2024-2025学年江苏省泰州市多校高三（上）暑期数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省泰州市多校高三（上）暑期数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合和逻辑用语描述了精彩的数学世界，下列说法正确的是(

)A.随机试验的样本空间为Ω，若∀ω∈Ω，∃ξ∈R，ω与ξ一一对应，则ξ为随机变量

B.{f|f(x)=−f(−x),x∈R}∩{f|f(x)=f(−x),x∈R}=⌀

C.函数f：A→B的定义域是数集A，值域是数集B

D.数列的本质是定义域为N，值域是数集的函数2.如图所示，点A,B在⊙O上，向量a所在直线与⊙O相切于点A，向量b=AB.若已知下列选项给出的量，则可以得到a

①a

②b

③⊙O半径r

④∠AOBA.①④ B.①② C.③ D.⑤3.设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1)，(x2,yA.i=1n|yi−(bxi+a)| 4.函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．下列情景可以使用指数函数模型的是(

)A.在弹性限度内，弹簧的弹力与其形变量成正比

B.以每年5%增长率递增的物价翻一倍所需的时间

C.动物种群个体数量的瞬时变化率与个体数量成正比

D.物体温度的瞬时变化率正比于物体与环境的温度差5.圆x2+y2A.D2=E2=4F B.D26.一只蜗牛从数轴原点出发向正方向前进1个单位长度，接着后退12个单位长度，然后再前进14个单位长度，接着后退18个单位长度，以此类推.经过足够长的时间后，蜗牛将始终会在某个位置附近前后爬行，这个位置的坐标是A.34 B.23 C.57.下列关于随机事件的说法错误的是(

)A.必然事件与任意事件独立 B.不可能事件与任意事件独立

C.两个概率大于0的互斥事件可以不独立 D.两个概率大于0的独立事件可以互斥8.已知A=x∈Nx<12,B=x∈Nx<3，函数f1:A→N,f1x的值等于x除以6得到的余数，f2:N→B.设fA.729 B.189 C.378 D.540二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.若ξ∼Nμ,σ2，则Pξ=μ=1σ2π

B.若X∼B4,14，则PX≥210.平面内有一点O，小明从点A1出发，依次到达点A2,A3,…,AiAi+1A.OA3=3A1A2 B.|OAn11.函数f(x)，g(x)，ℎ(x)的解析式分别为f(x)=sin1x，x>0，g(x)=xsin1x,x≠0,0,x=0,A.g′(0)=0 B.ℎ′(0)=0

C.数列{1an}是以π2为首项的等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.▵ABC的三边分别为a,b,c，边BC上的中线长为

．13.与家庭电路不同，从发电厂到用户端的高压电路只有三根火线而没有零线.实际上，发电厂通常采用三相正弦交流进行发电，三根火线的瞬时电流表达式分别为iA=Isinωt，iB=Isin(ωt+1314.已知在n行n列的数阵中，第1行第1列的数为a0，数阵的每一列从上往下组成公差为d1的等差数列，每一行从左往右组成公差为d2的等差数列．从第n行第1列的数开始，沿数阵的对角线斜向上组成新的数列，该数列所有项之和为

.整个数阵的所有数的总和为

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知f(x)=exsinx．

(1)计算并画出f(x)在[−π,π]上的大致图象．

(2)将f(x)在(0,+∞)上所有的极大值点以及极大值从小到大依次排列，分别组成数列{an}和{16.(本小题12分)已知常数a,b,c∈R，设关于x的方程ax(1)在复数范围内求解该方程．(2)当a≠0时，设该方程的复根分别为x1,(3)如果多项式的系数是复数，那么称该多项式为复系数多项式．已知任何一元n次(n∈N∗)复系数多项式方程fx=0至少有一个复根．证明：fx=0(4)将题设的常数“a,b,c∈R”改为“a,b,c∈C”，并证明：(2)仍然成立．17.(本小题12分)

以A地生产的所有番茄为总体，总体中每个番茄的重量为随机变量X，X∼N(μ,σ2)，其中μ，σ均为正数.随机从总体中抽取n个番茄作为一个样本，番茄的重量分别为X1，X2，⋯，Xn，其取值相互独立.样本均值为X−．

(1)已知对于任意的随机变量Y1，Y2，⋯，Yn，有E(i=1nYi)=i=1nE(Yi)；如果Y1，18.(本小题12分)

在多项式的运算中，二项式定理有着非常重要的作用.当帕斯卡(BlaisePascal,16231662)建立了正整数次幕的二项式定理之后，这个定理又被其他数学家们作了进一步的推广，其中莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646−1716)和约翰・伯努利(JoℎannBernoulli,1667−1748)则将二项式定理推广成多项式定理．

(1)现有7个不同编号的白球，将其中2个球染成红色，3个球染成蓝色，2个球染成黄色，求染色方案的种数．

(2)现有n个不同编号的白球，将其中i个球染成红色，j个球染成蓝色，k个球染成黄色，i+j+k=n且n，i，j，k∈N，求染色方案的种数.(用阶乘符号表示)

(3)“∑”求和符号可用于求所有满足约束条件的式子的和，例如i+j=5=aibj=a1b4+a219.(本小题12分)一条直线与另外两条异面直线同时垂直且相交，则称该直线是两条异面直线的公垂线，并把以两垂足为端点的线段称为两异面直线的公垂线段，公垂线段的长度则被称为两异面直线之间的距离．(1)用符号语言表述公垂线、公垂线段及两异面直线之间的距离的定义．(2)证明：两条异面直线的公垂线有且仅有一条．(3)在空间直角坐标系O−xyz中，直线l1过点A1,1,4，方向向量m=5,1,4；直线l2过点B2,0,2，方向向量Ⅰ.若共面，(ⅰ)求l1与l2交点(ⅱ)已知M∈l，记l与l1所确定的平面为α，记l与l2所确定的平面为β，若α⊥β，试问：l是否确定？若确定，求出Ⅱ.若异面，(ⅰ)请给出证明．(ⅱ)l为l1与l2的公垂线，M=l∩l1,N=l∩l2(ⅲ)求OM．

参考答案1.A

2.D

3.D

4.C

5.A

6.B

7.D

8.B

9.BCD

10.ACD

11.BD

12.1213.0

14.na15.解：(1)f′(x)=exsinx+excosx=2exsin(x+π4)，因为ex>0，x−π(−π,−−(−3π(πf′(x)−0+0−f(x)0↘−↗↘0f(x)的图象如下图所示：

(2)由于当x∈(0,3π4)时，f′(x)>0；

当x∈(3π4+2kπ,7π4+2kπ)(k=0,1,2,⋯)时，f′(x)<0；

当x∈(7π4+2kπ,11π4+2kπ)(k=0,1,2,⋯)时，f′(x)>0，

因此x=3π4+2kπ(k=0,1,2,⋯)是极大值点．

将极大值点从小到大依次排列，形成数列{an}，得an=3π4+(n−1)⋅2π，

an+1−an=3π416.解：(1)当a=0,b=0,c=0时，方程有无数个根，所有根组成的集合是C；当a=0,b=0,c≠0时，方程无根；当a=0，b≠0时，方程的根为x=−c当a≠0时，配方得x+b①当Δ=bx1②当Δ=b2−4ac<0由于4a24ac−由于(±i)2=−1故方程有两个复根x1(如果认为i=−1，然后把两种情况合并成一种情况x=−b±b2−4ac2a，则不正确．因为我们只曾定义过就算−1=i，那为什么不是再次强调：−1不是i，“i”不能写成“−1”，i仅仅只是人为规定的一个抽象的数，它满足(2)①当Δ=b2②当Δ=b2(3)一元n次n∈N∗复系数多项式方程不妨设该方程的一个复根为x1，则fx必然能够分解出一个因式x−x由复数的运算法则可知，方程f1x=0是一元n−1不妨设该方程的一个复根为x2，则f1x必然能够分解出一个因式x−重复该过程，最终fx其中c为常数，c∈C.显然fx有n个复数根(重根按重数计)(4)由(3)得复系数二次方程ax2+bx+c=0a,b,c∈C有两个复数根，分别设为即ax和原方程比较系数，得−ax即x1

17.解：(1)由题意得E(X−)=E(1ni=1nXi)=1nE(i=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=1ni=1nμ=1n⋅nμ=μ．18.解：(1)染色方案总数为C72C53C22=210．

(2)染色方案总数为CniCn−ijCn−i−jk=n!i!(n−i)!⋅(n−i)!j!(n−i−j)!⋅(n−i−j)!k!(n−i−j−k)!=n!i!j!k!．

(3)由于A的次数是n，因此A的每一项都是n次项，即每一项中a1，a2，⋯，am的指数和为n．

不妨设展开式通项为Lk1,k2,⋯,kma1k1a2k2⋯amkm，其中k1，k2，⋯，km∈N，k1+k2+⋯+km=n．

而Lk1,k2,⋯,km就当于“现有n个不同编号的白球，将其中k1个球染成颜色1，k2个球染成颜色2，⋯19.解：(1)设两条直线分别为l1和l2,l1若l⊥l1,l∩l1=M,l⊥l线段MN为l1与l2的公垂线段，线段MN的长度为l1(2)(反证法)假设l的另外一条直线l′也是两条异面直线l1与l不妨设l′⊥l平移l得到l0，使得N′∈l0，则l记l0与l′所决定的平面为α由于l1⊥l，故l1⊥l0，又因为由于l2⊥l，故l2⊥l0，又因为又因为l1≠l2，所以l1所以两条异面直线l1与l2的公垂线(3)异面．(ⅰ)证明：(反证法)假设l1与l2共面α，设面α的法向量分别平移m,n，使起点分别落在点A和点B处，则m,于是k⊥m且k⊥n，得k⋅显然AB在面α内，故k⊥AB，得k⋅k⋅与k⋅AB=0矛盾，故l(ⅱ)平移l1得到l′1，使得l′1∩l因为l⊥l1，所以l⊥l′1，又因为l⊥l故l1与l2之间的距离，即线段MN的长度等于点M到面因为l1与l2异面，所以l1⊄α，又因为所以点M到面α的距离等于点A到面α的距离．而点A到面α的距离dA故l1与l2之间的距