2024-2025学年广东省惠州市惠东县高三（上）第一次质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省惠州市惠东县高三（上）第一次质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={−1,0,1,2,3,4}，集合A={−1,0,2}，B={−1,0,3}，则集合A∪(∁UB)=A.{1,2} B.{−1,0,1,4} C.{−1,0,1,2,4} D.{−1,0,1,2}2.下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是(

)A.y=x2−1 B.y=x33.集合A={x∈R|x−a2x+1>0}，若3∈A且−1∉A，则a的取值范围为A.a<3 B.a≤−1 C.a≤3 D.−1<a<34.已知f(x)在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−2x−1，则f(f(−1))=A.2 B.−2 C.1 D.−15.命题“对任意x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是(

)A.a≥4 B.a≥2 C.a≥5 D.a≥66.已知a=313，b=log21A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a7.函数f(x)=ex−1−e1−x+5，若有A.8 B.5 C.0 D.48.已知函数f(x)=log2(1+x2−x)−A.m≤0或m≥163 B.m≤−8或m≥2

C.0≤m≤16二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.函数y=ax+2−2x(a>0,a≠1)的图像恒过定点A(−2,5)

B.“−1<x≤5”的必要不充分条件是“−1≤x<6”

C.函数f(x−1)=−f(x+1)的最小正周期为2

D.函数10.狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它是定义在实数集上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就有很重要的作用，其函数表达式为D(x)={1,x为有理数0,x为无理数，则关于狄利克雷函数说法正确的是(

)A.D(D(e))=1，其中e为自然对数的底数

B.它是偶函数

C.它是周期函数，但不存在最小正周期

D.它的值域为[0,1]11.已知定义域为R的函数f(x)满足f(−x−2)=−f(x+2)，f(x)在(0,+∞)解析式为f(x)=3x2−2x+1,0<x≤1A.函数f(x)在[−13,13]上单调递减

B.若函数f(x)在(0,p)内f(x)<1恒成立，则p∈(0,23]

C.对任意实数k，y=f(x)的图象与直线y=kx最多有6个交点

D.方程f(x)=m(m>0)有4个解，分别为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若函数f(x)=x+ax−b，定义域为[−2,+∞)，则实数a=______，实数b13.命题“∀x∈[1,2]，2x+x−a>0”为假命题，则实数a的范围为______．14.已知f(x)是定义在R，且满足f(x+2)=f(x−2)，当x∈[0,4)时，f(x)=|x2−4x+3|，若函数y=f(x)−m在区间[−4,6]上有10个不同零点，则实数m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

若二次函数y=f(x)对任意x∈R都满足f(x+1)=f(1−x)且y=f(x)最小值为−1，f(0)=0．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若关于x的不等式f(x)>m+2x+1在区间[0,3]上恒成立，求实数m的取值范围．16.(本小题15分)

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+1+1．

(1)求f(x)的解析式；

(2)解关于x的不等式17.(本小题15分)

已知函数f(x)=a−22x+1(a∈R)．

(1)判断函数f(x)的单调性并用定义证明；

(2)是否存在实数a使函数18.(本小题17分)

疫情过后，惠州市某企业为了激励销售人员的积极性，实现企业高质量发展，其根据员工的销售额发放奖金(奖金和销售额单位都为十万元)，奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金f(x)随销售额x(2≤x≤8)的增加而增加；②奖金不低于销售额的5%(即奖金f(x)大于等于x⋅5%).经测算该企业决定采用函数模型f(x)=x30−ax+b(a>0,b>0)作为奖金发放方案．

(1)若a=b=130，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由．

19.(本小题17分)

定义：给定一个正整数m，把它叫做模.如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作a=b(modm).如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作a≠b(modm)．

设集合A={x|x=0(mod2),x∈N∗}，B={x|(log3x)=0(mod2),x∈N∗,x>1}．

(1)求A∩B；

(2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列{an}，并构造cn=(1+2an)an2，n∈N∗；

②将集合B参考答案1.C

2.D

3.B

4.D

5.B

6.A

7.A

8.D

9.AB

10.ABC

11.BD

12.2

(−∞,−2)

13.[3,+∞)

14.(0,1)

15.解：(1)法一：由f(x)为二次函数，可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，

∵f(x+1)=f(1−x)，则代入得a(x+1)2+b(x+1)+c=a(1−x)2+b(1−x)+c，

化简：(2a+b)x=(−2a−b)x，

因为其对任意x∈R都成立，所以2a+b=−2a−b，

即2a=−b．

又因为最小值为−1，且f(0)=0，

∴2a=−bc=0−b24a=−1，解得a=1b=−2c=0，

∴f(x)=x2−2x；

法二：由f(x)为二次函数，可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，

∵函数满足f(x+1)=f(1−x)，

∴f(x)图象的对称轴为x=1，即−b2a=1，

最小值为−1，且f(0)=0，

∴2a=−bc=0−b24a=−1，∴a=1b=−2c=0，

∴f(x)=x2−2x；

(2)∵f(x)>m+2x+1，即x2−4x−1>m在[0,3]上恒成立，

即满足函数y=16.解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以，当x=0时，f(0)=0，

设x<0，则−x>0，

∴f(−x)=2−x+1+1，

∵f(−x)=−f(x)，

∴f(x)=−2−x+1−1，

则f(x)=−2−x+1−1,x<00,x=02x+1+1,x>0．

(2)当x>0时，f(x)=2x+1+1，2x+1+1≤5，

2x+1≤4，x+1≤2，x≤1，即0<x≤1，

当x=0时，f(x)=0，满足不等式f(x)≤5．17.解：(1)函数在R递增，证明如下：

函数f(x)的定义域为R，对任意x1，x2∈R，设x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=a−22x1+1−a+22x2+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)．

∵y=2x是R上的增函数，且x1<18.解：(1)f(x)=x30−130x+130，

∵y=x30+130在[2,8]上单调递增，y=−130x在[2,8]上单调递增，

∴f(x)=x30−130x+130在[2,8]上单调递增，故①满足；

对于②，f(x)=x30−130x+130≥5%⋅x，即x30−130x+130≥x20，

整理可得x2−2x+2≤0，x2−2x+2=(x−1)2+1>0，则不满足②的条件；

故a=b=130不满足条件．

(2)当b=1319.解：(1)当x=0(mod2)成立时，则x能被2整除，得x=2n，n∈N∗，

即A={x|x=2n,n∈N∗}，

当(log3x)≡0(mod2)成立时，则log3x能被2整除，得(log3x)=2n，n∈N∗，

即x=32n=9n，n∈N∗，则B={x|x=9n,n∈N∗∗}，

显然集合A为全体正偶数组成的