2022新教材苏教版高中数学必修第二册第10章三角恒等变换 课时练习题及章末综合检测含答案解析

第10章三角恒等变换

10.1两角和与差的三角函数.....................................................1

10.1.1两角和与差的余弦.................................................1

10.1.2两角和与差的正弦.................................................7

10.1.3两角和与差的正切................................................12

10.2二倍角的三角函数........................................................17

10.3几个三角恒等式..........................................................24

第10章测评...................................................................29

10.1两角和与差的三角函数

10.1.1两角和与差的余弦

1.(2021黑龙江哈尔滨香坊高一期末)化简cos160・cos44°・cos74°sin44°的值为

()

A.—B.~C.-D.--

2222

|解析卜os16°cos44°-cos74°sin44°=cos16°cos44°-sin16°sin

44°=cos（16°+44°）=cos60°故选C.

2.计算迷辿的值是（）

sina-cosa

A.V2B.-V2C.yD*

2

nr-qcos（7+a）cosycosa-sinysina

解析.I"）=—」----—

-----^ina-cosasina-cosa

sina-cosa）J2

卓1

sina-cosa2"

3.已知sina=|,a^（0,?厕以“件+口）等于（

）

AA.——4金C考D.更

5io

答案B

廨析|由题意可知cosa=-,cos+a）=cos12兀二+a）=cos）=cosacos-+sinasin-=

1--------1544444

4无3互_7在

―X------1—X———.

525210

4.（2021重庆高一期末）若a£（0,兀），且cos（a+?4则cosa等于（）

A「-1-2巡

A.-1-2-V-6B.----

66

C1+24D-1+2历

6,6

踊c

I解析I因为a£（0,兀）且cosQ+pW，

•5J

所以sin（a+三）=Zig

33

J）n]11,2V2V31+2V6

cosa=cosLva+-7—J=-x-H----x—=-----.

3332326

5.已知cos（a+£）=g,cos（a/）=-*^Jcosacosp=.

I解析I由已知得cosacos夕-sinasin/?=pcosacos/?+sinasin夕=-3,两式相加，得2cosacos

£二0,故cosacos6=0.

6.若cos6二-募,（爪,罗）,贝1」cos（6+?）=.

I解析IVcos夕二卷，£（n,y）,:.sin^=~.

cosf0+=cos^cos--sin0sin-

\4/44

12V2.5V27V2

=—X-----1-----X-=-.

13213226

7.（2021山东威海高一期末）已知cos（a/）二卷cos（a+Q）=且（1,兀）/+夕£（当2兀）,

求角£的值.

阐由a-阵(;兀),且cos(a-£)=-丝，得sin(a/)=2.由a+归包,2兀),且cos®+少户二得

21313213

sin(a+/?)=-A/.cos2^=cos[(«+^)-(«-/?)]

=cos(a+6)cus(a-0)+sin(cc+0sin(a/)

=l£x(-^)+(.±)x-5-=-i

13131313♦

又a+g佟,2北)以/£(今兀)，

・・・2££?浮).・・・2介私则

8.(2021河南洛阳高一期末)已知sina-sinfi=\-^-,cosa-cos夕，则cos(a/)的值为()

A.-B.—C.-D.l

224

^M|B

I解析I因为sina-sin0=\当,

所以sin2a-2sinasin£+sin2sq—V5.①

又因为cosa-cos夕W，

所以cos2a-2cosacos夕+cos%=*②

所以①+②得2cos(a/)=F.

所以cos(a/)二序故选B.

9.(2021四川成都高一期末)已知cos(》」)=-£则cosx+cosQq)等于()

633

A.-—B.±—C.-lD.±l

33

踊c

I解析|因为COsQ-?=-y,

所以cosx+cos(x--)=cosx+Losx+—sinx

322

V5COSQE)=・1.故选c.

6

（2020云南玉溪一中高一检测）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直

角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为

且小正方形与大正方形面积之比为4:9,则cos（a/）的值为（）

■A

庭明设大的正方形的边长为1,由于小正方形与大正方形面积之比为4:9,所以小正方形

的边长为3可得cosa-sina=-,

sin£-cos6=彳,

由图可得:cosa=sin^,sina=cosB，

①x②可得:±=cosasin夕+sinacos^-cosacos尸-sinasin/?=sin2/?+cos2^-cos(a-/?)=1-

9

cos(a/),

解得cos(a/)=；.

9

IL(多选)下列满足sinasin介cosacosP的有()

A.a=6=90°B.a=18°,/?=72°

C,«=130°,^=-40°D.a=140°/=40。

|答案|BC

丽I由5亩益足/?=85。8$万可得859+为=0,因此。+夕二火」80°+90°,k£Z,B,C项符合.

12.（多选）若［sinx+4cosx=cos（x+0）,则（p的值可能是（）

答案|AC

解析|对比公式特征知,cose=",sin勿二-：,故夕二T，都合适•

-----2266

13.（多选）已知a/,y£（O，T）

,sina+siny=sinW，cosy9+cosy=cos。，则下列说法正确的是

()

A.cosQ?-a)=1B.cosQ?-a)=-1

C.fi-a=^D.fi-a=^

矗］AC

|解析|由已知，得siny=sin夕-sina,cos尸cosa-cos£.两式分别平方相加，得(sin£-sin

a)2+(cosa-cosfi)2-1,-2cos(^-«)~-1,Acos()9-a)-1,AA正确,B错误.

,:a,的R(0,9，；・sin尸sin£-sina>0,

：.fi>a,：.fi-a=^：.C正确,D错误.

2cos10°-sin20°

14.化简:

cos20°

2cos(30°-20°卜sin200

cos20c

2cos30°COS20：+2sin30'sin20：-sin20'

cos200

_bcos200+sin200-sin20°_每os20。

cos200-cos20°

15.若0<a<p-^<^<0,cosQ+a)=1,cosQ-^)=苧，则sinQ-0=,cos(a+

f)

廨府因为0<a<:所以工<-+a<-,

1----12444

又cosQ+a)=1，所以sinQ+a)=等.

因为悔<夕<。,所以汴：Yv去

又cos(泻)=*所以sin(抬)=当

于是cos(a+§)=cos〔&+。一伫4)]

=cosf-+a)cos(7-g)+sin(E+a)sin(E--^=-x—+—X—=—.

\4)\42/44233339

16.己知向量a=(sina,v5cosa-sina),b=(cos)8-v5sin1,cos1),且ab=2.

(1)求cos(a+0的值；

⑵若0<0竹,0<4样,且sin。=*，求2a+B的值.

网(1)由题意，得ab=sina(cos^-V5sin向+(述cosa-sinct)cos^=V5cosacos^-V5sinasin

£=V5COS(Q+£),

因为a・b=2,所以西cos(a+夕)=2,

即cos(a+丑)二野.

⑵因为0<a<psina=^^,

所以cos

io

因为0<a<1,0<夕<],所以0<。+《<兀

因为cos(a+为二管，所以sin(c+/0=Y，

所以cos(2a+/?)=cos[a+(«+^)]=cosacos(a+/?)-sinasin(tt+^)=y.0为0<a<p0<^<p

所以0<2a+£告，所以2a+fi=^.

17.已知函数/(x)=Asin(x+-R),K/0)=1.

4

⑴求A的值；

(2)若y((x)=-*a是第二象限角，求cosa.

圈(1)依题意得10)二由成=44=1,故A=y/2.

⑵由⑴得危尸&sinQ+?,

由加尸］可得出尸/sinQ+?二.

则sin(a+2)=-3「；。是第二象限角,

410

TT

；・2^7t+-<a<2A：7t+n(^£Z),

・•・2271g<。+2<2&兀+迩(&£Z),

444

r.(n)V2

又sin^a+-'=—<0,

410

・・・a+2是第三象限角，

4

・\cos(a+：)=Jl・sin2(a+；)=一詈,

Acosa=cos[(a+

(,TT)11.(,IT).n

=cosva+--,cos-+sin\a+-/sin-

4444

7V2V2V2V24

=-------X---------------X-=--.

1021025

10.1.2两角和与差的正弦

1.化简sin16°cos440+sin74°sin44°的值为()

答案|A

解析sin16°cos44°+sin74°sin44°=sin16°cos44°+cos16°sin

44°=sin(16°+44°)=sin60°二・故选A.

2.化简:sinQ+?+sinQ-?=()

A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx

答案B

解析|sinvx+-/+sinvx--/=-sinx+-^cosx+^sinx-^cosx=sinx.

---------332222

3.若sinQ-a^=cosQ+a),则tana=()

A.-1B.OC.-D.l

2

答案A

由已知得：cosa-ysina=*osa-|sina,因"匕^^sina=^|^cosa,于是tana--\.

4.己知（7t,—\sin（犯,2;r）,cos尸二士，贝！|0+£为（）

2425

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

^]B

|解析|由已知得cosasin.

所以sin（a+/?）=sinacos夕+cosasin0

=洛

20

故a+夕为第二象限角.

5.(2021天津和平高一期末)已知tanA=2tanB,sin(A+B)=,则sin(4-B)=()

4

D弓

宣c

2sinB

由tanA=2tanB得---

cos/lcosB

即sinAcosB=2cosAsinB.

Vsin(A+B)=-,sinAcos8+cosAsin8=-.

44

sinAcos8=，,cosAsinB=^

则sin(A-B)=sinAcosB-cosAsin~~=专,故选C

6.已知a=(2sin35°,2cos35°),b=(cos5°,-sin5°)，则a・b=.

^]1

解析ab=2sin35°cos5°-2cos35°sin5°=2sin30°=1.

7化简.sin(a-150。)+cos(a-120c)_

・・cosa------------•

客-1

I解析I原弋一sinacosl500-cosasinl500+cosacosl200+sinasinl20°

'——-_''、cosa

-^sina-^cosa-^cosa+^sina

--------------------------------1.

cosa

8.化简求值：

(l)sin(a+cos(a+£)sin(a/);

(2)cos(70°+a)sin(1700-a)-sin(700+a)cos(100+a).

国(1)原式=sin(a+/?+a/)=sin2a.

(2)原式=cos(70°+a)sin(10°+a)-sin(70°+a)cos(10°+a)

=sin[(10°+a)-(70°+a)]=sin(-60°)=-~-

9.（2021江苏苏州昆山校级月考）已知若cos（a/）4，sin（a+用）二则sin

4qxoo

25=()

A.-B.--喈

33

函D

随责,•彳<£<av拳

・・・a/£(0,p,a+作(崂),

123

若cos(a-^)=—,sin(a+^)=--,

.•・sin(a/)=Jl-cos2(a-6)=总

cos(a+0)=-y/l-s\n2(a4-p)

12(J)516

则sin2^=sin[(«+^)-(a-/?)]=sin(«+^)-cos(a-y?)-cos(a+^)sin(a-/?)=--XX——--.

13~51365

故选D.

10SE7；+31；sin：的值等于(

cos7-sinl5sin8)

A.2+V3B萼C.2-V3D.竽

瓯C

函原式二写f喑岑

cos(15-8)-sinl5sin8

Sinl5°cos8"sinl5°sin(450-300)&=2-倔

cosl50cos8coslS0cos(45°-30°)

4

11.（多选）下面各式中，正确的是（)

.(n.ir).nn.\[3n

AA.sin4--f=sin-cos-H----cos-

434324

c5n42.itnTT

B.cos—=—Sin—COS-COS-

122343

TTTT,i/6

C.cos=cos-cos-H——

12434

nnitn

D.cos—=COS-cos-

1234

唇剽ABC

,..(nj).itn,it.n.nn.V3it.5n7n

•sin:+-^sin-cos-cossm-=sincos-+ycos-,.1A正确;*.*cos—=-cos—=-cos

+;z1212

\一+-/-——sin-cos-cos-,..B正确；

342343

口）(nn)ITn,.n.nnn.>/6.

.COS'-=cos\------)=cos-cos-+sin-sin-=cos-cos-H-----,・・C正x确£A;

12434343434’

・n(---)/cos--cos-,AD不正确.故选ABC.

・COS—=COS

123434

萼,(0「),则sin(a-,⑹二

12.已知sina+cosa=

244

5n)5Tt.5TT

解析sin'a-:1=sinctcos--cosasm—

-------444

y[2V2.V2Z.、

7cosa-sin«=T(cosa-sina).

*/(sin«+cosa)2=|,2sinacosct=1,

(sina-cosa)2=-,Va^(0；),

24

cosa>sina,

..V2

..cosa-sina=­.

2

,.(5n)1

..sin-'=-.

42

13.若cosa="1,sin/?=-y,aE（1,兀），蚱（斗,2兀）,则sin（a+夕）的值为

2

•・•cosa=-1-,au^|n)•・sina=Vl-cosa=Vsin6=]6W奉2J

cos介Jl-siM/?=当

.*.sin(a+^)=sin«cos£+cosasin£

二2X渔+Q)X(®=更

33339

14.（2020辽宁沈阳和平期末）已知a，为锐角,cosa=1,cos（a+/?）=-^.

⑴求sin9+夕）的值;

（2）求sin£的值.

嘛1);a/为锐角,cos(a+^)=~

.•・sin(a+6)=Jl-cos2(a+0)=誓.

⑵a为锐角,cosa=1,sina=Vl-cos2a=

Asin/?=sin[(a+y9)-a]=cosasin(a+^)-sinacos(a+0

_15b45/3（11）_V3

——x--------X\-—/-.

7147142

15.已知函数段）=sin（2x+»+sin（2x--）+cos2x+a（a^R,a为常数）.

66

⑴求函数/U）的最小正周期及增区间；

⑵当A-e[（）,（时次x）的最小值为-2,求a的值.

廨|（l）V/x）=2sin2xcos^+cos2x+a

=V3sin2x+cos2x+4=2sin（2r+2）+〃，

6

的最小正周期T二T=兀

当2人产劣I浮2尿।,GZ,

即时，函数大幻是增函数,

36

故该函数的增区间为

⑵当xe[o,J时,2X+：£

ZODO

/.当x=;时«r）取得最小值.

.\2sin

10.1.3两角和与差的正切

1.已知tana=1,tan介，，且角a/为锐角，则a+p的值是（）

.3n

A.一B：或生

444

D.—

44

瓯C

2.在“8C中，已知121141@118是方程3<+81-1=0的两根,则tan。等于（）

A.2B.-2

C.4D.-4

前A

3.（2021新疆维吾尔自治区哈密伊州高一期末）已知tan（aT）=|，则^«=（）

A.-B.--

55

C.5D.-5

^M]B

Anxr-I(3n)tana-tantancx+l281।；.A宜

解析tan'a—)=------------=------------=一，解付tan。=-一，故选B.

---------4l+tanatan1-tana35

4.已知tan(a+£+2)=-,tan(h⑹=-；则tanQ+2)的值为()

62633

A.它B.5

27

C.1D.1

^M|D

|解析|tan(a+?=tan

5.已知A,B都是锐角，且(1+tanA)(l+tanB)=2,!MA+B=.

Ill

|解析|(1+tan4)(1+tanB)=l+tan4tanB+tanA+tanB=2,

tanAtanB=l-(tanA+tanB).

・，,oxtanA+tanB.

..tan(A+B)=—-----------------=1.

'l-[l-(tani4+tan5)]

VA,B都是锐角，J0<A+B<K：.A+B=-.

4

6.(2021江苏运河中学高一期中)如图,三个全等的矩形相接，且AB=a,AD=b.

AB

⑴若〃=2a,求tan(a+/?)的值;

⑵若a+人可，求，的值.

网(1)若/?=2。,则tana=|,tan夕=1.

所以tan(a+y?)=tana+tan/J

1-tanatan/?

(2)由图可得,tana=^,tan尸=.tan尸*

因为“+£=＞，所以tan(a+£)=；：：：；：：：二tany,

化简，得后二户,所以a=b.

所以2的值为1.

a

7.若tan(a+£)qtan(a/)W，则tan2«=()

ci琮

答案D

解析tan2a=tanf(a+^)+(«-^)]=tan(a+/J)+tan(a-/?)

l-tan(a+/?)tan(a-0)

8.(2021河南焦作第一中学高一期末)已知(岸兀)，且sinQCOSa=-|,tan(a+£)q则tan

B二()

A.1B.7C.1或7D.2或6

■A

|解析[由仁仁(手，兀)，则-1<tana<0.

由sinacosa=sinacosatana_2

sin2a+cos2atan2a+l5’

即2tan2a+5tanG+2=0,解得tan或tana=-2.

所以

tana=—2.

tan.=lan[(a+夕)-g]=tan(a+/?)；ana_故选A

1L\X，Jl+tan(a+6)tanai+|x(-1)

9.(2021北京朝阳高一期末)已知tan(a-2)=2,tan(a+份=-3,则tan(£+,)=()

A.1B.2C.3D.4

|解析|因为+('+?=a+B，

所以tan(S+J=tan[(a+A)-(。-，一

tan(a+/?)-tan(a-7)

l+tan(a+6)tan(a-£)

故选A.

10.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=3V3,tan25=tanAtanC,则角B等于()

A.3O°B.45°C.120°D.60°

踊D

画由公式变形得

tanA+tanB=tan(A+B)(l-tanAtanB)

=tan(180°-C)(l-tanAtanB)

=-tanC(1-tanAtanB)

=-tanC+tanAtanBtanC,

tanA+tanB+tanC

=-tanC+tanAtanBtanC+tanC

=tanAtanBtanC=3A/3.Vtan2B=tanAtanC,

Atan3B=3V3..,.tanB=V3.・・.B=60°.古攵选D.

11.(多选)在中,C=120°,tanA+tan8=等，下列各式正确的是()

A.A+8=2CB.tan(A+8)=-V5

C.tanA=tanBD.cosB=V3sinA

答案|CD

阿祠,.・C=120。,：.A+B=60°,A2(A+B)=C,

・・.tan(A+8)=75,，选项A,B错误；

*.*tanA+tanB=V3(l-tanAtan8)二等，

/.tanAtanB=g,①

又tanA+tanB=苧,②

；・联立①②解得tanA=tan8=子

Acosfi=V3sinA,故选项C,D正确.

12.已知锐角a/满足(tana-l)(tan。-1)=2,则tan(a+^)=,a+0=.

|解析|因为(tana-l)(tan/?-l)=2,

所以tana+tan£=tan画anp-\.

tana+tan/?

因此tan(a+S)=

1-tanatan/?

因为a+夕£(0,71),所以a+P=—.

13.已知a/均为锐角，且tan〉:黑黑:，求lan(a+0的值.

匾|tan4二cosa-sina1-tana=tan(:・a

cosa+sinal+tana

因为a/均为锐角,

所以T<

又因为尸anx在(-甥)上是增函数，

所以介己-0,即a=^,tan(a+/9)=1.

14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的取值范围

是.

霞［8,+8)

|由已知条件sinA=sin（B+Q=2sinBsinC,

得sin8cosC+cosBsinC=2sinBsinC,

两边同除以cosBcosC,得tanB+tanC=2tanBtanC,

tanB+tanC

V-tanA=tan（B+Q=

1-tanBtanC9

tanAtanBtanC=tanA+lanB+lanC.

tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC

>2V2tan/ltanBtanC,

令tanAtanBtanC=x>0,

即x^2y/2x^?x，8,或xWO（舍去）,，工的最小值为8.

当且仅当tanB=2+V2,tan。=2-衣上1114=4（或tan8,tanC互换）时取等号，此时A,B,C

均为锐角.故tanAlanfilanC的取值范画是［8,十8）.

10.2二倍角的三角函数

l.（cos^-sinA）（cos2L+sinZ）=（）

A.旦B」

22

C-D.—

22

原式二cos2E-sin22=cosE=血，故选D.

S121262

2.若tana=3,则当的值等于（）

cos^a

A.2B.3C.4D.6

厩舜嘤=2Sinacosa=2tan々=2x3=6.

,----]cos^acos£a

3.（2021湖南永州高一期末）已知cos（《）《胃四与则3。20的值等于（）

A24

人•五B噌D噌

答案B

cos(岬=sin归/〈吟所以cos^Vl-Sin^=|.所以sin20=2sinGeos

八.A.

6=c2x4-x-3=—24.故选B.

5525

4.（2021天津高一期末）已知sin（兀-a）二号,则cos2a=（）

A.-B.--C.-D.--

8844

制c

|解析|Vsin(7t-a)=^=sina,

cos2a=l-2sin2a=?.故选C.

4

5=.-vS-s-i-n-a-+--c-o-s-a-=二1,则nnita'n2ca=(/\)

sina-cosa2

A,--B.-C.--D.-

4433

I解析I等式s：na+c°sa=:左边分子、分母同时除以COSa(显然COS(#0),得㈣1竺1=；解得

1--------1sina-cosa2tana-12

2tana3

tan2a=

i-tan2a41

6.（2021上海虹口高一期末）已知0£（0,兀），且有l-2sin2a=cos2a,则cosa-.

|解析|由1-2sin2a=cos2a,得l・cos2a=2sin2a,

即2sin2a=4sinacosa.

又因为a£(0,兀),所以sin存0,所以sina=2cosa>0.

由sin2a+cos2«=(2cosa)2+cos2a=5cos2a=1,

解得cosa=Y-

2sin2acos2a_

7.化简:

1+cos2acos2a

答案tan2a

2sin2acos'a,c

廨前原式二------=tan2a.

2cos2acos2a

8.求下列各式的值：

,.\2cos2«-l.

2tan偿a州M居+。丫

(2)2V3tan15°+tan215°;

(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.

限)原式=2taW晨同〃)

_______cos2a______

2tan(5-a)cos2(J-a)

_cos2a_cos2a

2sin(^-a)cos(^-alsin(2x与2al

cos2ai

------=1

cos2a

⑵原式二V5tan30°(1-tan215°)+tan215°

=V3Xy(l-tan215°)+tan215°=1.

(3)方法一sin10°sin30°sin50°sin700

=icos20°cos40°cos80°

_2sin20<,cos20;cos40cos80:

4sin200

sin40°cos40°cos800sin80°cos8001sinl6001

4sin200—8sin200-16sin20°-16'

方法二令工=$吊10°sin50°sin70°,

y=cos10°cos50°cos70°.

贝I—=sinlO°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°

=>20。.触100。.迪140。

="n200sin8。。sin4。。

Vos100cos50。cos700

因为归0,所以彳三

8

所以sin100sin30°sin50°sin70°=—.

16

l-cos0+sin0

9.（2021甘肃天水高一期末）已知tan-=3则的值为（)

23l+cosO+sinJ

4

答案A

,・*62

・tan--

23

2sin21+2sin|cos^

.l-cos0+sin0

*l+cos0+sin02cos21+2sin^cos?

2sinHsinf+cos|)e2.

23触部福小力泮选A.

10.若tanfa+则cos2a+2sin2a=()

A，?B.lD]

5•5

答案B

典,3（。+加景一

tana=2,

.c八•ccos2a-sin2a.4sinacosal-tan2a4tana3

..cos2a+2sin2a=­；--f-4----；---++4

cosza+sinzacos"a+siMa1+tan2al+tan2a5

11.4sin8。。•黑-二()

A.V3B.-V3

C.V2D.2V2-3

答案B

廨和sin800-空到4cosl00sinlO°-coslO°

sinio0sinlO0

_2sin200-coslO02sin(300-10>COS10°

sinl0°sinlO°

_2(sin30°coslO°-cos300sin)0°)coslO°

sinlO°

=-V3.

12.若且cos2a+cosQ+2a)=*则tana=()

弓D.*

空C

cos2a-2sinacosal-2tana3

|解析|cos%+cos停+2a)=cos2a-sin2a=cos2a-2sinacosa=------------=----

sin2a+cos2atan2a+l10'

整理得3tan2a+20tana-7=0,解得tan或tana=-7.又因为c(e(°，］)，所以tan［故选

C.

13.(多选)下列各式的值为:的是()

A.(sin15°-cos150)2

B.tan15°cos215°

馥ACD

解析A符合，原式=l-2sin15°cos15°=l-sin30°=1尚=舞不符合，原式=sin15°cos

15°=-sin30°=-;C符合，原式二/cosE=-;D符合，原式二sin30°=-.

243622

14.（多选）已知函数於）二|sinx||cosx|,则下列说法正确的是（）

A7U）的图象关于直线工专对称

B4x）的周期为］

cm,o）是人箝的一个对称中心

DJU)在区间上是增函数

宣AB

|解析［因为函数/(x)=|sinx||cosx|=|sin^cosx|=j|sin2x|,

画出函数图象，如图所示，

由图可知人到的图象关于直线x=^(kWZ)对称，

所以直线/=］是兀¥)图象的一条对称轴,A正确；

«¥)的最小正周期是所以B正确；

«r)是偶函数，没有对称中心,C错误；

由图可知J(x)=jsin2x|在区间［：,1］上是减函数,D错误.

15.若cos(75°+a)=/贝!Jsin(60°+2a)=.

|解析［依题意,cos(75。+a)=g,贝Icos(150°+2«)=2cos2(a+750)-1=2XQ)-1=-

^,sin(60°+2a)=-cos(90°+60°+2a)=-cos(150°+2a)=^.

16.化简:丁2+或+2cosa(2n:<a<3兀)=.

匿却si《

------4

・・c令•a3nna3TI

•2n<a<3ji…兀<一<一<一.

S922244

/.72+V2T2cosa=j+J4cos2?

4sin2*2si吟

yj2

17.（2021安徽合肥高一检测）求证:益葛-tan仇an28=1,

邂篇“an丽2夕二焉sin0sin20

COS0COS20

cos0-2sinz0cos0l-2sinz0

-c-o-s-20-=11

cos0cos20cos20cos20

18.已知sina+cos。=亭,。£（0,：）=.e（4，5）

⑴求sin2a和tan2a的值；

⑵求cos（a+20的值.

解（1）由题意得（sina+cos仁产4即1+sin2a=|,

sin2a胃,又易知2a£（0,；）,

i3

cos2a=Vl^sin22a=

tan2a=sin2a4

cos2a3

⑵•・/€（泊）行eM）,sin（竹）q

•'cos（"）7

.♦.sin2（0-：）=2sin（咤）cos仅=）=.

又sin20：）二-cosip,cos2fi=­.

又2蚱（封）,・・由2介我

>1+cos2a4

又COS~。=——：---=一,

25

,2Vs..Vs

・・cosa=—,・・sina=—,

・zcc、cc•.cc2V5（24、Vs711V5

..cos（a+2^）=cosacos2/?-sinasm2/?=—x（--）——x—=.

19.如图所示,在某点8处测得建筑物的顶端A的仰角为“沿由点8到点E的方向前

进30m至点。处，测得顶角A的仰角为2。,再沿刚才的方向继续前进10V3m到点。测

得顶点A的仰角为40,求。的大小和建筑物AE的高.

A

00%

BCDE

gvZACD=0+ZBAC=20,

：.ZBAC=Oy：.AC=BC=3Om

又ZADE=20+ZCAO=4。,，ZCAD=29,

：.AD=CD=Wy/3m,

J在RSAOE中?4E=ADsin4/9=10V3sin40,

在RsACE中,AE=ACsin29=30sin20,

：.10V3sin46>=30sin2ft

即20V3sin2<9cos2J=30sin2仇

Acos20=坦•又2。£（O,-）,/.2<9=-,

226

/.^=—^4E=30sin-=15m,

126

故。的大小为工,建筑物AE的高为15m.

10.3几个三角恒等式

1.将2cos(a-45°)sin(a+45°)化为利的形式为()

A.sin2aB.sin2a-1

C.sin2。+1D.-sin2a-1

踊C

2.己知a为第一象限角，且tan焉,则sin抑值为()

画因为a为第一象限角，且tan所以cos而三是第一或第三象限角.当三是第一

象限角时,sin2=叵五=■当日是第三象限角时,sing二叵9二支故sin也土当.

2yl25z2y]2525

3.把cos3a+cos5a化为积的形式，其结果为.

答案2cos4«cosa

|解析,os3a+cos5a=2cosf“cos"；—2cos4acosa.

,、iasin700+sin500

4•计算：sin8。

答案目

sin7(T+sin50°_2sin60"co$SO°=V3.

sin80°coslO0

5.若tan则i+c)2a=

7sm2a---------------------

答案7

|解析|因为tana-sin2a=之所以上期二:7

l+cos2a7sin2a

6.设0<4<。<去求证:a/>sina-sinp.

|证明|当（）vxv1时,易证sinx<x.

VO<^<a<p

:.sina-sin<2sinW<2xW=a£即«-/?>sina-sinp.

7.若3T：VXV4兀，贝ij)

A.V2cos(--B.-V5cos(E-"

4242

C.V2sin(---)D.-V2sin(---)

4242

瓯c

|解析|因为3兀今<4兀，

所以到<三<2兀,所以sin-<0,cos->0.

2222

于是厘9+下妥=|cos[+lsin；l

X.Xx/2Xx/2.x)

=cos-sin-=72、—cos-----sin-7

222222

=V2sin(--

42

8.在8c中，若sinAsin3=cos2(则下列等式中一定成立的是()

A.A=BB.A=C

C.B=CD.A=B=C

藕A

l+COSC11/A,n\

—2—~2~ros(A+8)

=1—/cosAcosB-sinAsin3)、

.'.^cosAcosB+-sinAsinB=-.

222

cos(A-B)=l.

*/0<A<K,0<B<7：,-7i<>4-B<n,

：.A-B=0,：.A=B.

9.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于奈则它的底角的余弦值为()

答案|B

|解析|设等腰三角形的顶角为出底角为小则cosa=4.又/?=--cos/?=cos（--

252222

=sin^=乒=#S=2.

2、2N25

10.（多选）有以下四个关于三角函数的命题，其中正确的是（）

R,sin2-+cos2-=-

222

B.3x,y£R,sin(x-y)=sinx-siny

/1-COS2X.

C.Vx£[0,兀],j------=sinx

D,若sinx=cosy则

答案BC

|解析［因为sin2：+cos2：=14所以A为假命题;当x=y=0时,sin(x-y)=sin九-siny,所以B为真

命题;因为sinx=［0,兀］,所以C为真命题;当x=^y=2it07,sinx=cosy,但x+)若,

所以D为假命题.

^^71+尢)+COS(q，+x)(x£R,A£Z)的结果为

11.化简cos

|答案|cosX

I解析《os(+1+COS(+/)

6R+1

Z+X)+(等T7+X)

=2cos——