高考总复习理数（北师大版）第5章第2节平面向量基本定理及坐标表示

第二节平面向量基本定理及坐标表示考点高考试题考查内容核心素养平面向量基本定理与坐标表示2016·全国卷Ⅱ·T3·5分向量的坐标运算，向量垂直的充要条件数学运算命题分析高考对本节内容的考查主要以向量的坐标表示为工具，考查向量的坐标运算、向量共线、垂直的坐标表示等.(对应学生用书P65)1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量，那么对于这一平面内的任一向量a，__存在唯一__一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组__基底__.2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__，λa＝__(λx1，λy1)__，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝__(x2－x1，y2－y1)__.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔__x1y2－x2y1＝0__.提醒：1．辨明三个易误点(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．(2)注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．有关平面向量的两类本质平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2．(教材习题改编)已知向量a＝(2,3),b＝(x,6)共线，则实数x的值为()A．3 B．－3C．4 D．－4解析：选C因为向量a＝(2,3)，b＝(x,6)共线，所以2×6－3x＝0,即x＝4.3．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)解析：选Aeq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选A．4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c等于()A．3a＋b B．3aC．－a＋3b D．a＋3b解析：选B由已知可设c＝xa＋yb(x，y∈R)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝4，,x＋y＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))故选B．5．(教材习题改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________.解析：设D(x，y)，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))答案：(1,5)(对应学生用书P66)平面向量基本定理的应用[明技法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[提能力]【典例】在△ABC中，点P是AB上一点，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，则实数t的值为________.解析：如图所示，因为eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以3eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，即2eq\o(CP,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→)).即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→)).所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ－2,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))＝t(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(t,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(AC,\s\up6(→)).故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＝\f(t,3)，,\f(λ－2,2)＝－t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝\f(3,4)，,λ＝\f(1,2).))故t的值是eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)[母题变式1]本例中，试用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(CP,\s\up6(→)).解：因为eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以3eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，即2eq\o(CP,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→))，2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)).[母题变式2]本例中，试问点M在AQ的什么位置？解：由本例的解析eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ－2,2)eq\o(AC,\s\up6(→))及λ＝eq\f(1,2)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(CQ,\s\up6(→))知，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λ(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\f(2－λ,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CQ,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(\o(CQ,\s\up6(→))＋\o(CA,\s\up6(→)),2).因此点M是AQ的中点．[刷好题](金榜原创)在平行四边形ABCD中，点E是AD边的中点，BE与AC相交于点F，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))(m，n∈R)，则eq\f(m,n)的值是________.解析：方法一根据题意可知△AFE∽△CFB，所以eq\f(EF,FB)＝eq\f(AE,CB)＝eq\f(1,2)，故eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\f(m,n)＝eq\f(\f(1,3),－\f(1,6))＝－2.方法二如图，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋(2n＋1)eq\o(AE,\s\up6(→))，因为F，E，B三点共线，所以m＋2n＋1＝1，所以eq\f(m,n)＝－2.答案：－2平面向量的坐标运算[明技法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．[提能力]【典例】(1)(2018·绍兴模拟)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0) B．(－3,6)C．(6,2) D．(－2,0)解析：选Aeq\o(MN,\s\up6(→))＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))(2)(2018·西安模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝__________.解析：以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1,－3)．由c＝λa＋μb可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝－λ＋6μ，,－3＝λ＋2μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))所以eq\f(λ,μ)＝4.答案：4[刷好题]1．(2018·邵阳检测)在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，则eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(－2,7) B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)解析：选Beq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝3(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＝6eq\o(PQ,\s\up6(→))－3eq\o(PA,\s\up6(→))＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．2．(2018·潍坊检测)如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1解析：选A方法一由题意得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴λ＝－eq\f(1,2)，μ＝1，∴λ＋μ＝eq\f(1,2)，故选A．方法二利用坐标法，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1)，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))＝λ(1,0)＋μ(1,1)，∴λ＋μ＝eq\f(1,2).平面向量共线的坐标表示[明技法]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x2y2≠0时，a∥b⇔eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x1y2－x2y1＝0无条件x2y2≠0的限制，便于记忆；公式eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)有条件x2y2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．[提能力]【典例】已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋