第九章多元函数微分法及其应用

第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念

1.邻域一、平面点集在P0的邻域中将P0去掉，得到P0的去心邻域：2.内点、外点、边界点、聚点设有点集

E

及一点

P:

若存在点P

的某邻域U(P)

E,

若存在点P的某邻域U(P)∩E=

,

若对点

P

的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含

E则称P为E

的内点；则称P为E

的外点

;则称P为E的边界点

.的外点,显然，E

的内点必属于

E,

E

的外点必不属于

E,E

的边界点可能属于E,也可能不属于E

。

若点

P

的任一去心邻域

中总有E中的点，则称P为E的聚点

。聚点可能属于E，也可能不属于

E

。聚点是内点或者边界点。

若点

P

E，且P不是聚点，则称P为E的孤立点

。孤立点

属于

ED3.开区域及闭区域

若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；

若点集E

E,则称E

为闭集；

若集D

中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通集

;

连通的开集称为开区域

,简称区域

;。。

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作

E;例如，是开区域；是闭区域；开区域闭区域整个平面点集是开集，是最大的开区域

,也是最大的闭区域；但不是区域。o对区域D,若存在正数

K,使一切点P

D与某定点A的距离

AP

K,则称

D

为有界域

,

否则称为无界域。二、多元函数的概念例1求的定义域．解所求定义域为二元函数的图形通常是一张曲面.二元函数的几何意义图形如右图.例如,上半球面定义

设函数y

f(x)在点x0

的某个邻域(点x0

本身可以除外)内有定义，如果当x

x0(但x

x0)时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x

x0时，f(x)以A为极限，记作复习：x

x0

时，函数极限的定义三、多元函数的极限定义

设二元函数z

f(x，y)在点P0(x0,y0)的邻域(点P0

本身可以除外)内有定义，如果当P

P0(但P

P0)时，函数f(x，y)趋于一个常数A，

则称当P

P0时，f(x，y)以A为极限，记作三、多元函数的极限或记作：说明：(1)定义中的方式是任意的；确定极限不存在的方法：解:

设P(x

,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在

.例2讨论函数说明：(1)定义中的方式是任意的；(2)二元函数的极限也叫二重极限(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似。解:例3求极限当时，恒有所以例4.求解:则故导数的另一求法—洛必达法则复习：

四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性

定义

设二元函数定义在D

上,如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上连续。如果存在否则称为不连续,此时称为间断点。则称二元函数连续;例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,

函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周定理:二元初等函数在定义区域内连续解:例5求极限因为在点连续，所以解:例6求极限因为在点而函数连续，所以闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上可以取得它的最大值和最小值。在有界闭区域D上的二元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值。（1）最大值和最小值定理（3）介值定理在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界。（2）有界性定理作业

P63习题9-12，4，5(1)(3)(5)，6(1)(3)(5)第二节偏导数

一、偏导数的定义及其计算方法例1设函数求(1)偏导数(2)偏导数在指定点的值解(1)(将y看作常数，对x求导，得)(将x看作常数，对y求导，得)(2)将点(1,1)代入(1)中所得结果，有例2设函数求偏导数(1)(2)解(1)(2)1、求函数

解的偏导数练习1、求函数的偏导数2、求函数的偏导数2、求函数解的偏导数导数的几何意义：y

f(x)在点x0处的切线斜率等于f

(x0)

复习：导数的几何意义偏导数的几何意义偏导数就是曲面被平面

y=y0所截得的曲线在点M0处的切线对x轴正向的斜率。偏导数的几何意义偏导数就是曲面被平面

x=x0所截得的曲线在点M0处的切线对y轴正向的斜率。偏导数的几何意义关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：(1)偏导数是一个整体记号，不可拆分；(2)求分界点、不连续点的偏导数要利用定义求；(3)二元函数在某一点即使函数的各个偏导数都存在，也不能保证函数在该点连续。例如二元函数在点处的偏导数存在却不连续(3)二元函数在某一点即使函数的各个偏导数都存在，也不能保证函数在该点连续。二、高阶偏导数的各二阶偏导数。解例3求例3中的并不是个别现象，一般地有下列定理：定理

若在定义域D内连续，则在D内有作业

P69习题9-21(3)(7)(8)4，6(2)第三节全微分一元函数的微分计算公式复习：由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义二元函数的全增量的概念二元函数的全微分(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微当函数可微时:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即二、可微的条件一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？例如，但在(0,0)处不可微则当时，一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．？说明：多元函数的各偏导数存在

不能保证：全微分存在函数f(x,y)处处可微，但它的偏导数却不一定是连续函数。

f(x,y)的表达式如下：

当xy≠0时，(x^2)*sin(1/x)+(y^2)*sin(1/y)

当x≠0，y=0时，(x^2)*sin(1/x)

当x=0，y≠0时，(y^2)*sin(1/y)

当x=y=0时，0

可以验证，这个函数在原点处可微，但两个偏导函数在原点处都不连续。

多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导，求解：例1设得练习：1、求下列函数的偏导数及全微分(1)(2)1、(1)解：1、(2)解：解作业

P76习题9-31(3)(4)，2第四节多元函数复合求导法则一元复合函数求导法则复习一、链式法则（全导数公式）若定理中说明:

例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.推广:1)中间变量多于两个的情形.设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,例如,特别地当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示复合函数f(x,

(x,y))固定y

对x

求导表示f(x,v)固定v

对x

求导与不同,解例2.解:解解令记同理有于是作业

P82习题9-41.3.58（1）10.11.第五节隐函数的

求导公式一、一个方程所确定的隐函数及其导数1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,

方程C<0时,能确定隐函数C>0时,不能确定隐函数2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论:一、一个方程所确定的隐函数及其导数隐函数存在定理1

设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点某一邻域内满足②③满足条件导数隐函数的求导公式两边对x求导在的某邻域内数，则若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还可求隐函数的解令则解令则导数的另一求法—利用隐函数求导隐函数存在定理2若函数的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确解令则导数的另一求法—利用隐函数求导再对x

求导作业

P89习题9-51、2、4、5、8第六节多元函数的极值及其求法复习：一元函数极值的定义复习：一元函数极值存在的必要条件和极值判断定理定理(极值存在的必要条件)

如果点x0是函数f(x)的极值点，且f

(x)存在，则f

(x)

0多元函数的极值

观察二元函数的图形一、二元函数极值的定义(1)(2)例1例２多元函数取得极值的必要条件多元函数极值的判定定理例3

求函数的极值解解方程组即得唯一解驻点为又因为

所以极大值为：为极大值点，由于

解求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.多元函数的最值例4设x、y分别为商品甲、乙的需求量，它们的需求方程分别为其中p、q分别为两种商品的销售价；问：当价格p、q取何值时，可使利润最大。解：收入函数为总成本函数为利润函数为例4设x、y分别为商品甲、乙的需求量，它们的需求方程分别为其中p、q分别为两种商品的销售价；问：当价格p、q取何值时，可使利润最大。解：总成本函数为利润函数解方程组即得唯一解所以唯一驻点为例4设x、y分别为商品甲、乙的需求量，它们的需求方程分别为其中p、q分别为两种商品的销售价；问：当价格p、q取何值时，可使利润最大。解：总成本函数为计算二阶偏导数唯一驻点为由于它是唯一驻点，且实际问题存在最大利润，故它也是最大值点，又因为在驻点处因此是极大值点，即当价格，时可获最大利润。例4设x、y分别为商品甲、乙的需求量，它们的需求方程分别为其中p、q分别为两种商品的销售价；问：当价格p、q取何值时，可使利润最大。总成本函数为解如图,解方程组无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件。实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为。设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点。二、条件极值拉格朗日乘数法条件极值：对自变量有附加条件的极值。解则练习

某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告。根据统计资料：销售收入R(百万元)与报纸广告支出x(百万元)、电视广告支出y(百万元)之间的函数关系约为(1)如果不限制广告支出，求最优广告策略；(2)如果广告总支出限制在180（万元），求相应的最优广告策略。练习

某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告。根据统计资料：销售收入R(百万元)与报纸广告支出x(百万元)、电