专题训练之勾股定理典型例题及易错题（一）2024－2025学年北师大版数学八年级上册

勾股定理专题训练（一）☆本课目标勾股定理的探索、勾股定理在几何计算中的应用☆☆知识点梳理一、勾股定理的几何语言：在RT△ABC中2、常见的勾股数：二、勾股定理的逆定理几何语言在△ABC中或△ABC是直角三角形勾股定理在几何计算的应用：翻折旋转☆☆☆典型例题板块一、勾股定理的探索例1、如图1，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成图3；“生长”10次后，变成图4．如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．（1）随着不断的“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n次后，变成的图中所有正方形的面积用Sn表示，则Sn=；（2）S0=，S1=，S2=，S3=；（3）S0+S1+S2+…+S10=．变式练习：1、在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则（）A.2B.3C.4D.52、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为板块二：勾股定理在几何计算中的应用例2、如图，已知中，，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线、、上，且，之间的距离为2，,之间的距离为3，则AC的长是（）B.C.D.7变式练习：1、如图，已知△ABC中，=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则△ABC的面积是例3、在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若AD=，BC=，则△ABC的周长为。变式练习：1、有一个直角三角形的两直角边长为p，q，斜边长为r，且p+q=6,r=5，则此三角形的面积为2、如图，在直角三角形ABC中，斜边AB长为5，周长为，则斜边上的高CD是；224题图3、如图，中，，为边上的中线，若，周长为，则的面积为板块三：利用勾股定理求最短距离例4、（1）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要____________cm.（2）如图，圆柱形容器中，高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm．（容器厚度忽略不计）变式练习：1、如图，已知圆柱底面的周长为24cm，高为5cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少长cm．2、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为

cm.3、如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的最小值是cm例5、在△ABC中，AB，BC,AC三边的长分别为，求这个三角形的面积，小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）如图①所示．这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．（3）利用第（2）小题解题方法完成下题：如图②，一个六边形绿化区ABCDEF被分割成7个部分，正方形ABQP，CDRQ，EFPR的面积分别为10，13，17；=1\*GB3①证明△PQR的面积与△APF的面积相等=2\*GB3②求六边形绿化区ABCDEF的面积（直接写出答案，不用写过程）．变式练习：阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中△ABC的面积为；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；②计算△DEF的面积为．（3）如图3，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG．若AB=，BC=，AC=，则六边形BCFGED的面积为．板块四：动点问题例6、如图,在中，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边向点运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒．点运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当时，=______，=______；（2）求当为何值时，；（3）求当为何值时，是等腰三角形，并说明理由．勾股定理易错题（一）1．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．121题5题6题7题2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，根据以下条件：①b2＝（a+c）（a﹣c）；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③∠A＝∠C；④a：b：c＝7：24：25．其中能判定△ABC为直角三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个:3．已知三角形的三边分别为5，12，13，则最长边上的高等于．4．若一个三角形的三边长为5、12、x，则使此三角形是直角三角形的x的平方的值是．5．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面8米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为15米，则这棵大树在折断前的高度为米．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是．7．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH为a，BH为b，则ab＝．9．如图所示为一块铁皮，测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠ABC＝90°，求这块铁皮的面积．10.（1）点D在△ABC的边BC上，AB＝15，BD＝9，AD＝12，AC＝20，求△ABC的面积为；（2）在△EFG中，EF＝13，EG＝20，FG＝11，求△EFG的面积．11．综合与实践【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．【探究实践】（1）老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是（要求画出展开图）图1图2图3图4【变式探究】（2）如图2，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm，高是8cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为．（要求画出展开图）（3）如图3，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为3cm，4c