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非线性有限元1.2对于梁的动力方程，确定方程类型。 解：设，。 所以：（1-1）（1-2）（1-3）（1-4） 结合公式（1-1）~（1-4）得到：（1-5） 因为det（A）=0，所以得到：（1-6） 所以，所以梁的动力方程为抛物线型。2.3考虑一个逐渐变细的两节点单元，采用如例2.4中更新的Lagrangian格式的线性位移场。它的当前横截面面积为，其中A1和A2分别为节点1和2处的当前横截面积。对于更新的Lagrangian格式，以Cauchy应力的形式建立内部节点力，假设，其中和分别是节点1和2处的Cauchy应力。对于常体力问题建立外部节点力。 解： 速度场为：（2-1） 其中： 用单元坐标的形式，则速度场为：（2-2） 由于位移是速度的时间积分，而与时间无关，则（2-3） 由于x=X+u，所以（2-4） 其中，是单元的当前长度。我们可以用Eulerian坐标的形式表示：（2-5） 由链规则得到B矩阵：（2-6） 所以变形率为（2-7） 所以得到内部节点力为：（2-8） 将公式（2-8）进行积分得到内部节点力： 外部节点力为：（2-9） 公式（2-9）中，右边第二项只有单元节点处在力边界上时，才做出贡献。求解外部节点的积分方法与求解内部节点的积分方法相同，最后得到的外部节点力为：3.1考虑在图3.4中所示的单元。设运动为在t=1时拉伸单元。计算此刻的变形梯度和Green应变张量，解释在Green应变中非零项的物理意义。计算t=1时单元的速度和加速度计算t=1时单元的变形率和角加速度在t=0.5时重复以上步骤计算作为时间函数的J行列式，并确定多长时间行列式保持正值。当J行列式改变符号时拉伸单元，此时你能看到什么运动。解： 由已知得运动的表达式为：（3-1） 所以变形梯度为：（3-2） 因此t=1时刻和t=0.5时刻的变形梯度为： 其Green应变张量为：（3-3） 因此t=1时刻和t=0.5时刻的Green应变张量为： 此处矩阵第一行第一列项表示沿x方向的应变量，第一行第二列项和第二行第一列项表示xy方向的切应变量，第二行第二列项表示y方向的应变量。 单元的速度为：（3-4） 所以单元的加速度为：（3-5） 由公式（3-4）和公式（3-5）可以看出，不管何时刻，单元的速度和加速度都不变。 结合公式（3-1）和公式（3-4）得到t=1时刻和t=0.5时刻的速度表达式： 所以速度梯度为： 得到变形率和角速度为： 根据公式（3-2）Jacobian行列式为： 令J=0，得出t=1.414。因此在1.414

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