数学人教A版必修四课件第二章平面向量2.3.4

平面向量共线的坐标表示第二章

§2.3

平面向量的基本定理及坐标表示学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1

知识点平面向量共线的坐标表示上面几组向量中，a，b有什么关系？答案答案(1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－3a，(4)中b＝－a.已知下列几组向量：(1)a＝(0，3)，b＝(0，6)；(2)a＝(2，3)，b＝(4，6)；(3)a＝(－1，4)，b＝(3，－12)；思考2

以上几组向量中，a，b共线吗？答案答案共线.思考3

当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？答案坐标不为0时成正比例.思考4

如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？答案答案能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向.(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当____________时，向量a，b(b≠0)共线.注意：对于(2)的形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.梳理x1y2－x2y1＝0题型探究

类型一向量共线的判定与证明例1

(1)下列各组向量中，共线的是A.a＝(－2，3)，b＝(4，6)B.a＝(2，3)，b＝(3，2)C.a＝(1，－2)，b＝(7，14)D.a＝(－3，2)，b＝(6，－4)答案解析解析A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故选D.解答(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3).判断

是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？方法一∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0，反思与感悟此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.证明证明设E(x1，y1)，F(x2，y2).例2已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？类型二利用向量共线求参数解答解方法一ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b).由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4).方法二由方法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，引申探究1.若例2条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？解答∴ka＋b与a－3b反向.2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？”，又如何求k的值？解答解a＋kb＝(1，2)＋k(－3，2)＝(1－3k，2＋2k)，3a－b＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4)，∵a＋kb与3a－b平行，∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0，反思与感悟根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解.跟踪训练2设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝____.解析λa＋b＝λ(1，2)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)，∵λa＋b与c共线，∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0，∴λ＝2.答案解析2类型三三点共线问题解答∴(4－k)(k－12)＝－7×(10－k)，解得k＝－2或11，∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线.反思与感悟(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点.(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.证明∴A，B，C三点共线.当堂训练1.已知a＝(－1，2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是A.1 B.－1C.4 D.－4解析∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.√答案23451解析2.与a＝(12，5)平行的单位向量为答案23451解析√解析设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，3.已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为____.答案解析6即(1，2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ).23451即m＝6时，A，B，C三点共线.4.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，－1)，(1，2)，(－1，1)，(3，－5).求证：四边形ABCD是梯形.证明23451证明∵A(3，－1)，B(1，2)，C(－1，1)，D(3，－5).∴AB∥CD，且AB≠CD，∴四边形ABCD是梯形.解答234512345123451规律与方法1.两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)当b≠0，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，