2021新高考二轮复习·数学第二编 六 规范答题系列五

规范答题系列五

解析几何类解答题

例

(2020.山东省高三第一次仿真联考)(12分)在直角坐标系xOy中，已

知网1,0),动点P到直线x=6的距离等于2|尸网+2,动点P的轨迹记为曲线C

(1)求曲线C的方程；

(2)已知A(2,0),过点R的动直线/与曲线C交于3,。两点，记△AOB和

△AOD的面积分别为Si和S2,求Si+52的最大值.

解题思路⑴设点P(x,y),根据“动点p到直线X=6的距离等于2|咽+2”

建立等量关系，整理，得曲线C的方程；⑵先依据题意判断直线/的斜率不为0,

设直线I的方程为x=my+l,将直线I的方程与轨迹C的方程联立消去X,设5(X1,

yi),D(X2,>2),即可得yi+>2,yiy2,进而表示lyi-券|,依据Si+S2=；|Q4Hyi|+

11

引。4|•便|=引。川•竺|构建函数，利用基本不等式求函数的最大值.

解(1)设点P(x,y),则由题意,得

k-61=2y(x-1)2+>2+2(x<6),(2分)

V2v2

整理，得3/+4/=12,即4+左=1.

故动点P的轨迹C的方程为=+弓=1.(4分)

(2)设2a1,yi),£)(X2,yi),

由题意可知直线I的斜率不为0,则可设直线/的方程为x=机丁+1,

x=my+1,

联立&f_整理，得(3/+物2+6缈-9=0,(5分)

7+*3=1,

A=(6m)2-4X(3m2+4)X(-9)=144(/+1)>0,

6Hz9

所以>92=一菽7,.2-藐帝，（6分）

则M->2|=q（yi+V2）2-4yly2

='/「普-2+36=12版巨

（3m+4J3加2+43m2+4'

故51+52=30川-惘1+30川Ml

112\/m2+1

=/*"冽=35+4C分）

设/=y/m2+121,贝1Jm2=尸一1,

12/12

贝1JSi+S2=3/2+]=~一[.（10分）

37+?

因为岸1,

所以%+1>4（当且仅当f=l时，等号成立），

12

故Si+S2=-^W3,即S1+S2的最大值为3.（12分）

37+：

踩点得分

1.设点P(x,y),建立等量关系给2分.

2.化简整理，得曲线C的方程给2分.

3.直线/的方程与轨迹C的方程联立消元整理给1分.

4.利用根与系数的关系用参数表示》+”，给1分.

5.用参数表示惘-列给1分.

6.依据Si+S2=gQA|如1+3。4出2|弓。/M-Xl建立函数关系给2分.

7.换元将所得函数关系式变形给1分.

8.利用基本不等式求最值并作答给2分.

答题启示

1.求曲线方程时，将等量关系转化为方程时要注意正确利用有关公式，同时

要注意一些细节.如本例中结合图形可判断x<6,据此可化简方程.

2.设直线方程时要注意讨论直线的斜率，同时也要根据情况灵活处理.如本

例中，由于直线/的斜率不为0,可设其方程为％=切+1.

3.写全得分步骤，直线方程和曲线方程联立后，要写出/>0和根与系数的

关系，这是解题过程中的得分点.

4.巧妙构建函数关系.如本例中利用5i+S2=^\OA\-\yl\+^\OA\-\y2\=^\OA\-\yl

-”|建立函数关系较方便.

5.注意配方、分离变量、换元等变形方法化简函数关系式.如本例中，设/

=62+121,则Si+S2=3；，］=上7,此时较容易求最值.

37+?

［跟踪训练］

（2020.山东省威海市二模）（12分）已知「（隹小）是椭圆C:5+牧=1（厘>0）

上一点，以点尸及椭圆的左、右焦点入，人为顶点的三角形的面积为24.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过八作斜率存在且互相垂直的直线/i,/2,〃是/1与C两交点的中点，N

是/2与C两交点的中点，求△MNE面积的最大值.

解⑴由点尸（啦，小）在椭圆C上可得U+.=1，

整理得2/+3a2=次".①（1分）

=3X2cX2c=2.（2

SAPF1F2小=小，解得分）

所以/=廿+°2=/+4,代入①式整理得〃—廿一12=0.（3分）

解得廿二4,a2-8.

r2v2

所以椭圆C的标准方程为W+：=1.（4分）

（2）由⑴可得正2（2,0）,所以设直线/1：元二机》+2,

x=my+2,

联立直线/i与椭圆c的方程"皿

8+4i

整理得（加2+2）y2+4my-8=0,（6分）

VI+V2

显然/>0,所以直线Z1与椭圆C的两交点的中点M的纵坐标yM=—^=

2m

m2+25

同理直线，2与椭圆C的两交点的中点N的纵坐标

2

m—2m

冲===^?7,6分)

苏+2

所以5,加2=；眼冏■\NF1\

=|业+疗•41+白・lw|■|y/v|

2m(1+m2)2m(1+m2)

—2m4+5m2+2~2(m2+1)2+m2，分)

将上式分子、分母同除机(1+源)可得，

2

S&MNF]=|分)

Jn0,+1111(10

2-+~m~

ml+m-

m2+12

不妨设m>0,令•一=t,t>2,则&孙的=[

“27+]