2024-2025学年北京市门头沟区大峪中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市门头沟区大峪中学高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={x|−2≤x≤2}，集合A={x|−1≤x<2}，则∁UA=(

)A.(−2,−1) B.[−2,−1] C.(−2,−1)∪{2} D.[−2,−1)∪{2}2.复数z=m2−1+(m+1)i表示纯虚数，则实数m值为A.±1 B.0 C.1 D.−13.下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是(

)A.y=x12 B.y=1x 4.已知向量a=(1,2)，b=(3,x)，a与a+b共线，则A.6 B.25 C.20 5.已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0的解集是A.(−1,1) B.(−∞,−1)∪(1,+∞)

C.(0,1) D.(−∞,0)∪(1,+∞)6.若两条直线l1：y=2x+m，l2：y=2x+n与圆x2+yA.45 B.210 C.7.设a>0，b>0，则“lg(a+b)>0”是“lg(ab)>0”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知等差数列{an}和等比数列{bn}，a1=b1=−4，aA.有且仅有1个值 B.有且仅有2个值 C.有且仅有3个值 D.有无数多个值9.函数f(x)是定义在(−4,4)上的偶函数，其图象如图所示，f(3)=0.设f′(x)是f(x)的导函数，则关于x的不等式f(x+1)⋅f′(x)≥0的解集是(

)A.[0,2] B.[−3,0]∪[3,4) C.(−5,0]∪[2,4) D.(−4,0]∪[2,3)10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D①三棱锥A−D1PC的体积为定值；

②且线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；

③直线AP与A1A.①②③

B.②③④

C.①②④

D.①③④二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=1x+112.(x−2x213.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，|AB|=10，AB的中点横坐标为4，则p=______．14.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图，f(x1)=f(x2)=−15.若函数f(x)的图象上存在不同的两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，坐标满足关系：|x1x2+y1y2|≥x1三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，BC=12AD，PA=AB=2，E为棱PD的中点．

(1)求证：EC//平面PAB；

(2)当PC=3时，求直线PC与平面BCE17.(本小题14分)

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinAcos(A+π6)=14．

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，写出你的选择_____，并以此为依据求△ABC的面积.(注：只需写出一个选定方案即可)

条件①：a=2；条件②：B=π4；条件③：c=3b．18.(本小题13分)

每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间(单位′分钟)，得到下表：时间人数类别[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)性别男51213898女69101064学段初中高中M1312754(Ⅰ)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在[50,60)的概率；

(Ⅱ)从参加体育锻炼活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各脑机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

(Ⅲ)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为μ0，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为μ1，μ2.写出一个m的值，使得19.(本小题15分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，△APB的面积的最大值为22．

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)设O为原点，点N在直线x=2上，N，P分别在x轴的两侧，且△APB与△NBP的面积相等．

(i)求证：直线ON与直线AP的斜率之积为定值；20.(本小题15分)

设函数f(x)=px−px−2lnx，其中e是自然对数的底数．

(1)当p=32时，求函数f(x)的极值；

(2)若f(x)在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围；

(3)设g(x)=2ex，若在[1,e]上至少存在一点21.(本小题15分)

若有穷自然数数列A：a1，a2，…，an(n≥2)满足如下两个性质，则称A为Bn数列：

①ak≥max{a1+ak−1,a2+ak−2,…,ak−1+a1}(k=2，3，…，n)，其中，max{x1,x2,…,xs}表示x1，x2，…，xs，这s个数中最大的数；

②ak≤min{a1+ak−1,a2+ak−2,…,ak−1+a1}+1(k=2，3，…，n)，其中，max{x1,x2,…,xs}表示x1，x2，…，xs，这s参考答案1.D

2.C

3.D

4.B

5.D

6.B

7.B

8.A

9.D

10.D

11.{x|x>0}

12.60

13.2

14.−4

3415.①②④

16.解：(1)证明：取PA中点为M，连接ME，MB，如下图所示：

在△PAD中，因为M，E分别为PA，PD的中点，

故ME//AD,ME=12AD，

又AD//BC,BC=12AD，

故ME/​/BC，ME=BC，则四边形MBCE为平行四边形，EC//MB，

又MB⊂面PAB，EC⊄面PAB，

故EC/​/面PAB．

(2)过点P作BM延长线的垂线，垂足为N，连接NC，如下图所示：

由(1)可知，EC//BM，

故平面BCE也即平面NMBCE，

因为AB⊥AD，BC/​/AD，

则BC⊥AB，

又PA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，

故BC⊥PA，

又PA∩AB=A，PA，AB⊂面PAB，

故BC⊥面PAB，

又PN⊂面PAB，则PN⊥BC，又PN⊥BN，

BC∩BN=B，BC，BN⊂面BCE，

故PN⊥面BCE，

则∠PCN即为PC与平面BCE的夹角，

在△ABM中，因为AB=2,AM=12PA=1，

则BM=AB2+AM2=5，sin∠AMB=255，

在△PMN中，因为PM=17.解：(Ⅰ)∵sinAcos(A+π6)=14，

∴可得sinA(32cosA−12sinA)=34sin2A+14cos2A−14=14，可得sin(2A+π6)=1，

∵0<A<π，

∴π6<2A+π6<13π6，

∴2A+π6=π2，

∴A=π6．

(Ⅱ)若选择①②，

∵A=π6，a=2，B=π4，

∴由正弦定理可得b=a⋅sinBsinA=2×2212=218.解：(Ⅰ)方法一：女生共有6+9+10+10+6+4=45人，

记事件A为“从所有调査学生中随机抽取1人，女生被抽到”，

事件B为“从所有调査学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在[50,60)“，

由题意可知，P(A)=45100,P(AB)=9100，

因此P(B|A)=P(AB)P(A)=910045100=945=15，

所以从该校随机抽取1名学生，

若已知抽到的是女生，

估计该学生参加体育活动时间在[50,60)的概率为15；

方法二：女生共有6+9+10+10+6+4=45人，

记事件M为“从所有调査学生中随机抽取1名学生，

若已知抽到的是女生，

该学生参加体育活动时间在[50,60)“，

由题意知，从所有调査学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，

抽到女生且参加体育活动时间在[50,60)所包含的基本事件共9个，

所以P(M)=945=15，

所以从该校随机抽取1名学生，

若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在[50,60)的概率为15；

(Ⅱ)方法一：X的所有可能值为0，1，2，

时间在[80,90)的学生有10+5=15人，活动时间在[90,100)的初中学生有8+4−4=8人，

记事件C为“从参加体育活动时间在[80,90)的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，

事件D为“从参加体育活动时间在[90,100)的学生中随机抽取

X

0

1

2

P

1

4

4故X的数学期望E(X)=0×19+1×49+2×49=129=43；

方法二：X的所有可能值为0，1，2，

因为从参加体育活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为23，

故X～B(2,2

X

0

1

2

P

1

4

4故X的数学期望E(X)=np=2×23=43；

时间人数类别[0,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100性别男51213898女69101064学段初中11−m81111108高中m1312754[50,100)内初中生的总运动时间t1=8×55+11×65+11×75+10×85+8×95=3590，[50,100)内高中生的总运动时间t2=13×55+12×65+7×75+5×85+4×95=2825，

则由题，m=1，2，3…11，

又μ0=1100(11×25+3590+2825)=66.9，

μ1=159−m[25(11−m)+3590]=239059−m+25，

μ2=141+m(25m+2825)=25+19.解：(Ⅰ)由题知S△APB的最大值为12×2a×b=ab，

ab=22e=ca=22a2=b2+c2，解得a=2，b=2，

所以E的方程为：x24+y22=1；

(Ⅱ)设N(2,t)，P(x0,y0)(x0≠±2)，则y0t<0，

证明：(i)由题知SΔAPB=SΔNBP，

所以12|AB||y0|=12|BN|(2−x0)，

即|t|=4|y0|2−x0，所以t=−4y02−x0，

设直线ON的斜率为kON，直线AP的斜率为k20.(1)解：由已知f(x)=px−px−2lnx，得f′(x)=px2−2x+px2，

p=32时，f′(x)=(x−3)(3x−1)2x2，

令f′(x)=0，可得x=3或33，

故函数在(0,33)，(3,+∞)上为单调增函数，在(33,3)上为单调减函数，

所以函数的极大值为f(33)=ln3−1，极小值为f(3)=1−ln3，

∴函数的极大值为ln3−1，极小值为1−ln3；

(2)解：f′(x)=p+px2−2x=px2−2x+px2，

令ℎ(x)=px2−2x+p，

要使f(x)在其定义域(0,+∞)内是单调函数，只需ℎ(x)在(0,+∞)内满足ℎ(x)≥0或ℎ(x)≤0恒成立，

当且仅当p(x2+1)≥2x时，ℎ(x)≥0，p(x2+1)≤2x时，ℎ(x)≤0，

因为x2+1>0，

所以当且仅当p≥2xx2+1时，ℎ(x)≥0，p≤2xx2+1时，ℎ(x)≤0，

因为在(0,+∞)内有0<2xx2+1=2x2+1x=2x+1x≤1，当且仅当x=1x即x=1时取等号，

所以当p≥1时，ℎ(x)≥0，f′(x)≥021.解：(Ⅰ)A：2，4，6，7，10不是B5数列．理由如下：

因为a1+a3=8，a2+a2=8，

所以max{a1+a3,a2+a2}=8．

但a4=7<8，所以A不满足性质①，故不是B5数列．

(Ⅱ)根据B6数列的定义，可知A：a1，a2，…，a6满足：

a2=a1+a1或a2=a1+a1+1，a3=a1+a2或a3=a1+a2+1，

(1)若a2=a1+a1，因为a1，a2，a3成等比数列，所以a3=a22a1=4a1，

又因为a1≠0，所以a3