天津市红桥区2025届高三数学下学期第一次模拟考试试题含解析

PAGE16-天津市红桥区2025届高三数学下学期第一次模拟考试试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共9题，每小题5分，共45分.1.设集合（为实数集），，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据集合交集与补集运算,即可求得.【详解】集合,,所以所以故选:A【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.2.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.【详解】因为函数和在递增，而在递减.故选：C【点睛】本题主要考查常见简洁函数的单调区间，属基础题.3.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据与中间值0，1的大小关系，即可得到本题答案.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题主要考查利用函数单调性以及与中间值的大小关系，来比较大小，属基础题.4.设，则““是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必条件【答案】B【解析】【分析】解出两个不等式的解集，依据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.【详解】由，得，又由，得，因为集合，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的推断，其中涉及到肯定值不等式和一元二次不等式的解法.5.某地区教化主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成果，并依据这2000名学生的成果画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成果在，内的学生人数为（）A.800 B.1000 C.1200 D.1600【答案】B【解析】【分析】由图可列方程算得a，然后求出成果在内的频率，最终依据频数=总数×频率可以求得成果在内的学生人数.【详解】由频率和为1，得，解得，所以成果在内的频率，所以成果在内的学生人数.故选：B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.6.已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案.【详解】由题，得，因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，所以函数的最小正周期，则，所以，当时，，所以是函数的一条对称轴，故选：D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.7.设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A. B.C.2 D.【答案】A【解析】【分析】精确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时留意半径还是直径，优先考虑几何法，避开代数法从头至尾，运算繁琐，精确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．8.已知数列满意，且，则数列的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D．考点：数列的通项公式．9.已知，函数，若函数恰有三个零点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数探讨函数的单调性，依据单调性画函数草图，依据草图可得．【详解】当时，，得；最多一个零点；当时，，，当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；依据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如图：且，解得，，．故选．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类探讨，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.已知复数，其中为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是__．【答案】2【解析】【分析】由题，得，然后依据纯虚数的定义，即可得到本题答案.【详解】由题，得，又复数为纯虚数，所以，解得.故答案为：2【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.11.在的绽开式中，的系数等于__．【答案】7【解析】【分析】由题，得，令，即可得到本题答案.【详解】由题，得，令，得x的系数.故答案为：7【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.12.一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中随意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__．【答案】【解析】【分析】由题，得满意题目要求的状况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到本题答案.【详解】满意题目要求的状况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有种状况；②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有种状况，又从中随意摸取3个小球，有种状况，所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的实力.13.曲线在点处的切线方程为__．【答案】【解析】【分析】对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后依据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.【详解】因为，所以，从而切线的斜率，所以切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.14.已知，，，则的最小值是__．【答案】．【解析】【分析】因为，绽开后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】由，得，所以，当且仅当，取等号.故答案为：【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化实力和运算求解实力.15.已知向量，满意，，且已知向量，的夹角为，，则的最小值是__．【答案】【解析】【分析】求的最小值可以转化为求以AB为直径的圆到点O的最小距离，由此即可得到本题答案.【详解】如图所示，设，由题，得，又，所以，则点C在以AB为直径的圆上，取AB的中点为M，则，设以AB为直径圆与线段OM的交点为E，则的最小值是，因为，又，所以的最小值是.故答案为：【点睛】本题主要考查向量综合应用问题，涉及到圆的相关学问与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的实力，体现了数形结合的数学思想.三、解答题：本大题共5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在中，内角，，所对的边分别是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依据正弦定理先求得边c，然后由余弦定理可求得边b；（Ⅱ）结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案.【详解】（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，，又，所以，所以依据余弦定理得，，解得，；（Ⅱ）因为，所以，，，则．【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题.17.已知数列是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，为数列的前项和，记，证明：．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由，且成等差数列，可求得q，从而可得本题答案；（Ⅱ）化简求得，然后求得，再用裂项相消法求，即可得到本题答案.【详解】（Ⅰ）因为数列是各项均为正数的等比数列，，可设公比为q，，又成等差数列，所以，即，解得或（舍去），则，；（Ⅱ）证明：，，，则，因为，所以即.【点睛】本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解实力和推理证明实力.18.已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上且不在轴上的一个动点，为坐标原点，过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】【分析】（Ⅰ）由题，得，，解方程组，即可得到本题答案；（Ⅱ）设直线，则直线，联立，得，联立，得，由此即可得到本题答案.【详解】（Ⅰ）由题可得，即，，将点代入方程得，即，解得，所以椭圆的方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设直线，则直线，联立，整理得，所以，联立，整理得，设，则，所以，所以．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解实力.19.已知数列前项和为，且满意．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（1）由，分和两种状况，即可求得数列的通项公式；（2）由题，得，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案.【详解】（Ⅰ）解：由题，得当时，，得；当时，，整理，得．数列是以1为首项，2为公比的等比数列，，；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，故．故得证．【点睛】本题主要考查依据的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解实力和推理证明实力.20.已知函数，为实数，且．（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数在区间，上的值域（其中为自然对数的底数）．【答案】（Ⅰ）极大值0，没有微小值；函数的递增区间，递减区间，（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由，令，得增区间为，令，得减区间为，所以有极大值，无微小值；（Ⅱ）由，分，和三种状况，考虑函数在区间上的值域，即可得到本题答案.【详解】当时，，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极大值，没有微小值；函数的增区间为