高考数学二轮复习 专题7 第4讲 随机变量及其分布列素能训练（文、理）

【成才之路】届高考数学二轮复习专题7第4讲随机变量及其分布列素能训练（文、理）一、解答题1．(·郑州市质检)为了迎接年3月30日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”，举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有6个大小相同的小球，分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志.摇匀后，参加者每次从盒中同时抽取两个小球(取出后不再放回)，若抽到两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖，并停止取球；否则继续抽取．第一次取球就抽中获一等奖，第二次取球抽中获二等奖，第三次取球抽中获三等奖，没有抽中不获奖．活动开始后，一位参赛者问：“盒中有几个印有‘郑开马拉松’的小球？”主持人说“我只知道第一次从盒中同时抽两球，不都是'美丽绿城行'标志的概率是eq\f(4,5).”(1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数；(2)若用η表示这位参加者抽取的次数，求η的分布列及期望．[解析](1)设印有“美丽绿城行”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为事件A,则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是P(eq\x\to(A))＝eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,6))，由对立事件的概率知P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝eq\f(4,5).即P(eq\x\to(A))＝eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，解得n＝3.(2)由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1、2、3，则η＝2的含义是第一次取到两球都印有“美丽绿城行”，第二次取球中奖；或第一次取到两类球各一个，第二次取球中奖，∴P(η＝1)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，P(η＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))·eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＋eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))·eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,5)，P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝eq\f(3,5)，则η的分布列为：η123Ρeq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(3,5)所以Eη＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5).2．(·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．[解析](1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,7)＋C\o\al(0,3)·C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为eq\f(49,60).(2)随机变量X的所有可能值为0、1、2、3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,6),C\o\al(3,10))(k＝0、1、2、3)所以，随机变量X的分布列是X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).3．(·石家庄质检)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款(单位：元)[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200，＋∞)顾客人数m2030n10统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%.据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m、n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望．[解析](1)由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n＋40＝100×60%，n＝20；m＝100－(20＋30＋20＋10)＝20.该商场每日应准备纪念品的数量大约为5000×eq\f(60,100)＝3000件．(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率p＝eq\f(60,100)＝eq\f(3,5).故4人购物获得纪念品的人数ξ服从二项分布B(4，eq\f(3,5))．P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,4)(eq\f(3,5))0(eq\f(2,5))4＝eq\f(16,625)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,4)(eq\f(3,5))1(eq\f(2,5))3＝eq\f(96,625)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)(eq\f(3,5))2(eq\f(2,5))2＝eq\f(216,625)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(3,5))3(eq\f(2,5))1＝eq\f(216,625)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,4)(eq\f(3,5))4(eq\f(2,5))0＝eq\f(81,625)，ξ的分布列为ξ01234Peq\f(16,625)eq\f(96,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(81,625)ξ数学期望为Eξ＝0×eq\f(16,625)＋1×eq\f(96,625)＋2×eq\f(216,625)＋3×eq\f(216,625)＋4×eq\f(81,625)＝eq\f(12,5).或由Eξ＝4×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5).4．(·湖南理，17)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,5)，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．[分析](1)由条件可知甲、乙研发新产品成功的概率，求至少有一种新产品研发成功的概率可用对立事件求解．(2)先依据A、B产品研发成功的可能性确定利润ξ的取值，再依据独立事件概率求分布列和期望．[解析](1)设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为两种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为eq\f(2,3)、eq\f(3,5).则P(B)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，再根据对立事件概率之间的公式可得P(A)＝1－P(B)＝eq\f(13,15)，所以至少一种产品研发成功的概率为eq\f(13,15).(2)由题可设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0,120＋0,100＋0,120＋100，即ξ＝0,120,100,220，由独立试验的概率计算公式可得：P(ξ＝0)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(2,15)；P(ξ＝120)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(3,5))＝eq\f(4,15)；P(ξ＝100)＝(1－eq\f(2,3))×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)；P(ξ＝220)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)；所以ξ的分布列如下：ξ0120100220P(ξ)eq\f(2,15)eq\f(4,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)则数学期望Eξ＝0×eq\f(2,15)＋120×eq\f(4,15)＋100×eq\f(1,5)＋220×eq\f(2,5)＝32＋20＋88＝130.5.当前人们普遍认为拓展训练是一种挑战极限、完善人格的训练，某大学生拓展训练中心着眼于大学生的实际情况，精心地设计了三个相互独立的挑战极限项目，并设置如下计分办法：项目甲乙丙挑战成功得分103060挑战失败得分000据调查，大学生挑战甲项目的成功概率为eq\f(4,5)，挑战乙项目的成功概率为eq\f(3,4)，挑战丙项目的成功概率为eq\f(1,2).(1)求某同学三个项目至少一项挑战成功的概率，(2)记该同学挑战三个项目后所得分数为X，求X的分布列并预测该同学所得分数的数学期望．[解析](1)甲、乙、丙这三个项目至少一项挑战成功的概率P＝1－(1－eq\f(4,5))(1－eq\f(3,4))(1－eq\f(1,2))＝1－eq\f(1,40)＝eq\f(39,40)；(2)由题意，X的可能取值为0、10、30、40、60、70、90、100.P(X＝0)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,40)，P(X＝10)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,10)，P(X＝30)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,40)，P(X＝40)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，P(X＝60)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,40)，P(X＝70)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,10)，P(X＝90)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,40)，P(X＝100)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，所以X的分布列为X0103040607090100Peq\f(1,40)eq\f(1,10)eq\f(3,40)eq\f(3,10)eq\f(1,40)eq\f(1,10)eq\f(3,40)eq\f(3,10)E(X)＝0×eq\f(1,40)＋10×eq\f(1,10)＋30×eq\f(3,40)＋40×eq\f(3,10)＋60×eq\f(1,40)＋70×eq\f(1,10)＋90×eq\f(3,40)＋100×eq\f(3,10)＝60.5(分)．所以该同学所得分的数学期望为60.5分．6．(·唐山模拟)某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：(1)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；(2)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分的次数X的分布列和均值．[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大(乙的方差较小)．(2)根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1＝eq\f(3,8)，p2＝eq\f(1,2)，则两人得分均超过15分的概率为p1p2＝eq\f(3,16)，依题意，X～B(2，eq\f(3,16))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,2)(eq\f(3,16))k(1－eq\f(3,16))2－k，k＝0,1,2，X的分布列为X012Peq\f(169,256)eq\f(78,256)eq\f(9,256)X的均值E(X)＝2×eq\f(3,16)＝eq\f(3,8).7．(·合肥质检)某电视台组织一档公益娱乐节目，规则如下：箱中装有2个红球3个白球，参与者从中随机摸出一球，若为白球，将其放回箱中，并再次随机摸球；若为红球，则红球不放回并往箱中添加一白球，再次随机摸球．如果连续两次摸得白球，则摸球停止．设摸球结束时参与者摸出的红球数是随机变量ξ，受益人获得的公益金yξ与摸出的红球数ξ的关系是yξ＝0＋5000ξ(单位：元)．(1)求在第一次摸得红球的条件下，赢得公益金为30000元的概率；(2)求随机变量yξ的分布列与期望．[分析](1)在第一次摸得红球的条件下，再摸球时口袋中有1红4白共5个球，当yξ＝30000时，ξ＝2，因此需再摸得一红球，有两种可能，①第二次摸得红球；②第二次摸得白球，第三次摸得红球．(2)关键是ξ＝1的含义要弄清：ξ＝1包括第一次摸得红球，第二、三次均摸得白球，或第一次摸得白球，第二次摸得红球，第三、四次都摸得白球．[解析](1)在摸得第一个红球的条件下，箱内有1个红球4个白球，摸球结束时赢得公益金为30000元的情形是：先摸得红球或先摸得白球再摸得红球，其概率为P＝eq\f(1,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(9,25).(2)随机变量ξ的可能取值为0、1、2，，对应的随机变量yξ的取值分别为0、25000、30000.∵P(ξ＝0)＝(eq\f(3,5))2＝eq\f(9,25)，P(ξ＝1)＝(eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2,5))(eq\f(4,5))2＝eq\f(256,625)，P(ξ＝2)＝1－eq\f(9,25)－eq\f(256,625)＝eq\f(144,625).∴随机变量yξ分布列为yξ02500030000Peq\f(9,25)eq\f(256,625)eq\f(144,625)随机变量ξ的期望Eyξ＝0×eq\f(9,25)＋25000×eq\f(256,625)＋30000×eq\f(144,625)＝24352.8．(·衡水中学二调)今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469634(1)完成被调查人员的频率分布直方图；(2)若从年龄在[15,25)、[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．[解析](1)各组的频率分别是0.1、0.2、0.3、0.2、0.1、0.1.所以图中各组的纵坐标分别是0.01、0.02、0.03、0.02、0.01、0.01.(2)ξ的所有可能取值为：0、1、2、3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o