湖南省益阳市2025届高三9月教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省益阳市2025届高三9月教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知A={x|−2<x<2}，B={x|log2x<1}，M=A∩B.则M是A.{x|x<2} B.{x|−2<x<2} C.{x|0<x<1} D.{x|0<x<2}2.已知复数z满足|z−i|=2，则复数z在复平面上对应的点的轨迹是(

)A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线3.已知等比数列{an}中，a1+a3A.26 B.32 C.512 D.10244.已知f(x)=−x−1(x<0)sinA.−32 B.0 C.15.已知椭圆E:x26+y2=1与双曲线A.52 B.32 C.56.在平行四边形ABCD中，BE=12BC，AF=13A.13 B.12 C.567.已知抛物线C1:y2=4x，C2:y2=8x的焦点分别为F1、F2，若P、QA.当|PQ|=12时，△F1PQ是直角三角形

B.当|PQ|=43时，△F2PQ是等腰三角形8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=ex(x+2)，则下列说法正确的是A.函数f(x)有两个零点 B.当x>0时，f(x)=−ex(−x+2)

C.f(x)>0的解集是(−2,0)U(2,+∞) D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2sin(2x+π6)，A.f(x)的最小正周期为π B.曲线y=f(x)关于直线x=π2对称

C.点(−π12,0)是曲线y=f(x)的对称中心 10.已知函数f(x)=ex−x，对于任意实数a，b，下列结论成立的有A.f(x)min=1

B.函数f(x)=ex−x在定义域上单调递增

C.曲线f(x)=ex−x在点11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1上一点，且B1P=2PBA.若D1Q/​/平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条长为22的线段

B.不存在点Q使得D1Q⊥平面A1PD

C.三棱锥Q−A1PD的最大体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若sinα=13，则cos13.在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名、若a对b、a对d的胜率均为0.6，a，对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为

．14.已知{an}是各项均为正整数的无穷递增数列，对于Bk={i∈N∗．|ai<k}，设bk为集合(1)若an=3n(2)若数列{bn}是等差数列，则数列{an}四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(1)求A;(2)若a=4，则△ABC面积为23，求b+c16.(本小题15分)某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意．满意不满意总计男游客35女游客15合计100(1)完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?(2)从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为X.求出X的分布列及数学期望．参考公式：χ2=n(ad−bc参考数据：α0.100.0500.0100.005x2.7063.8416.6357.87917.(本小题15分)如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD，EF/​/AD，AD=4，AB=2，BC=EF=2，AF=11，FB⊥平面ABCD，M为AD上一点，且FM⊥AD，连接BD、(1)证明：BC⊥平面BFM;(2)求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值．

18.(本小题17分)已知两点A(−2,0)，B.(2,0)及一动点P，直线PA，PB的斜率满足kPA⋅kPB=−14，动点P的轨迹记为C.过点(1,0)的直线I与C交于M，N(1)求C的方程;(2)求△AMN的面积的最大值;(3)求点Q的轨迹方程．19.(本小题17分)若函数f(x)=ln(1)若a=4，且曲线y=f(x)的切线l过点(0,2e2)，求直线(2)证明：若f(x1(3)若G(x)=f(x)+x+lna2≤0恒成立，求参考答案1.D

2.B

3.D

4.D

5.A

6.B

7.C

8.C

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.7913.0.33

14.2；1275

15.解：(1)由正弦定理得a=2RsinA，c=2Rsin∴∵C∈(0,π)，∴sinC≠0.∴∵A∈(0,π)，∴A=π(2)∵△ABC面积为23，∴2∵a=4，A=π3，由a2即(b+c)2=16+3bc=40

16.解：(1)因为调查的男游客人数为：22+3所以，调查的女游客人数为100−40=60，于是可完成2×2列联表如下：满意不满意总计男游客35540女游客451560合计8020100零假设为H0:游客对公园新措施满意与否与性别无关χ2根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为(2)由(1)可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知X的可能取值为0，1，2，并且X服从超几何分布，即P(X=0)=C20C33C所以X的分布列为：X012P163E(X)=0×1

17.解：(1)因为FB⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，

所以FB⊥AD.又FM⊥AD，且FB∩FM=F，

所以，AD⊥平面BFM.因为BC//AD，

所以，BC⊥平面BFM．(2)作EN⊥AD，垂足为N.则FM//EN.又EF/​/AD，

所以四边形FMNE是平行四边形，又EN⊥AD，

所以四边形FMNE是矩形．

又四边形ADEF为等腰梯形，且AD=4，EF=2，所以AM=1．

由(1)知AD⊥平面BFM，所以BM⊥AD．

又AB=2，所以BM=1．

在Rt△AFM中，FM=AF2−AM2=10．

在Rt△FMB中，∴FB=FM2−B则A(−1,−1,0)，B(0,0,0)，F(0,0,3)，D(−1,3,0)，E(0,2,3)，所以，AB=(1,1,0)，BF=(0,0,3)，BD=(−1,3,0)设平面ABF的法向量为m=(由m⋅BA=0m⋅设平面BDE的法向量为n=(由m⋅BD=0m⋅因此，cos<m，依题意可知，平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为3

18.解：(1)设动点P(x,y)，因为直线PA，PB的斜率满足kPA∴yx+2⋅所以轨迹C的方程为x2(2)由已知可设过点(1,0)的直线l的方程为：x=ty+1(t∈R)，点M(x1,由x=ty+1x24+y2=1，得(SΔAMN令u=t2+3，则u≥设s(u)=6uu2+1，则s′(u)=6−6u2s(3)=332即u=(3)由已知可设直线AM的方程为y=y1x直线BN的方程为y=y2x消去y得y1(x+2)ty1+3由(2)，得y1+y2=−2tt所以(∗)式可化为x+2t+3y1=所以点Q的轨迹方程为x=4(y≠0)．

19.解：(1)由题意得f′(x)=1设所求切线的切点为(x0,y0即y−y0=∴2e2−(令t(x)=lnx+2x2−2又t(e)=0，所以方程lnx0+2所以，直线l的方程是y=1−4e(2)证明：∵f(x1)=f(即lnx1−由(1)知只要证2x1+又因为0<x1<x令x1x2=t，则0<t<1，欲证设函数ℎ(t)=lnt−2(t−1)所以函数ℎ(t)是(0,1)上的增函数，所以ℎ(t)<ℎ(1)=0，即2(t−1)t+1所以f′((3)解法一：由题意得G(x)=ln则G′(x)=1x−ax+1=1−ax2+xx，令在(0,1+1+4a2a)上，G′(x)>0∴G(x)在(0,1+1+4a2a)上单调递增，在(1+1+4a已知G(x)=f(x)+x+lna又G(2a)=0，所以G(1+所以a的取值的集合为2．解法二：由题意得G(x)=lnx−a2x2+x+∵a>0，∴△=1+