平面向量的运算专项训练- 高三数学一轮复习

高三数学必修二第六章复习配套训练平面向量的运算一、单选题1．（2024·四川资阳·二模）已知向量，的夹角为150°，且，，则（

）A．1 B． C． D．2．（2024·江苏南京·二模）分别是等边的边的中点，，点在线段上的移动(含端点)，则一定不可能是（

）A． B．2 C． D．3．（2024·山东青岛·二模）已知向量，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．（2024·内蒙古赤峰·二模）在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知边上的中线相交于点P,则直线的夹角为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°5．（2024·贵州遵义·二模）已知单位向量满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．6．（2024·青海西宁·一模）已知平面向量，满足.若，则向量，的夹角为（

）A．30° B．45° C．60° D．135°7．（2024·山西太原·二模）已知，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．8．（2024·河北衡水·三模）已知是单位向量，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．9．（2024·江苏盐城·一模）已知向量，满足，，则（

）A．1 B． C．2 D．10．（2024·云南昆明·一模）已知单位向量，满足|－|＝，则与的夹角为（

）A． B． C． D．11．（2024·山东烟台·三模）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，且，则的值为（

）A．4 B． C．16 D．4812．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．13．（2024·福建福州·三模）已知线段是圆的一条长为2的弦，则（

）A．1 B．2 C．3 D．414．（2024·福建泉州·一模）已知向量满足，则（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量为15．（2024·江苏苏州·三模）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（

）A．4 B． C． D．616．（2024·广东佛山·一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（

）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心17．（2024·安徽芜湖·三模）已知与直线交于两点，且被截得两段圆弧的长度之比为，若为上一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．18．（2024·湖南长沙·三模）在平行四边形中，，点为该平行四边形所在平面内的任意一点，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．1219．（2024·云南曲靖·二模）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．20．（2024·湖南长沙·二模）已知向量中，是单位向量，与的夹角为，则（

）A．2 B． C． D．-1二、多选题21．（2024·安徽安庆·三模）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（

）A． B．在方向上的投影向量为C．若，则 D．若，则22．（2024·江苏盐城·一模）定义平面斜坐标系，记，，分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点P的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为23．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（

）A．三点共线 B．C． D．点在的内部24．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量满足且，则（

）A．的最小值为2B．的最大值为5C．的最小值为2D．的最大值为25．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（

）

A． B． C． D．三、填空题26．（2024·四川凉山·三模）在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则．27．（2024·四川乐山·三模）已知，是夹角为的单位向量，若，则实数的值是．28．（2024·天津河西·二模）在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为；.29．（2024·湖南长沙·三模）平面向量满足：，，，且，，则.30．（2024·天津和平·三模）已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为．参考答案：1．D【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得.【详解】因为，所以.故选：D2．D【分析】利用平面向量数量积的几何意义计算即可.【详解】由题意，，易知为的中位线，且，所以的边长为2，结合投影可知，，故.故选:D.3．A【分析】根据投影向量的公式求解.【详解】根据题意，在上的投影向量为：.故选：A4．D【分析】由余弦定理得，即，则进行求解．【详解】由余弦定理得，，得，得，得，如图：则，得，则直线的夹角为，故选：D5．B【分析】由求出，再求出与数量积和模长，由向量的夹角公式可得出答案.【详解】由平方可得，即，则，则，又，所以，故与的夹角为.故选：B6．D【分析】根据数量积公式及运算律计算求出夹角余弦进而求出夹角即可.【详解】因为，设夹角为所以,所以所以.故选：D.7．C【分析】依题意可得，将两边平方，由数量积的运算求出，再由夹角公式计算可得.【详解】因为，，，所以，则，即，解得，设与的夹角为，则，又，所以，即与的夹角为.故选：C8．A【分析】先计算向量的模，再计算与的数量积，进而可得夹角的余弦值，可得答案.【详解】，故．，设与的夹角为，则，又，故，故选：A．9．D【分析】把给出的两个等式两边平方化简后，解方程组即可求解.【详解】解：由，可得，①由，可得，整理得，代入①得，解得故选：D.10．C【分析】将两边平方求得,再利用向量夹角公式即可求解.【详解】根据题意得,得,所以,所以.故选：C11．B【分析】根据题意结合投影向量可得，再根据垂直关系可得，进而可求模长.【详解】由题意可知：，即，因为在方向上的投影向量为，可得，又因为，则，可得，则，所以.故选：B.12．B【分析】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果.【详解】根据题意可得，所以，则所以，则在方向上的投影向量为.故选：B13．B【分析】取中点，连接,根据向量的相关计算性质计算即可.【详解】取中点，连接，易知，所以.故选：B．14．B【分析】根据题意，由平面向量的垂直关系，结合平面向量数量积的运算，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】，即，因为不一定为零，所以与不一定垂直，故A错误；由可得，所以，故B正确；由数量积的定义可得，，所以，，与不一定相等，故C错误；在方向上的投影向量为，故D错误；故选：B15．B【分析】根据题意，分别将与平方，然后作差可得，再由条件可得，即可求得，从而得到，即可得到结果.【详解】由题意可得，所以，即，所以①，因为，所以，即，所以②，①②可得，即又在方向上的投影向量为单位向量，则，即，解得，则，代入②中可得，解得.故选：B16．D【分析】将等式化简整理得，作出中线，进一步将其化成，可得动点的轨迹为的垂直平分线，即得D项.【详解】由可得，，即,(*)如图，取的中点为，连，则，因，故得，,代入(*)得，,即,故垂直且平分线段，即动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.故选：D.17．B【分析】根据题意，得到，所以，设为边的中点，根据向量的运算法则，求得，结合圆的性质，即可求解.【详解】由，可得圆心，半径，因为直线交圆于两点，且圆被截得两段弧的长度比为，所以，可得，设为边的中点，可得，则，当且仅当与方向相同时，等号成立，因为，所以.所以的最大值为.故选：B.18．C【分析】设与的交点为，由，两边平方可表示出，同理可表示，四个式子相加化简可求得结果.【详解】设与的交点为，由，得，同理可得，，，所以，当点与点重合时，等号成立.故选：C19．C【分析】依题意可知是的中点，从而得到，，解法一：过点作，垂足为，即可得到，结合投影向量的定义即可得解；解法二：设，根据向量在向量上的投影向量等于计算可得.【详解】由，所以是的中点，又是的外心，则，再由，，则为正三角形，，角度一：如图，过点作，垂足为，则，，所以向量在向量上的投影向量等于.角度二：设，则，所以，所以向量在向量上的投影向量等于.故选：C.20．B【分析】根据数量积的定义及运算律求解.【详解】，所以.故选：B21．AB【分析】对于A,只需验证和的数量积是否为0即可;对于B,在方向上的投影向量表示为;对于C,先求平方，再利用数量积即可求夹角;对于D,对式子进行化简，进而判断.【详解】对于A，因为，是单位向量，所以，所以，故A正确；对于B，因为，是单位向量，所以在方向上的投影向量为，故B正确；对于C，因为，所以，又因为，所以，故C错误；对于D，因为，所以，所以，所以，故D错误；故选：AB．22．AD【分析】根据题目的新定义，结合向量的线性运算与向量数量积的坐标运算等对选项逐一判断即可.【详解】对于A，，，则，，A正确；对于B，，，则，，显然，则，B错误；对于C，，，由选项A同理得，即，，，C错误；对于D，设以O为圆心、半径为1的圆上任意一点为，由，得，于是，由，得，即，D正确.故选：AD23．AC【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．【详解】，因为点为的重心，所以，所以，所以三点共线，故A正确，B错误；，因为，所以，即，故C正确；因为，所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误；故选：AC．24．BD【分析】由向量方向间的关系，判断的最大值和最小值；由，通过的最值，计算的最值.【详解】当向量方向相同，与方向相反时，满足，此时有最小值，A选项错误；当向量方向相同时，满足，此时有最大值，B选项正确；，有，即，则，向量方向相同时，的最小值为0，的最小值为3，C选项错误；向量方向相反时，的最大值为2，的最大值为，D选项正确.故选：BD25．BC【分析】结合向量的线性运算法则及数量积的定义，逐项判定，即可求解.【详解】如图所示，向量与向量方向不同，所以，故A错误，将向量平移至向量的起点，可得，且，以向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线垂直且相等，所以，故B与C正确，由以上可知，，且向量与向量的夹角相等，所以，故D错误.

故选：BC26．【分析】设的中点为，根据三角形外心性质，得，由重心性质得，再根据数量积运算即可求解.【详解】设的中点为，连接，由点G为的外心，可得，由点O为重心，可得，故.

故答案为：.27．【分析】由平面向量数量积的运算及其性质进行计算即可.【详解】由，是夹角为的单位向量，则，由，则，解得，.故答案为：.28．【分析】利用向量的加法可以求出第一个空；通过转化确定及与，的夹角，代入数量积的计算公式即可求出第二个空.【详解】由题意得，,,由分别为线段、的中点，知，，因此，；延长、交一点,