辽宁省铁岭市开原市2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2024—2025学年度上学期随堂练习九年数学（一）北师大一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是菱形3．关于的方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根4．关于的方程是一元二次方程，则的值是（）A． B．1 C． D．05．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点的坐标是，点的坐标是，点在轴上，则点的坐标是（）A． B． C． D．6．如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（）A． B． C． D．7．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，、则的长为（）A．4 B．3 C． D．8．摩拜共享单车计划2023年第三季度（8，9，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（）A． B．C． D．9．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度设道路的宽度为，则可列方程（）A． B．C． D．10．如图，正方形中，点为对角线的中点，矩形两边分别交、边于、两点，连接，下列结论正确的有（）个．（1）；（2）；（3）；（4）若，则以为斜边的直角三角形面积的最大值为8．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________．12．如图，在菱形中，，点、分别是线段、上的动点，连接、，若，，则图中阴影部分的面积是_________．13．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间约为_________s（结果保留整数）．14．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为18，则_________．15．如图，，，，，点为的中点，点在的延长线上，将绕点顺时针旋转度得到，当是直角三角形时，的长为_________．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解方程：（1）； （2）17．（8分）已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若是该方程的一个解，求方程的另一个根．18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出将向左平移4个单位后得到的图形；（2）画出将绕点按逆时针方向旋转后得到的图形，并直接写出四边形的形状；（3）在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．19．（8分）如图，在平行四边形中，是上一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接，．（1）求证：四边形是矩形；（2）当，时，求的长．20．（9分）如图，在中，，过点的直线，为边上点，过点作交直线与，垂足为，连接，．（1）求证：；（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；21．（10分）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有，两个系列，系列产品比系列产品的售价低5元，100元购买系列产品的数量与150元购买系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．（1）系列产品和系列产品的单价各是多少？（2）为了使系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求系列产品的实际售价应定为多少元/件？22．（10分）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）（1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为_________cm，宽为_________cm；（2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；（3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．23．（12分）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形；且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点．【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_________；【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度．九上数学北师大（一）参考答案与试题解析一．选择题1-5．DCABC．6-10.CCDAB．二．填空题11.a≤14且a≠0．12.13.2．14．2．15.5或35．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）(每题4分)解：（1）x2﹣6x+8＝0，因式分解得，（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，解得，x1＝4，x2＝2；（2）x2﹣3x+1＝0∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴，∴，．17．（8分）（1）证明：∵在一元二次方程x2+（n+2）x+n＝0中，a＝1，b＝n+2，c＝n，∴Δ＝b2﹣4ac＝（n+2）2﹣4n＝n2+4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵x＝﹣2是该方程的一个解，∴（﹣2）2﹣2（n+2）+n＝0，解得n＝0，∴该方程为x2+2x＝0，解得x1＝﹣2，x2＝0，∴方程的另一个根为x＝0．18．（10分）【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．3分（2）如图，△A2B2C即为所求．5分由旋转得，BC＝B2C，AC＝A2C，∴四边形A2B2AB为平行四边形．（3）如图，点D1，D2，D3均满足题意，∴满足题意的点D的坐标为（2，4）或（4，0）或（﹣2，﹣2）．19．（8分）（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．20．（9分）（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝AB＝BD，∴四边形BECD是菱形；21．（10分）解：（1）设A系列产品的单价是x元/件，则B系列产品的单价是（x+5）元/件，根据题意得：，解得：x＝10，经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，∴x+5＝10+5＝15（元）．答：A系列产品的单价是10元/件，B系列产品的单价是15元/件；（2）设B系列产品的实际售价应定为y元/件，则每天可以卖50+10（15﹣y）＝（200﹣10y）件，根据题意得：y（200﹣10y）＝960，整理得：y2﹣20y+96＝0，解得：y1＝8，y2＝12，又∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y＝8．答：B系列产品的实际售价应定为8元/件．22．（10分）解：（1）26，12；（2）设剪去的正方形的边长为xcm，根据题意得：（30﹣2x）（16﹣2x）＝240，解得：x1＝20（不符合题意，舍去），x2＝3，答：剪去的正方形的边长为3cm；（3）设剪去的正方形的边长为ycm，根据题意得：，解得：y1＝﹣17（不符合题意，舍去），y2＝2，答：剪去的正方形的边长为2cm．23．（12分）解：（1）CF+CE＝BC；（2）如图2，过点O′作O′G∥AB，交BC于G，∵四边形ABCD和四边形A′B′C′O′是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，α＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝A′B′＝B′C′＝C′O′＝O′A′＝8，∠B＝∠D＝∠B′＝∠A′O′C′＝60°，∴△ABC、△ACD均为等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，AC＝AB＝8，∵O′G∥AB，∴∠CO′G＝∠BAC＝60°＝∠O′CG，∴△O′CG是等边三角形，∴O′G＝CG＝O′C＝k•AC＝8k，∵∠EO′G+∠CO′E＝∠CO′E+∠CO′F′＝60°，∴∠EO′G＝∠CO′F，∴△O′EG≌△O′FC（ASA），∴EG＝CF，∵CE+EG＝CG，∴CE+CF＝8k；（3）连接B