2024-2025学年山东省济宁市邹城市北大新世纪高级中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年济宁市邹城市北大新世纪高级中学高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|x2−6x−7<0}，N={−2,−1,0,1,2,3}，则M∪N=A.{x|−2<x<7} B.{x|−2≤x<7}

C.{x|−1≤x<7或x=−2} D.{−2,−1,0,1,2,3}2.i为虚数单位，若z=3i2−4i，则|z|=A.5 B.7 C.9 D.253.已知向量a=(1,2),b=(1,−1),c=(4,5).若a与b+λA.114 B.−114 C.14.已知sinαsin(α+π6)=cosαsin(π3A.2−3 B.−2−3 C.5.陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径AB=12cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=4cm，则这个陀螺的表面积(单位：cm2)是(

)A.(144+1213)π B.(144+2413)π6.若函数ℎ(x)=lnx−12ax2−2x在[1,4]A.(−∞,−1] B.(−∞,−1) C.(−∞,−716]7.函数f(x)=sinx+2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是(

)A.(0,1) B.(0,3) C.(1,3) D.(0,2)8.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1−x)，若x∈[0,1]，f(x)=2x，则f(2023)=(

)A.4 B.2 C.1 D.0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(

)A.P(X>32)>P(Y>32)

B.P(X≤36)=P(Y≤36)

C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车

D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车10.已知函数f(x)=(x+1)(ex−x−1)，则下列说法正确的有A.f(x)无最大值 B.f(x)有唯一零点

C.f(x)在(0,+∞)单调递增 D.f(0)为f(x)的一个极小值11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系xOy中，M(−2,0)，N(2,0)，动点P满足|PM|⋅|PN|=5，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是(

)A.曲线C与y轴的交点为(0,−1)，(0,1) B.曲线C关于x轴对称

C.△PMN面积的最大值为2 D.|OP|的取值范围是[1,3]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F13.已知函数y=x的图象与函数y=alnx的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为______．14.在n维空间中(n≥2,n∈N)，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标(a1,a2,…,an)，其中ai∈{0,1}ai∈{0,1}(1≤i≤n，i∈N).则5维“立方体”的顶点个数是______；

定义：在n维空间中两点(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为12a(csinC+bsinB−asinA)．

(1)求A；

(2)若a=2，且△ABC的周长为5，设D为边BC中点，求AD．16.(本小题15分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12,(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程；(Ⅱ)设l上两点P,Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D，若△APD的面积为6217.(本小题15分)

在底面ABCD为梯形的多面体中.AB//CD，BC⊥CD，AB=2CD=22，∠CBD=45°，BC=AE=DE，且四边形BDEN为矩形.点Q在线段EN上．

(1)点Q是线段EN中点时，求证：CQ//平面ADE；

(2)是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若存在，求|EQ|.若不存在，请说明理由．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ln(x+1)．

(1)讨论函数F(x)=ax−f(x)(a∈R)的单调性；

(2)设函数g(x)=(x+1)f(1x)−f(1x+1)．

(ⅰ)求g(1)−g(−2)的值；

(ⅱ)证明：存在实数19.(本小题17分)

若有穷数列a1，a2…an(n是正整数)，满足a1=an，a2=an−1，…，an=a1，即ai=an−i+1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．

(1)已知数列bn是项数为8的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=1，b4=10，试写出bn的每一项．

(2)已知cn是项数为2k(其中k≥1，且k∈Z)的对称数列，且ck+1，ck+2…c2k构成首项为参考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.C

6.A

7.C

8.B

9.BCD

10.ACD

11.ABD

12.513.(e14.32

803115.解：(1)依题意，12a(csinC+bsinB−asinA)=12absinC，

所以csinC+bsinB−asinA=bsinC，

由正弦定理可得，c2+b2−a2=bc，

由余弦定理，c2+b2−a2=2bccosA，解得cosA=12，

因为A∈(0,π)，所以A=π316.解：(Ⅰ)设F的坐标为(−c,0)，

依题意可得ca=12a=p2a−c=12,

解得a=1，c=12，p=2，

于是b2=a2−c2=34，

所以椭圆的方程为x2+4y23=1，抛物线的方程为y2=4x．

(Ⅱ)直线l的方程为x=−1，由题意，设直线AP的方程为x=my+1(m≠0)，

联立方程组x=−1x=my+1,

解得点P(−1,−2m)，故Q(−1,2m)，

联立方程组x=my+1x2+4y23=1,

消去x，整理得(3m2+4)y2+6my=0，

解得y=017.(1)证明：由题意知，AB/​/CD，BC⊥CD，AB=2CD=22，∠CBD=45°，BC=AE=DE，

故有BC=DC=2，易得AE=DE=2，BD=2，AD=BC2+(AB−CD)2=2，

在△ABD中，因为AD2+BD2=AB2，

取线段BD中点M，连接CM，QM，则CM/​/AD，MQ//DE，

又因为直线MQC平面ADE，所以直线MQ/​/平面ADE，同理直线CM/​/平面ADE，

又因为MN∩CQ=M，所以平面CQM//平面ADE，

因为直线CQ⊂平面ADE，

所以CQ/​/平面ADE；

(2)解：因为四边形BDEN为矩形，则BD⊥DE，又DE∩AD=D，

DE⊂平面ADE，AD⊂平面ADE，故BD⊥平面ADE，

以点D为坐标原点，建立的空间直角坐标系D−xyz，如图所示，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，E(1,0,1)，

所以DB=(0,2,0)，DA=(2,0,0)，BE=(1,−2,1)，

设EQ=λEN=λDB=λ(0,2,0)=(0,2λ,0)，其中0≤λ≤1，

解得Q(1,2λ,1)，故DQ=(1,2λ,1)，

设平面QAD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DA=0n⋅DQ18.(1)解：由题意可知F(x)=ax−ln(x+1)，则F(x)的定义域为(−1,+∞)，

F′(x)=a−1x+1=ax+a−1x+1，x∈(−1,+∞)，

当a≤0时，F′(x)=a−1x+1<0，则F(x)在(−1,+∞)上单调递减；

当a>0时，令F′(x)=0，即ax+a−1=0，解得x=1a−1，

若−1<x≤1−aa=1a−1，F′(x)=ax+a−1x+1≤0；

若x>1a−1，F′(x)=ax+a−1x+1>0，

则F(x)在(−1,1a−1]上单调递减，在(1a−1,+∞)上单调递增．

综上所述，当a≤0时，F(x)在(−1,+∞)上单调递减；

当a>0时，F(x)在(−1,1a−1]上单调递减，在(1a−1,+∞)上单调递增．

(2)(ⅰ)解：函数g(x)=(x+1)ln(1+1x)−ln(2+1x)，19.(1)因为b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=1，b4=10，

设前4项的公差为d，所以d=b4−b14−1=3，

所以b2=b1+d=4，b3=b1+2d=7，又数列bn是项数为8的对称数列，

所以b8=b1=1，b7=b2=4，b6=b3=7b5=b4