2022年高考文（理）科数学热点立体几何解答题命题趋势预测

2022年高三冲刺阶段解答题训练题集3

立体几何部分解答题及参考答案

说明：1-16理科17-33文理共用

1、如图，在四棱锥户一力员笫中，如_L平面48。伉AD-LCD,平分N

P

ADC,E为外的中点，AD=CD=1,m=2啦.(文理共F

⑴证明以〃平面BDE，\上二^

⑵证明AC1,平面PBD；

解：⑴证明：设ACCBD=H,»C

连结£7/在中，因为47=C。，且仍平分N47a所以，为47

的中点.

又由题设，E为PC的中点，故EH//PA.又日/U平面BDE且以。平面

BDE,

所以〃〃平面BDE.

(2)证明：因为阳_L平面/J8C0,47u平面加故所以户，_L4c

由⑴可得，DB-LAC.XPDHDB=D,故/4CJ•平面做Z

2、如图，在三棱锥"一彳宛中，2U底面48aPA=AB,NABC=60°,

NBCA=90。，点以万分别在棱阳、PC上,&DE〃BC.R

(1)求证：8CLL平面21C;Vs

⑵当。为多的中点时，求彳。与平面以c所成的角的正弦值；力

⑶是否存在点E使得二面角彳一〃〜户为直二面角？并说明理A父

解：(1).72U底面ABC,:.PALBC又/BCA=9G,JACIBC,/.

BC±平面PAC.

1

⑵;。为用的中点，DE//BC,：.DE=­BC.

又由⑴知，员工平面〃C,.••正，平面〃C,垂足为点£・•・/%£

是4?与平面21c所成的角.

・・・以，底面/阿,・・・RU力8又以=/旦・•・△力勿为等腰直角三角形,

.在RtA48C中,ZABC=60°，,=8C=；AB,・.在RtA/lOE

：.AD=•

、2

即丝与平面21c所成角的正弦值为保.

(3)'：DE//BC.又由(1)知，员工平面21a

.二如_L平面PAC.又・・YEU平面PAC,加U平面PACJDE'AE、DELPE,

・・・/〃^为二面角彳一。E一户的平面角.

■・.以_L底面/8C,.'.PA±AC,

.\ZPAC=90°，，在棱方上存在一点£使得力£，外.这时，/AEP

=90°,

故存在点印吏得二面角彳一如一"是直二面角.

D,r

3.在棱长为。的正方体ABCO-A罔CQ中，/...........—

£是线段AG的中点，ACQBD=F.

(I)求证：CEJ_8O;%

(ID求证：CE〃平面ABQ；^^、、、、L\

(III)求三棱锥ABC的体积.'、、、"、、、、、\

4

第3题图

解：（I）证明：根据正方体的性质

BD.LAC,.....................................2分

因为例_L平面ABC。，5Ou平面ABCO,所以5O_L例，XACQAA,=A

所以平面ACGA,CEu平面ACGA，所以

CE1BD;..............................5分

(II)证明：连接A/,因为AV/B8J/CG，⑨=64=CG，%G

所以ACGA为平行四边形，因此AG//AC,AG=ACA

由于上是线段AG的中点，所以CE〃尸A，

c

因为FA]U面4出。，CEz平面AB。，

4

所以CE〃平面............aio分

(DI)=匕-BCD=',SABCDA"=不

12分

4.已知四棱锥P-ABC。的三视图如下图所示，其中主视图、侧视图

是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形,E是侧棱PC上的动

点.

(I)求证：BDA.AE

(口)若E为PC的中点，求直线跳与平面P瓦）所成角

(m)若五点AB,C,D,P在同一球面上，求该球的再秩

主视图

1

俯视图

A

⑴证明：由已知

PC±BC,PCA-DC=>PCL面ABC。...2分

•・•BDu面ABC。nBD上PC：

又因为BDLAC,

.•.8。_1_面力。,又・.・4£<=面弘。,「.8。_14E.........4分

⑵解法一：连AC交BD于点0,连P0,由⑴知

BD±面尸4C,=面BEO±面PAC,

过点E作EH1尸。则EHJL面PBD,/.NEBH为跳:与平面P5D所成的角.

8分

-：EH=-,BE=42,贝lj

3

sinZEBH=^==—.・・・10分

x/26

法二：空间直角坐标法，略.

(3)解：以正方形ABC。为底面，PC为高补成长方体，此时对角线外

的长为球的直径，

...2R=PA=J1+1+4=瓜,《=3"&3=指

5、如图，已知48_1_平面ACO,DE//AB,

AD=AC=DE=2AB=2,旦尸是CO的中

点.AF=6(文理)

(I)求证：〃平面BCE;

(II)求证：平面兆瓦1_平面CDE;

(HI)求此多面体的体积.

解：(I)取以中点P，连结FP、BP,

・“为面的中点,

:・FP〃DE,且F片LDE.

2

又AB"DE,且/比

2

C.AB//FP,且A六FP,

・•・力皮齐为平行四边形，：.AF//BP......................3分

又・・,力叫平面比EBPu平面BCE,

.•・/%平面延.......5分

(II)•:AF=6.CD=2,所以△力修为正三角形，：.AFVCD

平面/⑦，DE//AB

・・・庞，平面ACD又力正平面ACD

J.DEA.AF

又AF1CD,CDQDE=D

・・・加丁平面CDE8分

又BP//AF.••凯1平面CDE

又・.,朋=平面BCE

J平面尻EL平面CDE10分

(IH)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥,

SABED=支手2=3，^ABDE±面AOC.•.等边三角形AD边上的高就是四

棱锥的高

YJABDE=\^3X6=6

5、如图，四面体48C。中，0、E分别B。、

BC的中点,CA=CB=CD=8O=2

(I)求证：401•平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

（III）求点E到平面的距离.

本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所

成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象

能力、逻辑思维能力和运算能力。

方法一：（I）证明：连结0C

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

在错误!未找到引用源。中，由已知可得错误!未找到引用源。

而错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误！未找到引

用源。即错误味找到引用源。

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。平面错误!未找到引

用源。

（II）解：取AC的中点M,连结OM、ME、0E,由E为BC的中

点知错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。直线0E与EM所成的锐角就是异面直线AB

与CD所成的角

在错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。错误!未找到

引用源。是直角错误!未找到引用源。斜边AC上的曲线，错误!未找

到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到南心雪直线

AB与CD所成角的余弦值为乎错误味找到引用*。］>X,

（III）解：设点E到平面ACD的距离为错误!柒找到引用源。

错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。中，错误!未找到

引用源。

错误!未找到引用源。而错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。点E到平面ACD的

距离为错误!未找到引用源。

方法二：(I)同方法一。

(II)解：以。为原点，如图建立空间直角坐标系，则错误!未找

到引用源。

错误!未找到引用源。2A

错误!未找到引用源。/\

错误!未找到引用源。异面直线AB与CD所成角的柒值为当

(III)解：设平面ACD的法向量为错误!未找到省祸源。则E

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。令错误!

未找到引用源。得错误味找到引用源。是平面ACD的一个法向量。

又错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。点E到平面ACD的

距离错误!未找到引用源。

6、如图，在棱长为1的正方体错误!未找到引用源。中，错误!未找

到引用源。是侧棱错误味找到引用源。上的一点，错误!未找到引用

源。O

(I)、试确定错误!未找到引用源。，使直线错误!未找到引用源。与

平面错误!未找到引用源。所成角的正切值为错误味找到引用源。；

(II)、在线段错误!未找到引用源。上是否存在一个定点错误!未找

到引用源。，使得对任意的错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

在平面错误!未找到引用源。上的射影垂直于错误!未找到引用源。，

并证明你的结论。

解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(L0,0),B(LL0),POl,m),C(O,1,O)Z

D(0,0,0),BI(1,1,1),DI(0A1).

所以错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

又由错误!未找到引用源。的一个法向量.

设错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成

的角为错误!未找到引用源。，

则错误!未找到引用源。

依题意有：错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。.

故当错误!未找到引用源。时，直线错误!未找到引用源。。

(2)若在错误!未找到引用源。上存在这样的点错误!未找到引用

源。，设此点的横坐标为错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用

源。。

依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等

价于

错误!未找到引用源。

即错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的中点时，满足题设

的要求.

7、如图，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角

形，AD是公共的斜边，且AD=错误!未找到引用源。，BD=CD=1,

另一个侧面是正三角形

（1）求证：AD1BC

（2）求二面角B—AC—D的大小

（3）在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30。角？若存

在确定E的位置；若不存在，说明理由。

解法二：（1）作错误!未找到引用源。面错误!未找到引用源。于错误!

未找到引用源。，连错误味找到引用源八错误！/---------

未找到引用源。、错误!未找到引用源。，则四边形’尽17f

错误!未找到引用源。是正方形，且错误!未找到引卜心（方|,

用源。，以错误味找到引用源。为原点，以错误味r—

找到引用源。为错误!未找到引用源。轴,错误!未

找到引用源。为错误!未找到引用源。轴建立空间直角坐标系如图，

则错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

⑵设平面错误!未找到引用源。的法向量为错误!未找到引用源。则由

错误!未找到引用源。知:错误!未找到引用源。；同理由错误!未找到引

用源。知:错误!未找到引用源。可取错误!未找到引用源。

同理，可求得平面错误!未找到引用源。的一个法向量为错误!未找到引

用源。

由图可以看出，三面角错误!未找到引用源。的大小应等于〈错误!未找

到引用源。〉

则错误!未找到引用源。＜错误!未找到引用源。＞错误!未找到引用源。，

即所求二面角的大小是错误!未找到引用源。.

⑶设错误!未找到引用源。是线段错误!未找到引用源。上一点，则错误!

未找到引用源。平面错误!未找到引用源。的一个法向量为错误!未找

到引用源。要使错误!未找到引用源。与面错误!未找到引用源。成错

误!未找到引用源。角，由图可知错误!未找到引用源。与错误!未找到

引用源。的夹角为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。

则错误!未找到引用源。，解得,错误!未找到引用源。，则错误!未找到引

用源。

故线段错误!未找到引用源。上存在错误!未找到引用源。点，且错误!

未找到引用源。，时错误味找到引用源。与面错误味找到引用源。成

错误!未找到引用源。角.

8、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为

等腰梯形，AB〃DC,AC_LBD,AC与BD相交于点0,/

P在底面上的射影恰为。点，又B0=2,P0=错误！二二

A*«

±PD.

(I)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；

(II)求二面角P—AB—C的大小；

(III)设点M在棱PC上.，且错误!未找到引用源。为何值时，PC,平面

BMD.

解：错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。错误!未找到引

用源。

又错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，由平面几何知识得:

错误!未找到引用源。

以错误!未找到引用源。为原点，错误!

未找到引用源。分别为错误!未找到引用

源。轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则各点坐标为错误!未找到引用源。，错

误!未找到引用源。，错误!未找到引用

源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用

源。（I）错误!未找到引用源。，错误味找到引用源。，

错误!未找到引用源。。

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。。故直线错误!未找到引用

源。与错误!未找到引用源。所成的角的余弦值为错误!未找到引用源。

（II）设平面错误!未找到引用源。的一个法向量为错误!未找到引用

源。，由于错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，

由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。取错误!未找到

引用源。，又已知平面ABCD的一个法向量错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。又二面角错误!未找到引用源。为锐角，错误!

未找到引用源。所求二面角错误!未找到引用源。的大小为错误!未找

到引用源。

（III）设错误!未找到引用源。，由于错误!未找到引用源。三点共线,

错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

由（1）（2）知：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。。错误!

未找到引用源。错误!未找到引用源。，故错误!未找到引用源。时，

错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。。

9、如图，在错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。，斜边错

误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。可以通错

过错误!未找到引用源。以直线错误!未找到引用

源。为轴旋转得到，且二面角错误!未找到引用源。

是直二面角.动点错误!未找到引用源。的斜边错

误!未找到引用源。上.

（I）求证：平面错误!未找到引用源。平面错

误!未找到引用源。；

（II）当错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的中点时,

求异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成角的大

小;

（III）求错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成

角的最大角的正切值.

解法一：

（I）由题意，错误味找到引用源。，错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。是二面角错误!未找到引用源。是直二面角,

又错误!未找到引用源。二面角错误!未找到引用源。是直二面角,

错误!未找到引用源。，又错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，

又错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到

引用源。.

（II）作错误!未找到引用源。，垂足为错误!未找到引用源。，连

结错误!未找到引用源。（如图），则错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。是异面直线错误!未找到引用源。与错误!

未找到引用源。所成的角.在错误!未找到引用源。中，错误!未找到

引用源。，错误!未找到引用源。，

错误!未找到引用源。.又错误!未找到引用源。.错误!未找到引用

源。在错误!未找到引用源。中，错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找

到引用源。所成最大角的正切值为半

（III）由（I）知，错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。,

错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用

源。所成的角，且错误味找到引用源。.

当错误!未找到引用源。最小时，错误!未找到引用源。最大，

这时，错误!未找到引用源。，垂足为错误!未找到引用源。，错误!

未找到引用源。，错误!未找到引用源。,

错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成角的最大

值为错误!未找到引用源。.

解法二：

(I)同解法一.

(II)建立空间直角坐标系错误!未找到

引用源。，如图，则错误!未找到引用源。，错

误!未找到引用源。，错误味找到引用源。，错

误味找到引用源。，

错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。,

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找

到引用源。所成角的大小为错误!未找到引用源。.(III)同解法一

10、如图，已知四棱锥PdBCD,底面ABCD

为菱形,%_!_平面八BC。，错误!未找到引

用源。，邑F分别是8Gpe的中点.

(I)证明：AE±PD;

(11)若H为PD上的动点,EH与平面PAD

所成最大角的正切值为错误!未找到引用源。，求二面角E—AF—C的

余弦值.

(I)证明：由四边形ABCD为菱形，ZABC=60°,可得△ABC为正

三角形.因为E为8C的中点，所以八ELBC.又BC//AD,因

此4E_LZD.因为以_L平面ABCD,AE错误!未找到引用源。平面ABCD,

所以PA±AE.

而PA错误!未找到引用源。平面PAD,AD错误!未找到引用源。

平面外。且%GAD",所以AEJ_平面外D,又PD错误!未找到引

用源。平面外D.所以AE1PD.

二：由（I）知4E,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，建立

如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以

E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0,0,0）,B（错误!未找到引用源。，・1,

0）,C（C,1,0）,

D（0,2,0）,P（0,0,2）,E（错误!未找到引用源。，0,0）,

F（错误!未找到引用源。）,

所以错误!未找到引用源。

设平面AEF的一法向量为错误!未找到引用源。则错误!未找到引

用源。因此错误味找到引用源。

取错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。因为BDLAC,BD

±PA,PAQAC=A,所以BDJ_平面4FC,

故错误!未找到引用源。为平面AFC的一法向量,又错

误!未找到引用源。=（■错误!未找到引用源。）,所以cos<m,错误!

未找到引用源。>二错误!未找到引用源。V因为

二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的\\余弦

值为错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

11V如图，在三棱锥P-ABC中,PAL底面

ABC,PA=AB.ZABC=60°,N8cA=90°,

点O,E分别在棱上，且DE〃BC

(I)求证：3C_L平面PAC;

(II)当。为P3的中点时，求AO与平面PAC所成的角的大小；

(III)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由.

【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二

面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.

(III)VAE//BC,又由(I)知，BC_L平面PAC,・,.DE_L平面

PAC,又TAEu平面PAC,PEu平面PAC,ADE1AE,DE1PE,/.Z

AEP为二面角A-OE-尸的平面角，・.・PAJ_底面ABC,APA1AC,/.

ZPAC=90°.

・・・在棱PC上存在一点E,使得AE_LPC,这时NAEP=90;故存在点E

使得二面角A-DE-尸是直二面角.

【解法2］如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系人-孙z,PA=a,

由已知可得

A(0,0,0),B-«,oV(O,O,67).

\7\7

(I)VAP=(0,0,«),BC=f1^0,0>,

ABCAP=0,・・・BC_LAP.又「N8C4=90",/.BC±AC,・・.8(：_1_平

面PAC.

（II）・・・D为PB的中点，DE//BC,，E为PC的中点,

・・.心,&”,』。,&",J又由（I）知，BC_L平面PAC,

I442JI42J

・・・・・・DEL平面PAC,垂足为点E.

JZDAE是AD与平面PAC所成的角，：

/.cosZDAE=ADAE=半.・・.4）与平面PAC所成的角的大小

4

V14

aruuos-----.

4

（III）同解法L

12、如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2,

BD=V2,AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1,CF=2.（I）求二面角B

—AF—D的大小;

（ID求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、

相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想

象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能

力。本小题满分13分。

解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心0,过0作0GLAF,

G为垂足。连接BG、DGo由BD1AC,BD_LCF得BD,平面ACF,故

BDlAFo

于是AF_L平面BGD,所以BG_LAF,DG1AF,NBGD为二面角B—AF

-D的平面角。

由FC±AC,FC=AC=2,^FAC=-0G=—

4f2

^OBLOG,OB=OD^—,得NBGD=2NBG0=%

22

（向量法）以A为坐标原点，而、AC.而方向分别为x轴、y轴、

z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）

设平面ABF的法向量I=（x,y,z）,则由•竺二°得【一等"）"。令

…1+2z=0

z=i,得/瘦,〃]=（-7^,-1,1）

[y=T

同理，可求得平面ADF的法向量鼠=（应,-1,1）。由展区=0知,

平面ABF与平面ADF垂直，

二面角B-AF-D的大小等于g。

2

（II）连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD

与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCDo

过H作HP_L平面ABCD,P为垂足。

因为EA_L平面ABCD,FC_L平面ABCD,,所以平面ACFE_L平面ABCD,

从而尸

由勘景箱卷5得八I。

又因为无形『《AC•如血,

故四棱锥H-ABCD的体积菱形"•"尸二平

13、如图6,ABCD-AACR是棱长为6的正方体,E、尸分别是棱48、

3C上的动点，且

⑴求证：A/_LGE;

⑵当凡、E、F、G共面时，求：

①R到直线GE的距离；

②面A.DE与面C.DF所成二面角的余弦

值.

解：⑴以。为原点，DA.DC、。口所在直线分别为人轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系.1分，则A（6,0,6）、G（0,6,6）,设AE=m,

贝ljE（6,6，0）,F（6-m.6,0）........2分,从而乖=（一加，6,—6）、

杀=（6,机-6,-6）.........3分，直接计算知乖.彳=0,所以

\FLC.E........5分.

⑵①当A、E、F、G共面时，因为底面A8CD//A心CQ，所以

ACJ/EF6分，所以EF7/AC,从而E、尸分另IJ是AB、8C的中点

7分，设A到直线6上的距离为〃，在ACQE中，C,E=>/62+62+32=9,

C1Exh=C1DixBCLf解得力=4后……9分.

22

②由①得，E(6,3,0)、F(3,6,0),设平面AQ七的一个法向量为

~*/+口h-〃i・DE—6a+3b—0,八/1匚广।、(

4=3,仇c),依遨思_....10分，所以

/?)・DA]=6a+6c=0

1=(-1,2,1).........11分，同理平面C[DF的一个法向量为

%=(2,-LD13分，由图知，面AOE与面GDF所成二面角的余

弦值cos*匕1吧(即*乙)・・・・・・14分.

|4|•|〃2I23

14.(本题满分14分)

如图，已知七，尸分别是正方形ABCD边BC、C。的中点，EF与AC交

于点。，

以、NC都垂直于平面"CD,且"=AB=4,NC=2,M是线段以

上一动点.

(I)求证：平面丛CJ•平面也产；

(II)若PC〃平面MEF,试求的值；

(IID当〃是以中点时，求二面角加一所-N的余弦值.

p

解：法1:(I)连结8。,

PA_L平面ABC。，8£>u平面A8CD,/.PA1

又BDLAC,AC"A=A,

%)_L平面PAC,

又♦:E,R分别是BC、8的中点，

・・.所，平面PAC,又EFu平面NEF,

：.平面PAC.L

-------------------------------------------------------------------4分

(II)连结。”，

・.・尸。〃平面ME/"平面PACD平面

.・.PC//OM,

PM0cl

~PA~~AC~^故PA7:M4=1:3

8分

(III)♦・・M,平面PAC,OMu平面PAC,：.EF1OM9

在等腰三角形NE/中，点。为所的中点，・・・NOJ.

JWON为所求二面角M—EF—N的平面角

------------------------------------------------------IO分

•点"是心的中点，.・.AM=NC=2,

所以在矩形"NGA中，可求得MN=AC=4也，NO=R,MO=厄,

----------12分

八,"MO2+ON2-MN25/33

cos4MON-----------------=------

在AMQV中，由余弦定理可求得2MOON33,

.••二面角M-EF-N的余弦值为

V33

一方.-----------------14分

法2：(I)同法1；

(H)建立如图所示的直角坐标系，则尸(°，°，外，C(440),4420),

F(2,4,0),

•­•PC=(4,4,-4)，EF=(-2,2,0)，

设点M的坐标为(o,o，〃2),平面“斯的法向量为万=*，y，z),则

ME-(4,2,-ni),

n・ME=°j4x+2y-Anz=06

所以［/乔=0,即［_2x+2y=°,令x=l,则>=1,*而，

=(1,1,—)—.一4+4--=0

故相，・.・PC〃平面M砂，...尸。〃=。，即m，解得机=3,

故AM=3,即点〃为线段由上靠近尸的四等分点；故PM:也4=1:3

--------8分

(III)M4,4,2),则前=(022),设平面NEF的法向量为j=(玛"z),

m-EN=0

V

则［而.丽=0,即,

则y=i,z=-i,i

当M是叫中点时

--i+i

cos<m,n>=厂

回

・・・二面角M-M-N的余弦值为-3T.14分

15、（本小题满分14分）如图，圆柱的高为2,

底面半径为3,AE、DF是圆柱的两条母线，B、C

是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方

形。

（I）求证：BC上BE;

（口）求正方形ABCD的边长;

（III）求直线EF与平面ABF所成角的正弦值。

解：（1）・・•AE是圆柱的母线，AE1.底面

BEFC,……1分

又BCu面BEFC

/.AE±BC……2分

•.•又.「ABCD是正方形/.AB±BC

又AEryAB=A.•・BC1.面

ABE.....3分

又BEu面ABE

・••BCLBE4分

(2)・.•四边形AEFD为矩形，且ABCD是正方形/.EF//BC

"C_L5E.•.四边形EFBC为矩形/.BF为圆柱下底面的直径

1分

设正方形ABCD的边长为x,则AD=EF=AB=x

在直角AAEB中AE=2,AB=x,且BE2+AE2=AB?,得BE2=-_4

在直角^BEF中BF=6,EF=x,且BE2+EF2=BF2，的

BE2=36-X2……2分

解得工=2上，即正方形ABCD的边长为

2如……3分

(3)解法一：如图以F为原点建立空间直角

坐标系，

则A(2^/5,0,2),B(

FA=(2V5,0,2)，丽=(

FE=(2V5,0,0)……1分

设面AEF的法向量为九=(x,j,z)，则

n•FA=(x,y,z)•(2、区0,-2)=2A/5X-2z=0

ifFB=(x,y,z)•(275,4,0)=2V5x-4y=0

...3分

1,M括)

令x=l,则y==返,即〃=(

2

4分

设直线E尸与平面ABP所成角的大小为e,则

sin”|COS<n,EF>|=|^^|---------半_-=梁……6分

1f2AM工

所以直线M与平面AB尸所成角的正弦值为

2a

7分

29

解法二：如图以E为原点建立空间直角坐标系,

则A(0,0,2),B(4,0,0)

,.F(0,275,0)

~BF=(-4,2V5,0),AF=(0,275,-2)

~EF=(0,2V5,0)……1分

设面AEF的法向量为九=(x,j,z)，则

n•AF=(x,y,z)•(0,2-75,-2)=2V5y-2z=0

n•BF=(x,y,z)«(-4,275,0)=2\/5y-4x=0

分

令…，则x。,",即1（手，i,括）

4分

设直线E尸与平面ABP所成角的大小为e,则

sin”|COS<n,EF>|=|^^|---------半_-=梁……6分

1f2AM工

所以直线M与平面AB尸所成角的正弦值为

2A/29

7分

29

16、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A5CD为菱形，NR4O=6(f,

。为A0的中点。

(1)若PA=PD,求证：平面PQB_L平面PAD;

(2)点M在线段PC上，PM=tPC,试确定/的值，使PAH平面MQB；

(3)在(2)的条件下，若平面外。，平面ABCD,且PA=P£)=A£)=2,

求二面角M-8Q-C的大小.。

解：(1)连BD,四边形ABCD菱形，VAD1AB,ZBAD=60°

△ABD为正三角形，Q为AD中点，AADlBfiZ

VPA=PD,Q为AD的中点,AD1PQ

又BQGPQ=Q・'・AD_L平面PQB,ADu平面C

・•・平面PQB_L平面PAD

B

(2)当f=g时，E4〃平面MQ8

卜'面证明，若PA〃平面MQ5,连AC交BQ于N

由4Q〃5c可得，MNQsABNC,/.^=—=1

BCNC2

•••E4〃平面MQB,%u平面PAC,平面PACD平面MQBtMN，

:.PA//MN

PMAN1nn.,1

---=---=—艮J:PpM=-PC

PCAC333

(3)由PA二PD二AD=2,Q为AD的中点，则PQ_LAD。

又平面PAD_L平面ABCD,所以PQ_L平面ABCD,

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x,y,z轴，

建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A(L0,0),B(0,73,0),

Q(0,0,0),P(0,0,6)

设平面MQB的法向量为；；=(苍y,l),可得

n-QB=0:慧,解得2,。』)

nMN=G

取平面ABCD的法向量正=(0,0J)

C

cos<〃?,〃>=g,故二面角M-8Q-C的大小为60,

17.在棱长为。的正方体ABCD—ABCR中，E是线段AC；中

点，ACQBD=F.

(I)求证：CE_L3O;(II)求证：CE〃平面A8D;

(III)求三棱锥ABC的体积.

解:(I)证明：根据正方体的性质5。_ac,

因为一刿_平面X8CZ),BDu平面XBCZ),所以BD_・必，又AC。儿*=A

所以_平面，eg4，CE二平面aCGd，所以CE_SQ；

(II)证明：连接4F，

因为a*BB，CG,=BB[=CCi>

所以ACC^为平行四边形，因此4Gac，9G=AC

由于E是线段dG的中点，所以CEFA，因为五&u面45。，CEH平面450,

所以。£1〃平面4.BD

解：(I)证明：•••AO_L平面ABE,ADHBC

：.BC1平,贝ljAE±BC--------2分

又•••B/_L平面ACE,^\AE±BF

・・.AE_L平面BCE-----------------4分

(II)证明：依题意可知：G是AC中点

•.•8/_1平©4。£贝1［。石_1_8/，1^BC=BE

J尸是EC中点----------------6分

在A4EC中，FG//AE

/.AE〃平面8/£>---------8分

(III)解：•••AE//平面BF£>

AAE//FG,而4E_L平面BCE

：・FG_L平面BCEJFGlTffiBCF----10分

•••G是4c中点

.•.尸是CE中点/•FGHAE^FG=-AE=\

2

•・•平面ACE

BFICE

，R/ABCE中，BF=CF=-CE=41

2

:・S&cFB=；•应,叵=1------12分

,•VJBFG=VG-BCF-5.S^CFB.FG=-1

19、如图，已知尸AJL。。所在的平面，48是。。的

直径，AB=2,C是(DO上一点，且AC=/C,PC

与。0所在的平面成45。角，E1是尸C中点.F为

PB中点.

(I)求证：EF〃面ABC；

(II)求证：EF_L面尸AC；(III)求三棱锥B-PAC的体积.

(I)证明：在三角形PBC中，E是PC中点.F为PB中点

所以EF//BC,3Cu面ABC,EF(Z面ABC

所以〃面ABC...4分

PA_L

(II).=>BC1PA(1)

BCu\S\ABC

又AB是。。的直径，所以8C_LAC...(2)...7分

由(1)(2)得5CJ_面PAC......8分

因EF//BC8CJ.面PAC,所以七尸！.面PAC...9分

(III)因丛JL0O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，「.ZPCA即

为PC与面ABC所成角,NPCA=45°,PA=AC......

11分

在中，E是尸C中点，^BAC=-,AC=BC=y[2...12分

4

1/y

^B-PAC=^P-ABC=§S^BCPA=•,T4分

20、一简单组合体的一个面ABC内接于圆0,AB是圆。的直径，四

边形DCBE为平行四边形，且DCJ_平面ABC.

(1)证明：平面ACDJ.平面ADE;

⑵若AB=2,8C=1…㈤5邛，试求该简单组合体的体积V.

解：（1）证明:

DC平面ABC,8Cu平面ABC

DCLBC.2分

VAB是圆0的直径.二BC±AC^DCnAC=C

/.1平面

ADC.------------------------------------------------------------------------4分

・・•四边形DCBE为平行四边形ADE//BC

JOE_L平面ADC

6分

E

—AC-BC,EB=-----------134r

62

，该简单几何体的体积V=1

解法2:将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直为三棱柱48分

A.0

如图,.,43=2,BC=1,tanZE4B=—=—

AB2

/.BE=6AC7AB2-B（：2=6---------------------10分

.•V=^ACB-FDE~^E-ADF~SMCBDC—^S战0cDE

分

=-ACCBDC--AC-DCDE

26

=—x-s/3xlxV3--xV3x^xl=l------------------------------------------------------14分

26

21、如图平面ABCD_L平面ABEF,ABCD是正方形，ABEF是矩形,

KAF=1AD=2,G是EF的中点，

2

（1）求证平面AGCJ_平面BGC；

（2）求空间四边形AGBC的体积。

（I）证明：•・•点G是正方形ABEF的边EF的中点。

/.AG=BG=V22+22=272

从而得：AG2+BG-=AB2,..AG.LBG.又因为:平面ABCD_^

面ABEF,且CD_LAB,所以，8_L平面ABEF,得CB_LAG,/.AG_L

平面BCG,又因为直线AG在平面AGC内，故：平面AGC,平

jBGC0000000000000007分

（2）解：由（1）得知：直线CBJL平面ABEF,所以，CB是四面体

AGBC的高，而：5MBC=^X2V2X2V2=4,所以，

%=gx4x4若...............14分

22、正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点E