.(π3,0)是函数y=f(x)图象的对称中心

C.函数y=f(x)在区间(−2π3,−10.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3,M为棱DDA.若PM与平面ABCD所成的角为π4，则点P的轨迹与直四棱柱的交线长为2π3

B.若点A到平面PDM的距离为3，则三棱锥M−PAD

的体积的最大值为233

C.若以D为球心的球经过点M，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为4π11.若复数z=21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(

)A.z的虚部为−i B.|z|=2

C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若锐角α满足1tanα2=13.已知α∈(0,3π2),cosα=35，tan14.如图，已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长等于1，∠ABC=60°，O和O1分别是上下底面对角线的交点，H在线段OB1三、解答题：本题共5小题，共60分。15.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E、F分别为棱AD、SB的中点．

(Ⅰ)求证：AF//平面SEC

(Ⅱ)求证：平面ASB⊥平面CSB

(Ⅲ)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求BMBS的值；若不存在，请说明理由．16.已知函数f(x)=ln((1)当x≥0时，函数g(x)=f(x)−x−a存在零点，求实数a的取值范围;(2)设函数ℎ(x)=ln(m⋅ex−2m)，若函数f(x)与17.如图，在四棱锥P−ABCD中，BD⊥PC，∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，PA=AB=1，PB=2,E,F是棱PD上的两点，且PF=13PD．

(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)若再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求平面EAC与平面ACD所成二面角的大小．

①BF//平面ACE；

②三棱锥18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a，2bsinA=asinC．

(Ⅰ)求cosC的值；

(Ⅱ)求sin(2C−π319.在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，cosA=3(1)若c=4，求△ABC的面积;(2)求5b−3ccosC(3)求|AB+AC答案解析1.C

【解析】解：由于扇形的圆心角为80°=π180×80=4π9，

又扇形的半径为r=6cm，

则该圆心角对应的弧长l=αr=4π9×6=8π3(cm)2.A

【解析】解：z=−i2+i−1−i3=1+i−1+i=−(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)3.D

【解析】解：∵函数f(x)

是(−∞,+∞)

上的奇函数，

∴f(−x)=−f(x)，

又∵f(x)

的图象关于x=1

对称，

∴f(2−x)=f(x)，

∴f(x−2)=−f(x)，

∴f(x+4)=f(x)，

即函数f(x)

是周期为4的周期函数，

又∵x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，

∴f(0)=0，f(1)=1，进而f(2)=f(0)=0，

∴f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=1+0=1．

4.C

【解析】解：①圆柱的侧面展开图是一个矩形；正确；

②圆锥的侧面展开图是一个扇形；正确；

③圆台的侧面展开图是一个梯形；应该是扇环，所以不正确

④棱锥的侧面为三角形．符合棱锥的定义，正确；

故选：C．

利用圆台、圆锥、圆柱棱锥的侧面展开图，判断命题的真假即可．

本题考查空间几何体的结构特征，命题的真假的判断，是基本知识的考查．5.D

【解析】解：因为b=(3,1)，b=λa(λ∈R)，且a⋅b=1，

所以λ≠0，a=1λb=(3λ,1λ6.D

【解析】解：已知AB是圆O：x2+y2=1的直径，C、D是圆O上两点，且∠COD=60°，

不妨设弦CD的中点为E，

因为∠COD=60°，

则△COD为等边三角形，

所以可得|OE|=32，

则OC+OD=2OE，

设OE与AB的夹角为θ(0≤θ≤π)，

所以(OC+OD)⋅AB=2OE⋅AB=2|OE7.C

【解析】解：由f(x)=1−ex1+ex⋅sinx，x∈R，定义域关于原点对称，

得f(−x)=1−e−x1+e−x⋅sin(−x)=ex−1ex+1⋅(−sinx)=1−ex1+ex⋅sinx=f(x)，

则函数8.B

【解析】解：取DC中点N，连接MN，NB，

则MN//A1D，NB//DE，

MN⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，则MN//平面A1DE，

同理NB//平面A1DE，而MN∩NB=N，则平面MNB//平面A1DE，

又MB⊂平面MNB，

故MB//平面A1DE，①正确；

当平面A1DE⊥平面BCDE时，三棱锥M−DEC的体积最大，

可得：三棱锥M−DEC的体积最大值为13×12×4×2×22=223，故②正确；

由题意可得∠MNB=∠A1DE=45°，MN=12A1D=1，NB=DE=22，

由余弦定理可得，|MB|=|MN|2+|NB|2−2|MN|⋅|NB|⋅cos9.AC

【解析】解：已知向量a=(sinωx,sinωx−cosωx)，b=(23cosωx,sinωx+cosωx)(ω>0)．

又函数f(x)=a⋅b(x∈R)，

则f(x)=23sinωxcosωx+(sinωx−cosωx)(sinωx+cosωx)

=3sin2ωx−cos2ωx

=2sin(2ωx−π6)，

又函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2，

则2π2ω×12=π2，

即ω=1，

对于选项A，由题意可得f(x)=2sin(2x−π6)，

即选项A正确；

对于选项B，令2x−π6=kπ，k∈Z，

则x=kπ2+π12，k∈Z，

令x=π3，

则关于k的方程π3=kπ2+π12无整数解，

即选项B错误；

对于选项C，令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，k∈Z，

则kπ+π3≤x≤kπ+5π6，k∈Z，

即函数f(x)10.AD

【解析】解：如图，

对于A选项，可知点P的轨迹是以D为圆心，半径为1的圆，

所以点P的轨迹与直四棱柱的交线为圆弧，

圆弧长为2π3×1=2π3，故A选项正确；

对于B选项，可知点P在线段BD上，

所以当点P与点B重合时，三棱锥M−PAD的体积最大，

且最大值为13×12×2×3×1=33，故B选项错误；

对于C选项，可知该球的半径为1，

球与直四棱柱的公共部分的体积为

43π×

13×12×2π32π=2π9

，故C选项错误；

对于D选项，经过B,C,M三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形BCMN，

其中AN=1，可得BN=5，

设MN的中点为11.C

【解析】解：∵z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，

∴z的虚部为−1，|z|=2，z2=(1−i)2=−2i为纯虚数，12.50°

【解析】解：因为1tanα2=23tan10°+tanα2，

所以1tanα2−tanα2=13.12【解析】解：∵α∈(0,3π2),cosα=35，

∴α∈(0,π2)，

∴sinα=1−cos2α=14.3【解析】解：因为直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=60°，边长为1，

所以O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1=12，O1B1=32，

所以C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=12，

因为OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，

所以当△O1MH的面积取得最小值时，三棱锥C1−O1MH的体积有最小值，

将平面BB1D1D单独画图可得，

当B点到O1H的距离最小时，△O1MH的面积有最小值，

过点B做BF//O1H，可得直线BF上方的点到O1H的距离比直线BF上的点到O1H的距离小，

而线段BD上除B点外的所有点都在直线BF下方，到O1H的距离比B点到O1H的距离大，15.(I)证明：取SC中点G，连结FG，AF，EG，

∵F，G分别是SB，SC的中点，

∴FG//BC，FG=12BC，

∵底面ABCD是菱形，E是AD的中点，

∴AE//BC，AE=12BC，

∴FG//AE，FG=AE，

∴四边形AFGE是平行四边形，

∴AF//EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，

∴AF//平面SEC．

(II)证明：∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，

∴SE⊥AD，

∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，

∴AD⊥CE，又SE∩CE=E，SE、CE⊂平面SEC，

∴AD⊥平面SEC，EG⊂平面SEC，

∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，

∴四边形AFGE是矩形，

∴AF⊥FG，

又SA=AB，F是SB的中点，

∴AF⊥SB，

又FG∩SB=F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，

∴AF⊥平面SBC，

又AF⊂平面ASB，

∴平面ASB⊥平面CSB．

(III)设AC、BD交于O点，假设棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，

连结MO，BE，

MO⊂平面MAC，则BD⊥OM，

∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，SAD为正三角形，

∴由余弦定理得BE=7，SE=3，BD=2OB=23，SD=2，SE⊥AD，

∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD=AD，SE⊂侧面SAD，

∴SE⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，

∴SE⊥BE，∴SB=SE【解析】(I)取SC中点G，构造平行四边形AFGE，得出AF//EG即可证明结论；

(II)通过证明平行四边形AFGE为矩形得出AF⊥FG，再根据AF⊥SB即可得出AF⊥平面SBC，从而结论得证；

(III)根据余弦定理计算BE，SB，cos∠SBD，根据cos∠SBD=OBBM计算BM的值，从而得出16.解：(1)∵f(x)=ln(e2x+1)−x，

即a=ln(e设φ(x)=ln即φ(x)=ln(1e2x∴φ(x)∈(0,ln即实数a的取值范围为(0,ln(2)若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，则关于x的方程ln(m⋅∴m⋅ex−2m=得关于t的方程(m−1)t ①当m=1时，方程的解为t=−12 ②当m>1时，∵t1⋅t ③当m<1时，只需4m2−4(m−1)×(−1)=0综上：实数m的取值范围为m|m=−1−【解析】本题考查了利用导数研究函数的最值，函数的零点与方程的根的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于较难题．

(1)根据函数零点的定义，利用转化法进行求解即可;

(2)把公共点的问题转化为方程的解的问题，结合换元法进行求解即可．17.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

因为BD⊥PC，AC，PC⊂平面PAC，且AC∩PC=C，

所以BD⊥平面PAC，

因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA，

因为PA=AB=1，PB=2，所以PB2=AB2+PA2，所以AB⊥PA，

因为AB，BD⊂平面ABCD，且AB∩BD=B，所以PA⊥平面ABCD，

因为PA⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD．

(2)解：若选条件①，

记BD与AC交于点O，则O为BD的中点，连接OE，

由BF//平面ACE，平面BFD∩平面ACE=OE，则BF//OE，

所以E为FD的中点，PE=23PD，

取棱CD的中点G，连接AG，则AB，AG，AP两两垂直，

以A为原点，分别以AB，AG，AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，C(12,32,0)，D(−12,32,0)，P(0,0,1)，

所以AC=(12,32,0)，PD=(−12,32,−1)，AP=(0,0,1)，

因为PE=23PD，所以PE=(−13,33,−23)，

则AE=AP+PE=(−13,33,13)，

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE=−13x+33y+13z=0n⋅AC=12x+32y=0，

令x=3，得n=(3,−1,23)，

平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1)，

设二面角E−AC−D的大小为θ，则二面角E−AC−D为锐角，

计算cosθ=|cos<n，m>|=|n⋅m||n||m|=0+0+231×3+1+12=32，

所以二面角【解析】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了二面角的计算问题，是中档题．

(1)证明BD⊥平面PAC，得出BD⊥PA，利用勾股定理的逆定理证明AB⊥PA，从而证明平面PAD⊥平面ABCD．

(2)选条件①，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量，计算二面角E−AC−D的大小．

选条件②，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面的法向量，计算二面角的大小．18.解：(1)因为2bsinA=asinC